地球的面积

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范文一:球的表面积 投稿:方谜谝

《球的表面积》教学设计

一、 教学目标

【知识目标】

1、 领会并能记住球的表面积公式

2、 了解球的表面积公式推导过程

3、 能根据球的表面积公式来解决一些具体的关于球的表面积的计算和证明问题。并且能根据球的具体条件变化,计算变化前后的表面积之比

【能力目标】

1、培养学生观察、估算、构造、论证与总结的能力,同时激发学生分析问题,解决问题的能力。

2、培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

【思想目标】

通过对球的表面积公式的推导,让学生了解推导过程中所运用的基本数学思想方法“分割——求和——化为准确和”,为学生们今后进一步学习微积分和近代数学知识做好铺垫。 通过“类比”、“分割”、“求和”,“极限”等数学思想在教学中的运用,让学生理解这些方法,并学会应用。

二、 设计意图

《球的表面积》是高三第一学期15.4中的内容,是柱体和锥体表面积计算方法的一个延伸。而且球的表面积在现实生活中具有广泛的应用,这节课不仅要让学生明白球是一个不可展曲面,而且要让学生在推导球的表面积公式中领会类比、分割、求和、极限的数学思想。

三、 教学过程

(一)提出问题,引入新课

1)、利用实际物体提出设计场景。

问题:如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球,且假设涂的油漆厚度相同,问哪一个球所用

的油漆比较多?为什么?

2)这就与球的表面积有关了。我们已经学习了柱体、锥体的表面积计算公式,我们那时候

是用什么方法推导那些公式的?

(将柱体与锥体展成平面图形)

3)想一想,球体能不能展成平面图形?

(不能,此处可告诉学生球是一个不可展曲面,并对不可展曲面做出适当的展开)

4)正式提出问题。

球既没有底面,也无法像柱、锥一样展成平面图形,那怎样求球的表面积呢?

(二)通过类比,探究新知

1)记得在学习球的体积公式的时候,我们介绍过一个特殊的方法——分割,求和。

简单的回顾:有一种方法可将所求的圆分割成许多小的圆片,通过求第i块小圆片的体积,从而推出整个大球的体积公式。

2)问题:我们可不可以类似的来求圆的表面积呢?(可以)

此处引导学生通过类比的方法,探索求圆的表面积的思路。

3)问题:如果可以,那么如何分割才是最合适的,最方便计算的?

此处可以让学生分组讨论,打开学生的思路,培养学生对未知事物的探索精神。

(三)逐步引导,推出公式

1) .若将球表面平均分割成n个小块,则每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近

于甚至等于球的表面积.

这时候学生已经得出了用分割法求球的表面积的结论,并且也想出了很多分割的方案。此处教师可介绍最普遍的一种。(学生推导为主,教师引导为辅)

2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.

第一步:分割

如图所示,球面可被分割成n个网格,它们的表面积分别为S1,S2,S3,,Sn 则球的表面积S=S1S2S3Sn

如果设“小锥体”的体积为Vi

则球的体积为:

V=V1V2V3Vn

第二步:求和

1VSihi3

由第一步得到V=V1V2V3Vn V1111S1h1S2h2S3h3Snhn 3333

第三步:准确和

如果网格分布越细,则“小锥体”就越接近小棱锥

hi的值就趋向于球的半径

R

1SiR 3

1111V=S1RS2RS3RSn 3333Vi

又球的体积我们已经学过为:V43R 3

431RRS,从而S=4R2 33

3)得出结论:半径R的球的表面积公式为:

S球=4R2

(三)、适当练习,巩固应用

1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的______倍. (答案8倍)

2.若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的________倍(答案4倍)

3.若两球表面积之比为1:9,则其体积之比是______.(答案1:27)

4.若两球体积之比是8:1,则其表面积之比是______.(答案4:1)

35.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为___cm. (答案:)

6正方体的内切球和外接球的体积比为 ,表面积比为 。 (答案:3:1 ; 3 :1)

7.长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5,是它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是 。 (答案50)

此处希望学生通过适当的练习加强对球的表面积公式的运用与记忆,同时也是对原先知识的回顾。

(四)、归纳小结,布置作业

教师:我们本节课主要学习了球的表面积公式的推导,以及利用公式解决相关球的问题,了解了推导中“分割、求近似和,再有近似和转化为准确和”解题的方法。希望大家可以在以后遇到类似问题的时候想到这些方法,并学会运用方法。而且大家还可以在课后想一想球的表面积公式推导中,除了以上的方法之外,还有别的什么分割方法。也自己尝试着动脑想一想,动手算一算。

学生:„„

布置作业:„„

范文二:球的表面积 投稿:江簟簠

球的表面积

授课教师:周锦泉

一、 教材分析:球的表面积公式是旋转体一章的重点内容,从演绎的角度来看教材的安排是比较科学的——在给出预备定理的基础上,再建立球的表面积公式。但从学生发展的过程来看,却又在学生认识规律之外,这是因为,按现行的教材的体系,学生难以解决下列问题:

1.作半圆的内接正折线是怎样想到的?作半圆珠笔的任意内接折线行不行?

2.已有一整套圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式,为什么还需要一个统一的公式?

3.这个预备定理起什么作用?事先又是怎样想到这个定理的?

4.这个预备定理是不是仅仅为了学习球的侧面积公式而提出来的?学生还能获得什么?

二、 教学目的:

1、 通过球的表面面积公式的预备定理的证明,培养学生的空间想象能力和分析问题、解决问题的能力。 2、 会应用预备定理推导球的表面积公式,同时向学生渗透分割、逼近的数学思想。

3、 会运用球的表面积公式解答一些多面体和旋转体的相切、相接问题。

4、培养学生认真观察,大胆想象,积极探索发现问题,大胆提出问题的良好习惯。

三、教学重点:

球的表面积公式及其推导

二、 教学难点:

运用预备定理推导球的表面积公式·

三、 教学方法:

探索发现方法

四、 教学工具:

投影仪、投影片、自制教具

五、 教学过程:

<一>创造问题情境

师:同学们,这节课我们一起来研究一类我们日常生活中觉见的问题:

求球的表面积问题。(板书课题)

师:在这之前,我们已学习了圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式。(复习公式)

探求这些公式时,我们运用的方法是:先展开再求面积。那么,求球的表面积能否也这样做呢?我们先一起来看这样的两个实验。

实验1:动手剪皮球,说明球面不可展。

实验2:自制半圆柱“复印”球面的错误理解。这两个实验说明球面不可展。

那么,我们应如何来求球的表面积呢? 新问题旧知识 S=?

<二>师生共同探索

通过教具启发学生分割半球为若干块,然后把这些几何体可近似地看成圆台、圆锥,当分割的块数无限多时,这些圆台、圆锥的侧面积之和就会近似地等于半球的面积。

这种方法叫做分割,无限逼近法。这样就转化成了求球面的内接圆柱、圆台、圆锥的侧面积问题了。如何求呢?请看如下问题:

问题1:已知球面O的内接圆台的高OO’=h,球心O到母线AD的距离OE=p,求证:

S=2ph

分析:过圆台的轴的平面截圆台和球分别及轴截面ABCD和球的大圆⊙O,这时轴截面ABCD是⊙O的内接等腰梯形。

要证:S=2ph 2ph=(r+r’) 2ph=(r+r’)

ph=

OE•DD’=EE’•AD

△ADD’∽ △OEE’

总结:该问题结论即为教材P的预备定理。即:

定理1:球面内接圆台的高为h,球心到母线距离为p,则S=2ph。

问题2:请同学们思考一下,球的内接圆锥、圆柱对这个结果是否同样成立?

为什么?

结论:这个结果对于球的内接圆柱、圆锥仍然成立,因为圆柱、圆锥可以看成是特殊的圆台。 <三>学生讨论交流

师:现在我们已有定理1这个结论,下面请同学们思考一下,我们应如何运用无限逼近法求S? <四>教师点拔

1、 预备定理的作用在于:‘把半球分割后,求球的内接圆台、圆锥的侧面积’。

2、 S=2

ph =2p(h =2

=2p•ON pR

分点无限增加,侧面积无限地接近半球面,同时P

R,S

我们把这个和作为半球面的面积。

∴定理2:S

3、 课本是采用等分圆弧无限逼近的,采用等分半径行吗?

<五>巩固与应用

例1、 填空:<1>球半径扩大2倍时,大圆面积扩大_______倍,球面面积扩大 ______倍。

<2>球的半径扩大K倍时,球面面积扩大_____倍。

<3>大圆面积扩大K倍时,球面面积扩大_____倍。

例2、 已知:圆柱的底面直径与高都等于球的直径。

求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积。

(2)球的表面积等于圆柱全面积的

<六>归纳小结

组织学生对以上教学环节归纳小结,并回答下面问题:

(1) 本节课学习的主要内容是什么?

(2) 这节课你印象最深刻的是什么?你认为理解得不够深刻的是哪些地方?

(3) 通过这节课的学习,你得到了哪些启示?以后在课堂上刻如何学习才能提高效率?

(4) 这节课的学习运用了哪些数学思想方法,哪些解题技巧、规律?

a、实验联想建模证明

b、无限逼近思想

<七>作业布置

P

<八>板书设计

课题:球的表面积

1、 实验:<1><2>

2、 新问题旧知识 S?

3、 定理1:S=2ph

4、定理2:S

5、小结: ①实验②无限逼近思想 联想建模证明

范文三:为体的则)积球总,各面 投稿:郑鞤鞥

第七章晶体结构的点阵理论基础训练

1、写出晶体中可能独立存在的对称元素。

解:晶体存在宏观对称性和微观对称性。对于宏观对称性存在以下对称元素:

对于微观对称性存在以下对称元素:除包含宏观的8种对称元素外,还有平移轴、螺旋轴和滑移面。

2、按等径圆球密堆积方式,计算积之比)。型密堆积晶体的空间利用率(晶胞中球体积与晶胞体

解:图9-5(a)是型最密堆积和截取的立方晶胞。将其中的一个面及其所联系的5

个球另画出,如图9-5(b)。由图可见,等径圆球相互接触的位置是在立方晶胞的面的对角线的方向上。设圆的半径为r,则面对角线为4r;立方晶胞的边长(即其中每个正方形面的边长)为a

。由勾股定理知

晶胞体积

晶胞的球数为4(定点各,面心各),则总的球体积

于是,空间占有率为

3、将下列晶体分为离子晶体、共价晶体、金属晶体和分子晶体。

(a)

(g);(b);(C);(d);(e);(f)

;

解:金属晶体

。,;离子晶体,;共价晶体

;分子晶体

4、铁在是晶体为体心立方体晶胞一个顶点的原子为原点,其坐标为(0,0,0),体心位置原子的分数坐标为

,求此两点为最近距离。

=

=247.8(pm)

5、写出与晶轴相截于(2a,3b,c),(6a,3b,3c),(2a,-2b,-3c)的各晶面的Miller指数。解:(a)(326)

(b)(12

2)

(c)(3

)

6、求(a)简单立方晶胞;(b)体心立方晶胞;(c)面心立方晶胞;(d)金刚石的面心立方晶胞中含有多少个原子?

解:(a)简单立方晶胞,8个顶点各有一个原子,所以只含有一个原子。(b)体心立方晶胞,8个顶点各有一个原子,晶胞中含有一个原子,所以含有两个原子。,

(c)面心立方晶胞,8个顶点各有一个原子,六个面心各有一个原子,所以

,含有4个原子。

(d)金刚石的面心立方晶胞,8个顶点各有一个原子,六个面心各有一个原子,晶胞中含有4个原子,所以,含有8个原子。

7、什么是结构基元?

答:晶体的微粒(原子、分子或离子)在空间做有规律的排列,按着同一结构单元及取向周期重复,这个特点叫做晶体结构的周期性。周期重复的结构单元,就是在空间排步上,每隔相同的距离重复出现的微粒或微粒按一定结构组成的集团,称为结构基元,简称基元。在整个晶体中基元的环境是相同的。

8、在空间点阵型式中,符号P、I、F、C、R、H个代表什么意义?

答:在点阵单元中只喊有一个阵点,即素单位,称为简单点阵型式,用符号P表示,称为简单(P)。有的在平行六面体的体心位置有阵点,用符号I表示,称为体心(I);有的在六个面心处有阵点,用符号F表示,称为面心(F);有的在六个面心处有阵点,用符号C表示,称为底心(C)。三斜、三方和六方只有素单元无复单元,所以它们各只有一种简单点阵型式。习惯上还分别用符号R和H表示三方和六方。

9、叙述晶体的宏观对称性与分子对称性的异同。

答:晶体具有的对称元素和对称操作分为以下几种:

(a)对称轴和旋转操作;

(b)对称面和反映操作;

(c)对称中心和反演操作;

(d)反轴和旋转反演操作。

前三种同分子对称性一致,第(d)种仅在晶体对称性中采用,而在分子对称性中则常用旋映轴和旋转反映操作。在晶体中存在重对称轴,不存在

重轴,不能超过重轴,而在分子中不受这一限制。在表示对称元素和对称操作时习惯上所用的符号有所不同。

10、给出金属A1,A2,A3和A4堆积的相应晶胞。

答:A1型最密堆积可以分出面心立方晶胞;A2型堆积可以分出体心立方晶胞;A3型最密堆积可以分出六方晶胞;A4型堆积可以分出面心立方晶胞。

11、正交晶系共有哪几种点阵型式?

答:正交晶系有简单正交、正交面心、正交体心、正交底心四种点阵型式。

12、有一个AB2型立方面心晶体,试问一个立方晶胞中可能含有多少个A和多少个B?

答:有4n个A,8n个B,n为自然数。

13、晶胞两个要素的内容是什么?各用什么表示?

答:晶胞的大小形状和晶胞中原子的坐标位置;前者用晶胞参数

表示,后者用原子分数坐标(x,y,z)表示。

第七章晶体结构的点阵理论

1、选择题。

(1)X射线的产生是由于(

A原子内层电子能级间的跃迁

B原子的价电子能级间的跃迁

C原子轨道能级间的跃迁

D分子转动能级间的跃迁)自测题

(2)有一AB晶胞,其中A和B原子的分数坐标为A(0,0,0),B(

()

A立方体心点阵

C立方底心点阵B立方面心点阵D立方简单点阵

)),它属于(3)对于金刚石晶体结构,下面叙述何者不对(

A类与立方ZnS型结构B晶胞中含四个碳原子

C空间利用率仅D属

)堆积方式(4)与a轴垂直的面的晶面指标是(

A(112)B(100)C(010)D(001)E(111)

(5)有一型晶体,属立方晶系,每个晶胞中有1个A和4个B,1个A

的坐标是

),(),(),

次(),4个B的坐标分别是(0,0,0),(

晶体的点阵类型是()

A立方PB立方IC立方FD立方CE不能确定

)(6)面心立方金属晶体中的一个晶胞,正四面体空隙数与正八面体空隙数分别为(

A4,1B8,1C8,4D4,2

(7)两个晶面与晶轴分别相交与(a,2b,-c)和(2a,6b,3c),则它们的晶面指标分别为()

A(12),(236)B(12),(312

D(21),(312)D(21),(263

(8)金属铜为结构,其晶胞型式和结构基元分别为(

)

A立方面心,4个Cu原子

C立方体心,1个Cu原子B立方体心,2个Cu原子D立方面心,1个Cu原子

)

D正交C(9)立方点阵中下列型式不存在的是(A立方IB四方CC四方I

)(10)晶体不可能属于的点群是(

ABC

D

2、填空题

(1)属于立方晶系的晶体可抽象出的点阵类型有_________________;晶体按对称性分共有__________个晶系;晶体的空间点阵型式共_________种。

(2)立方晶系特征对称元素为_____________________。

(3)(312)晶面在a、b、c轴上的截距分别为___________,___________,___________。

(4)立方晶体(112)晶面的四级衍射可看作__________晶面的一级衍射。

(5)从CsCl晶体中能抽出__________点阵,结构基元是__________,所属晶系的特征对称元素是__________________。

(6)晶体宏观外形中的对称元素可有_________,_________,___________,__________四种类型;晶体微观结构中的对称元素可有___________,__________,_________,_________,___________,___________,___________七种类型。

(7)NaCl晶体的空间点阵型式为____________;CsCl晶体的空间点阵型式为__________。

(8)NaCl晶体中负离子的堆积型式为_______________,正离子填入____________的空隙中。

隙中。

(9)常用晶格能来表示__________键的强弱;用偶极矩来量度____________

性的大小。极晶体中负离子的堆积型式为_____________,正离子填入___________的空

(10)型密堆积可得到_________晶胞,含有_________个球,_________个结构基元,特征对称元素为_____________。

参考答案:

1、(1)A;(2)D;;(3)B;(4)B;(5)A;(6)C;(7)C;(8)A;;(9)B;(10)C;

2、(1)立方P,立方F,立方I;7;14;(2)4个3次轴;(3)2a,6b,3c;(4)(448)

(5)简单立方,或,4个3次轴;(6

)旋转轴,镜面,对称中心,反轴;旋转轴,镜面,对称中心,反轴,平移轴,螺旋轴,滑移面;(7)立方面心,简单立方;(立方面心,简单立方;;(8)立方最密堆积,八面体,简单立方,立方体;(9)离子,分子;;

(10)六方,2,1,1个6次轴。

范文四:球体表面积 投稿:张莦莧

球体表面积

球体表面积是指球面所围成的几何体的面积,它包括球面和球面所围成的空间。 1公式 球体表面积公式2公式证明 把一个半径为R的球的上半球横向切成n(无穷大)份,

每份等高

并且把每份看成一个类似圆台,其中半径等于该类似圆台顶面圆半径

则从下到上第k个类似圆台的侧面积S(k)=2πr(k)×h

其中r(k)=√[R^2-﹙kh)^2],

h=R^2/{n√[R^2-﹙kh)^2}.

S(k)=2πr(k)h=(2πR^2)/n

则 S=S(1)+S(2)+„„+S(n)= 2πR^2;

乘以2就是整个球的表面积 4πR^2;

可以把半径为R的球看成像洋葱一样分成n层,每层厚为=,设第k层与球心的距离为r=r(k)=k,面积为一个关于r(k)的函数设为S(r),则k层的体积V(k)=S(r)*, 所以V=V(k)=S(k)*=S(r)*Δr=,也就是V(r)=,有可以知道V(r)=4/3πr^3,所以同时求导就可得S(r)=4πr^2

一个圆锥所占空间的大小,叫做这个圆锥的体积.

一个圆锥的体积等于与它等底等高 的圆柱的体积的1/3

根据圆柱体积公式V=Sh(V=πr^2h),得出圆锥体积公式:

S是圆柱的底面积,h是圆柱的高,r是圆柱的底面半径。

证明:

把圆锥沿高分成k分 每份高 h/k,

第 n份半径:n×r÷k

第 n份底面积:pi×nx2×rx2÷kx2

第 n份体积:pi×h×nx2×rx2÷kx3

总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi×h×(1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2)×rx2/kx3

∵1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2=k×(k+1)×(2k+1)÷6

∴总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2)*rx2/kx3

=pi*h*rx2* k*(k+1)*(2k+1)/6kx3

=pi*h*rx2*(1+1/k)*(2+1/k)/6

∵ 当n越来越大,总体积越接近于圆锥体积,1/k越接近于0

∴ pi*h*rx2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*rx2/3

∵ V圆柱=pi*h*rx2

∴ V圆锥是与它等底等高的V圆柱体积的1/3

半球体积的计算 由祖暅原理,半球与一个拥有与半球体相同横切面积和高的立体,即圆柱体中间切去一个圆锥体体积相同。

容易得体积为2/3×π×r^3(三分之二乘派乘半径的三次方)。

球的体积:

a) 在给出半球的概念后,让学生进一步思考如何计算出半球的体积,进而求出整

个球的体积。这里我们采用分割的方法来计算球的体积。

下面用多媒体演示球的分割示意图,如图,把垂直于底面的半径OA作n等分,经过这些等分点,用一组平行于底面的平面把半球切割成n层,每一层都近似于一个圆柱形的“薄圆片”,这些“薄圆片”的体积之和就是半球的体积。这样球的体积就转化为薄圆片的体积和。再进一步引导学生求出这些薄圆片的体积和。

“薄圆片”的厚度Rn由勾

股定理可得可以算出第i层(由下向上数)“薄圆片”的下底面半径(rii1,2,3,,n,)

以此求得第i层“薄圆片”的体积

RR3i12[1()],i1,2,3,(Virinnn2,n,)

那么半球体积也就很容易求出

(V半球V1V2Vn

(n1)2

[1]} n2

] 122{1[12][12] nnn R3R3

n[n1222

n(n1)22

R3

n[n1(n1)n(2n1)] n26

∴半球的体积V半球11(1)(2)] ①) R3[16

设计意图:体现从简单到复杂、具体到抽象的认知过程。在课堂教学中教师引导学生探索获得知识、技能的途径和方法。通过探索,培养学生的观察能力和运动变化的观点,同时充分利用图形的直观性,渗透了数形结合的数学思想,学生在探索的过程中品尝到了自己劳作后的甘甜,感受到耕耘后的丰收喜悦,更激起了学生的探索创新意识。 另外通过多媒体课件的演示,让学生更直观的观察出球是怎样被分割的,以便于引导学生推出半球的体积公式。这样将抽象概念生动、直观地通过多媒体课件展示出来,从视觉上刺激学生,激发学生探索的兴趣,引导学生用所学知识解决实际问题。

b) 紧接着第二步,让学生深入下去,进而推导出半球更为精确的体积公式。 适时的给出提示:当n不断变大时,半球的体积会越来越精确,若n变为无穷大时,趋向于0,这时半球的体积公式便出来了。 1n

(V半球11(1)(2)]R3112R3) R3[1633

4R3.也就出来了。 3进而球的体积公式V

范文五:网球场面积 投稿:苏岿峀

标准网球场方案及报价

联系人:徐生:0512-67331716 18962192762

上海宏奥体育设施工程有限公司

二〇一二年一月二日

目 录

第一章 公司简介 ........................................................................................................................... 3

第二章 公司资质 ........................................................................................................................... 4

第三章 面层铺装 ........................................................................................................................... 6

第四章 灯具安装 ............................................................................................................................. 9

第一章 公司简介

上海宏奥体育设施工程有限公司,是一家集设计、供应、施工为一体的场馆、康体设施建设之专业企业。公司强力打造专业之网球场、篮球场、壁球场、田径场地、高尔夫练习场、泳池、水疗养生馆、喷泉水景及健身、休闲设施等康体工程;并提供投资咨询、资深策划、设计供应、承建维护及营运管理等全程服务。公司以上海为基地,销售服务网络遍布华东地区及全国各大中城市,以其高效的运作体系、完善的营销网络、资深的技术专家、雄厚的企业实力及快捷周到的售后服务受到广大客户的一致好评与厚爱。

公司注册资金550万元,拥有建设部颁发的体育场地专业承包三级资质,拥有一批资深经营管理人员、中高级专技人才以及十多个专业施工优秀团队,拥有一批全方位的战略合作伙伴。公司以“发展体育事业,弘扬奥运精神”为企业目标,以“工作精益求精,服务尽善尽美”为企业精神,以“德为做人之根,质为立业之本”为经营宗旨。我们将以良好的外部形象、精湛的施工工艺、完美的售后服务,为国人提供一个个舒适的运动空间,为我国全民健身运动事业的蓬勃发展作出应有的贡献。

展望未来,“诚信、创新、进取、卓越”的企业理念,将永远成为“宏奥人”努力之动力源泉。

第二章 公司资质

1、营业执照

2、资质证书

3、安全生产许可证

4、税务登记证(国税、地税)

5、单位代码证

第三章 面层铺装

本公司代理之美国产的ACTION PAVE运动场地专用丙烯酸塑胶涂料,为不透气的聚丙烯有机化合物,是由100%压克力乳胶、树脂、矿物质等优质原料精制而成,色彩鲜艳、品质稳定、持久耐用、施工方便;除具有ACRYLIC EMULDION之所有好处外,ACTION PAVE更不含有毒石棉质,防水、防晒、防滑,色泽较同类产品柔和、鲜艳,可涂于沥或混凝土地基面上;ACTION PAVE更具有CUSHION可涂性,以增加球的弹性,彻底保护球员的脚部关节;同时这种场地可增加网球的旋转力,高品质的网球场地均乐意采用,大多数职业网运动员也十分喜爱这种场地;对各种不同需要的场地,施工人员可根据实际情况利用砂子的粗细和数量来调整球场的速度。所以, ACTION PAVE被国际网球协会指定为国际网球赛事场地的专用面层材料。

原网球场材料的拆除

将网球场PVC材料拆除,在拆除过程中,严格做好如下两点: 一、

要做好现场的成品保护措施,不可将成品损坏,如有损坏,将免费更换同等品牌产品;

二、

尽可能不要破坏基础,要做到轻拿轻放。

基础处理

待原面层PVC拆除后,先将基础做打磨处理,然后用专用的化学处理剂将基础做全面处理,直到满足丙烯酸施工要求为止。

弹性面层铺装

(一)基础含水率测试

1、晴天时以透明胶布平铺于地面,并以胶带封合胶布四周经2-4小 时后,若胶布内部呈结雾现象则地面含水就过高,不宜施工。 2、取报纸平铺于地面,再以不透水平板覆上,俟隔日取出如不易点燃,则表示地面含水率过高,不宜施工。

3、以水分计测定,若测得含水率在10%以上时,则不宜施工。 (二)地面处理

在面层涂料铺设前,先将场地清理、打磨,彻底清除施工面之灰尘及杂物,使地面清洁、平整。基础若有油渍应磨除或烧除,水泥灰、脆化处或凸处应铲除或磨除。 (三)弹性面层铺设

1、清洗场地:清洗场地内的残留物和附着物,保证场地的整洁

干净无杂物;

2、初步试水:全场放满水,以测试该场地之平整程度,在明显

凹陷处做记号;

3、铺设底涂:铺设一层ACTION PAVE中的ACRVLIC RESURFARER

以强化沥青层,使其与面层贴合更紧密;

4、修补场地:用ACTION PAVE中的ACRVLIC RESURFACE乳剂混

合适量石英砂尽量填平凹陷处,减少积水现象;

5、中间涂层:铺设一层ACTION PAVE中的BASECOAT以强化沥青

层,使其与面层贴合更紧密。

6、弹性涂层:铺设BASECOAT CUSHION填充剂中间涂层,以增加

球场的弹性;

7、表面涂层:(1)初饰涂层:铺设ACTION PAVE有色颜料层;

10、界线:用11、善后:安装

(2)终饰涂层:铺设ACTION PAVE终饰涂层(比赛线内为深绿色,比赛线外为浅绿色;颜色也可根据客户要求而定)以保护及美化场地。

ACTION PAVE LINE PUINT划白色标准网球场界线; UPMAN-HORSE球柱及球网,挂好中间标志。

第四章 灯具安装

一、 施工流程:

现场测量→灯具轨道(或索道)安装→灯具定位→灯具高度确定→电线及器件布置→灯具安装→光源调试→善后。

二、 施工工艺:

依现场条件及测量数据,确定灯具轨道或索道(最好用钢丝绳索道,如现场条件不足时,用方钢轨道)安装位置,然后跟据网球场照度要求、灯光模拟计算结果及现场条件(灯光模拟计算由工程师用电脑软件完成),确定灯具的安装位置和灯光高度,再将灯具安装到位并做相关的调式作业。

倡导健康人生

品味幸福生活

公司名称:上海宏奥体育设施工程有限公司 地址:上海市闸北区洛川东路99号3楼

邮箱:hongao@hongao.net.cn

网址:www.Hongao.net.cn 传真:021-56388555-20 电话:021-56388555 手机:18962192762

联系人:徐维清

范文六:球的体积与表面积 投稿:彭謯謰

球的体积与表面积

(2015高考数学)10.已知A,B是球O的球面上两点,AOB90,C为该球面上的动点。若三棱锥OABC体积的最大值为36,则球O的表面积为

A、36 B、 64 C、144 D、 256

(2013高考数学)(15)已知正四棱锥O

ABCD的体积为

为球心,OA为半径的球的表面积为________。

知识点

习题

一、选择题

1.若球的大圆面积扩大为原来的4倍,则球的表面积比原来增加( ) A.2倍 B.3倍 C.4倍 D,8倍

2.若生成球的圆周长是C,则这个球的表面积是( )

222ccc A. B. C. D.2πc2

44,

则以O2

3.生成球的圆面积增大为原来的4倍,那么球的体积增大为原来的( ) A.4倍 B.8倍 C.16倍 D.32倍 4.三个球的半径之比为1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两个球的体积和的( ) A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍

5.棱长为1的正方体内有一个球与正方体的12条棱都相切,则球的体积为( ) A.4π B. C.42 D.2π 34

6.圆柱形烧杯内壁半径为5cm,两个直径都是5 cm的铜球都浸没于烧杯的水中,若取出这两个铜球,则烧杯内的水面将下降( )

A.5cm B.10cm C.40cm D.5cm 3336

7.长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5,且它的8个顶点都在同一球面上,这个球的表面积为( )

A.202π B.252π C.50π D.200π 8.等体积的球与正方体,其表面积的大小关系为( )

A.S球>S正方体 B.S球=S正方体

C.S球<S正方体 D.大小关系不确定

二、填空题

9.已知三个球的表面积之比为1∶4∶9,若它们的体积依次为V1、V2、V3,则V1+V2=

_____V3.

10.将一个玻璃球放人底面面积为64πcm2的圆柱状容器中,容器水面升高4cm,则玻璃3

球的半径为__________.

11.将一个半径为R的木球削成一个尽可能大的正方体,则此正方体的体积为______. 12.国际乒乓球比赛已将“小球”改为“大球”,“小球”的外径为38 mm,“大球”的外径

为40 mm,则“小球”与“大球”的表面积之比为__________.

三、解答题

13.已知正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,则这样的三棱柱内能否放进一个体积为

的小球?

14.表面积 为324π的球,其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积. 平面基本性质

1.判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打“×”

(1)空间三点可以确定一个平面 ( )

(2)两条直线可以确定一个平面 ( )

(3)两条相交直线可以确定一个平面 ( )

(4)一条直线和一个点可以确定一个平面 ( )

(5)三条平行直线可以确定三个平面 ( )

(6)两两相交的三条直线确定一个平面 ( )

(7)两个平面若有不同的三个公共点,则两个平面重合 ( )

(8)若四点不共面,那么每三个点一定不共线 ( )

画出图形

(1)A,B,Al,Bl;

(2)a,b,a//c,b16cp,

例2 将下列文字语言转化为符号语言:

(1)点A在平面内,但不在平面内;(2)直线a经过平面外一点M;

(3)直线l在平面内,又在平面和相交于直线l

范文七:球的体积和表面积 投稿:邵帚帛

球的体积和表面积

一. 教学目标

1. 知识与技能

⑴通过对球的体积和面积公式的推导,了解推导过程中所用的基本数学思想方法:“分

割——求和——化为准确和”,有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。

⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

2. 过程与方法 通过球的体积和面积公式的推导,从而得到一种推导球体积公式V=4πR3和面积公式S=43

πR2的方法,即“分割求近似值,再由近似和转化为球的体积和面积”的方法,体现了极限思想。 3. 情感与价值观

通过学习,使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解,提高了空间思维能力和空间想象能力,增强了我们探索问题和解决问题的信心。

二. 教学重点、难点

重点:引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

难点:推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

三. 学法和教学用具

1. 学法:学生通过阅读教材,发挥空间想象能力,了解并初步掌握“分割、求近似值 的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。

2. 教学用具:投影仪

四. 教学设计

(一) 创设情景

⑴教师提出问题:球既没有底面,也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形,那么怎样来求球的表面积与体积呢?引导学生进行思考。

⑵教师设疑:球的大小是与球的半径有关,如何用球半径来表示球的体积和面积?激发学生推导球的体积和面积公式。

(二) 探究新知

1.球的体积:

如果用一组等距离的平面去切割球,当距离很小之时得到很多“小圆片”,“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积,由于“小圆片”近似于圆柱形状,所以它的体积也近似于圆柱形状,所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积,因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。

步骤:

第一步:分割

如图:把半球的垂直于底面的半径OA作n等分,过这

一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”,“小圆

为些等分点,用片”厚度近似R,底面是“小圆片”的底面。 n

如图:

RR3i12[1()]  (i1、2n) 得Vi

rinnn2

第二步:求和

(12V半球=v1v2v3vnR[1] 63

第三步:化为准确的和

当n→∞时, →0 (同学们讨论得出)

所以 V半球=R3(1122)R3 63

V球得到定理:半径是R的球的体积4R3 3

3练习:一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm)

2.球的表面积:

球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”方法推导。

思考:推导过程是以什么量作为等量变换的?

半径为R的球的表面积为 练习:长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5,是它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是 。 (答案50元)

(三) 典例分析

课本P47 例4和P29例5

(四) 巩固深化、反馈矫正

⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为 ,表面积比为 。

(答案:33:1 ; 3 :1)

⑵在球心同侧有相距9cm的两个平行截面,它们的面积分别为49πcm和400πcm,求球的表面积。 (答案:2500πcm)

分析:可画出球的轴截面,利用球的截面性

质求球的半径

222(五) 课堂小结

本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导,以及利用公式解决相关的球的问题,了解了推导中的“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”的解题方法。

(六) 评价设计

作业 P30 练习1、3 ,B(1)

范文八:1.3.2球的体积和表面积 投稿:高亖亗

1.3.2 球的体积和表面积

一、知识点回顾与梳理

1、球的体积和表面积公式

4

设球的半径为R,它的体积为VR3,表面积为S4R2

3

2、球的截面问题

(1)大圆与小圆:球中过球心的截面圆称为球的大圆,而不过球心的截面圆称为球的小圆。 (2)球的截面性质:球的半径为R,截面圆的半径为r,球心到截面的距离为d

,则有d。

当d0时,截面圆过球心,截面圆面积最大,此圆叫球的大圆; 当0dR时,截面圆不过球心,此圆叫做小圆;

二、典型例题分析与方法总结

题型一:与球的体积有关的问题

例1、据说伟大的阿基米德死了以后,敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑。在墓碑上刻了一个如图所示的图案,图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点在圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面,试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比。

题型二:与球的表面积有关的问题

例2、过球的某一条半径的中点,作一个垂直于这条半径的截面,截面面积为48cm2,求球的表面积。

题型三:与球有关的组合体问题

例3、已知圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍,求圆锥侧面积与底面积之比。

变式1:一个高为16的圆锥内接于一个体积为972的球,在圆锥内又有一个内切球 求(1)圆锥的侧面积;(2)圆锥内切球的体积。

变式2:圆锥的内切球半径为r,求圆锥体积的最小值。

例4、半径为R的球的内接正四面体内有一内切球,求这两球的体积比。

变式1:正三棱锥PABC的侧棱长为l,两侧棱的夹角为2,求它的外接球的体积。

变式2:(05全国)将半径为1的四个完全相同的钢球完全装进一个正四面体中,求正四面体的高的最小值。

例5、正方形ABCD的中心为O,过O作正方形

所在平面的垂线EO,一个半径为1的球内切于正四棱锥EABCD,当正四棱锥的体积最小时,正方形的边长为多少?此时体积的最小值是多少?

C

变式:在棱长为1的正方体内,有两个球外切并且分别与正方体的面相切。 (1)求这两个球的半径之和;

(2)球的半径满足什么条件时,两球体积之和最小。

第二章 点、直线、平面之间的位置关系

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

第一课时 2.1.1 平面

一、知识点回顾与梳理

1、平面的概念

平面是一个不加定义,只需理解的原始概念。立体几何里所说的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的,常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象。

平面具有无限延展性、理想的、绝对的平且无大小,无厚薄,不可度量,它与平面图形的区别在于:平面图形如三角形、正方形、梯形、圆形等有大小、长短之分,可以度量。

类似一条直线把平面分成两部分一样,一个平面把空间分成两部分。

2、平面的画法

当我们从适当的角度和距离观察桌面或黑板时,感到它们都很像平行四边形,因此立体几何中我们通常画平行四边形来表示平面。 (1)一个平面:水平放置和直立;

当平面水平放置时,通常把平行四边形的锐角画成45,横边画成邻边的2倍长。如图

C

B (2) 直线与平面相交,如图:

a

β

(3)两个相交平面:

画两个相交平面时,若一个平面的一部分被另一个平面遮住,应把被遮住部分的线段画成虚线或不画,如图2

β B β 图 2

3、平面的表示

(1)平面通常用一个希腊字母,,,„„来表示,如平面、平面、平面等;

(2)用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示,如平面AC、平面BD, (今后一般用A、B、C等表示点,a,b,c等表示线,,,表示平面。)

4、空间图形中点、线、面位置关系的集合语言表示

空间图形的基本元素是点、直线、平面。从运动的观点看,点动成线,线动成面,从而可以把直线、平面看成是点的集合,因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外,还可借用集合中的符号语言来表示。规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示,点用一个大写的英文字母表示,而平面则用一个小写的希腊字母表示。 点、线、面的基本位置关系如下表所示:

用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系,虽然借用于集合符号,但在读法上仍用几何语言,如a,表示平面外的直线a,有两种情形: a或aA。

5、平面的基本性质(三个公理与三个推论) 平面的基本性质,是研究立体几何的理论基础,要熟练掌握每个公理及推论的三种数学语言叙述及其用途。

(1)公理1

文字语言:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 符号语言:

A

AB. B

图形语言:

剖析:公理1的内容反映了直线与平面的位置关系,公理1的条件是“线上两点在平面内”,结论是“线上所有的点在平面内”。从集合的角度看,这个公理就是说,如果一条直线(点集)中有两个元素(点)属于一个平面(点集),那么这条直线就是这个平面的真子集。公理1说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻划平面的“平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”,它既是判断直线在平面内,又是检验平面的方法.

用途:①判定点在平面内;②判定直线是否在平面内的依据;③验证一个面是否是平面

(2)公理2

文字语言: 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面

A,B,C 不共线

符号语言:A,B,C与重合 (或者:∵A,B,C不共线,∴存在唯一的

A,B,C

平面,使得A,B,C.) 图形语言:

剖析:公理2中的条件是“过不在同一直线上的三点”,结论是“有且只有一个平面”,条

件中的“三点”是条件的骨干,不会被忽视,但“不在同一直线上”这一附加条件则易被遗忘,因为经过一点、两点或同在一条直线上的三点可以有无数个平面;过不在同一直线上的四点,不一定有平面,因此要重视这一条件的重要性。

(4)公理2的三个推论 推论1

文字语言: 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面. 符号语言:Aa存在唯一的平面,使得A,l

图形语言:

推论2

文字语言: 符号语言:abP存在唯一的平面,使得a,b

图形语言:

推论3

文字语言: 经过两条平行直线有且只有一个平面

符号语言:a//b存在唯一的平面,使得a,b

图形语言:

说明:公理2及其三个推论中均出现“有且只有一个”, “有且只有一个”的含义分两部分理解,“有”说明图形存在,但不唯一,“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个,但不保证符合条件的图形存在,“有且只有一个”既保证了图形的存在性,又保证了图形的唯一性.在数学语言的叙述中,“确定一个”,“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词,因此,在证明有关这类语句的命题时,要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证.

公理2及其三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径,而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件,这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决,是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法.

用途:①确定平面;②证明两个平面重合 ③证明点、线共面

公理3

文字语言:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线

A

符号语言:Al

A

图形语言:

剖析:公理3的内容反映了平面与平面的位置关系。公理的条件简言之是“两面共一点”,结论是“两面共一线,且过这一点,线唯一”,公理2说明对于两个不重合的两个平面,只要它们有公共点,它们就是相交的位置关系,交集是一条直线。公理3揭示了两个平面相交的主要特征,是判定两平面相交的依据,提供了确定两个平面交线的方法.

(今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线))

用途:①确定两相交平面的交线位置;②判定点在直线上 (3)

二、典型例题分析与方法总结

问题一:平面的概念及表示的理解

通过类比直线来理解平面的概念,抓住平面的两个基本特征:一是“平”,二是“无限延展”。观察、类比形成对平面概念的感性理解

例1、 判断下列说法是否正确?并说明理由 (1)平行四边形是一个平面;

(2)任何一个平面图形都是一个平面;

(3)空间图形中先画的线是实线,后画的线是虚线;

解:(1)不正确。平行四边形它仅是平面上四条线段构成的图形,它是不能无限延伸的。 (在立体几何中,我们通常用平行四边形表示平面,但绝不是说平行四边形就是平面) (2)不正确。平面图形和平面是两个完全不同的两个概念,平面图形是有大小的,它是不可能无限延伸的。要严格区分“平面图形”与“平面”这两个概念。

(3)不正确。立体几何中遵循被平面遮住的部分画虚线,能够看得见的线画成实线(无论是题中原有的,还是引入的辅助线)。

问题二:借用集合符号反映空间点、线、面 的位置关系

准确使用符号语言表示空间点、线、面 的位置关系,文字语言、符号语言、图形语言互译问题

例2、 用符号语言表示下列语句,并画出图形

(1)三个平面、、相交于一点P,且平面与平面交于PA,平面与平面交于PB ,平面与平面交于PC ;

(2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC交于AC

问题三:平面的基本性质的应用 1、证明若干点共线问题

只需证明这些点同在两个相交平面内即可,根据公理2,找出相关的平面与平面的交线,说明这些点都在两个平面的交线上。

例3、 已知ABC在平面外,它的三边所在的直线分别交 于P、Q、R,求证:P、

Q、R在同一直线上。

A

C

B

P

Q

评注:在空间中,证明点共线的问题,常转化为证明点在直线上,而证明点在直线上,可设法找两个平面,使该直线是这两个平面的交线,再证明该点是这两个平面的公共点,由公理2知,两个平面的公共点必在这两个平面的公共直线上。

2、 证明三线共点问题

只需证明其中两线相交,然后证另一条也过交点 ,由公理2,可以证明交点在过第三条直线的两个平面上。

例4、 点A平面BCD,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,若EH与FG交于

P。

求证:P在直线BD

证明:∵EHFGP,∴PEH,PFG,

∵E,H分别属于直线AB,AD, ∴EH平面ABD,∴P平面ABD, 同理:P平面CBD,

又∵平面ABD平面CBDBD,

所以,P在直线BD上。

3、证明点线共面问题 方法有二:

法一:先用部分点、线确定一个平面,再证余下的点线都在此平面内; 法二:分别用部分点线确定两个平面,再证它们重合

例5、已知一条直线与三条平行直线都相交,求证:这四条直线共面。

变式:不共点的四条直线两两相交,求证:四条直线在同一个平面内

评注:分别由某些直线确定出平面,然后证明这几个平面重合是证明线共面问题的常用方法,根据是公理2及其推论,由唯一性证明重合;证明线共面还可以用部分条件先确定一个平面,再证其余的线在该平面内。

问题四:关于空间图形的截面问题

例6、如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为8cm ,M、N、P分别是AB、A1D1、BB1的中点,

(1)画出过M、N、P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线以及与平面BB1C1C的交线; (2)设过M、N、P三点的平面与B1C1交于Q,求PQ长。

C

AM

B

A1P

C1

1

问题六:立体几何中的计数问题 例7、(1)直线与平面公共点的个数可能为_____________;

(2)一条直线和这条直线外不共线的三点能确定的平面的个数为_____________;

(3)四条平行直线最多能确定_____________个平面;

(4)同时过空间四点可以作_____________个平面;

(5)四条直线相交于一点,它们能确定的平面的个数为_____________;

本讲小结:平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础.平面,是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象,在立体几何中是只描述而不定义的原始概念,但平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介,在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用.

“平面”也是空间图形的基本元素,很多空间图形的面都是平面图形,平面图形及其性质是初中平面几何的主要学习内容,因此,要建立起“空间问题平面化”的观点.

范文九:球的体积和表面积 投稿:史茮茯

课    型:新授课

一. 教学目标

1.知识与技能

⑴通过对球的体积和面积公式的推导,了解推导过程中所用的基本数学思想方法:“分割——求和——化为准确和”,有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。

⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

2.过程与方法

通过球的体积和面积公式的推导,从而得到一种推导球体积公式v= πr3和面积公式s=4πr2的方法,即“分割求近似值,再由近似和转化为球的体积和面积”的方法,体现了极限思想。

3.情感与价值观

通过学习,使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解,提高了空间思维能力和空间想象能力,增强了我们探索问题和解决问题的信心。

二. 教学重点、难点

重点:引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

难点:推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

三. 学法和教学用具

1. 学法:学生通过阅读教材,发挥空间想象能力,了解并初步掌握“分割、求近似值的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。

2. 教学用具:多媒体课件 

四. 教学设计

(一) 创设情景

⑴教师提出问题:球既没有底面,也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形,那么怎样来求球的表面积与体积呢?引导学生进行思考。

⑵教师设疑:球的大小是与球的半径有关,如何用球半径来表示球的体积和面积?激发学生推导球的体积和面积公式。

(二) 探究新知

1.球的体积:

如果用一组等距离的平面去切割球,当距离很小之时得到很多“小圆片”,“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积,由于“小圆片”近似于圆柱形状,所以它的体积也近似于圆柱形状,所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积,因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。

步骤:

第一步:分割

 如图:把半球的垂直于底面的半径oa作n等分,过这些等分点,用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”,“小圆片”厚度近似为 ,底面是“小圆片”的底面。

如图:

第二步:求和

第三步:化为准确的和

  当n→∞时,  →0  (同学们讨论得出)

所以   

得到定理:半径是r的球的体积 

练习:一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3)

2.球的表面积:

球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径r的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”方法推导。

思考:推导过程是以什么量作为等量变换的?

      半径为r的球的表面积为    s=4πr2

     练习:长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5,是它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是           。 (答案50元)

(三)体积公式的实际应用:

例①:一种空心钢球的质量是142g,外径是5.0cm,求它的内径. (钢密度7.9g/cm3)

范文十:与球有关的表面积与体积 投稿:郑馘香

考点4 与球有关的表面积与体积

与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接,解题时要认真分析图形, 明确切点和接点的位置,球与旋转体的组合,通常作轴截面解题;球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心,或切点,接点作截面图。

一、构造长方体

1、(2010新课标7) 设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )

A.3a2 B.6a2 C.12a2 D. 24a2

2、(08福15)

是 .

3、(08浙14)如图,已知球O点面上四点A、B、C、D,DA平面ABC,ABBC,DA=AB=BC=,则球O点体积等于___________.

二,球与多面体的内切和外接

4、(2011湖北7)设球的体积为V,它的内接正方体的体积为V,下列说法中最合适的是( )

A. V比V大约多一半 B. V比V大约多两倍半

C. V比V大约多一倍 D. V比V大约多一杯半

5、已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都等于6,且各顶点都在同一球面上,则此球的表面积等于________.

1B1C1的各顶点都在同一球面上,若【变式】(2009全国卷Ⅰ)直三棱柱ABCA

ABACAA12,BAC120,则此球的表面积等于 .

6、(2008海南、宁夏高考)一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六9棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,则这个球的体8

积为

(07辽15)

若一个底面边长为

所有顶点都在一个球的面上,则此球的体积为 .

7、(07全Ⅰ,15)正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都

S,A,B,C,D都在同一个球面上,则该球的体积

为_________.

8、(2010·辽宁文科·T11)已知SABC是球O表面上的点,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB=1

则球O的表面积等于( )

A.4 B.3 C.2 D. 

【变式】(07,海南文11)已知三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上,球心O在

AB

上,SO底面ABC

,AC,则球的体积与三棱锥体积之比是( )

A.π B.2π C. D.4π

【变式】(2011·辽宁高考 理)已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=3,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S-ABC的体积为( )

A.33 B.23

C.3 D.1

9、在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积为( )

A.

125 12 B.125 9C.125 6D.125 3

【变式】 在等腰梯形ABCD中,AB=2CD=2,DAB600,E为AB中点,将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B

三、球与旋转体的组合

10、(2011新课标16) 已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同

3一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的,则这两个圆锥中,体积较小者的高16

与体积较大者的高的比值为______。

11、如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:

(1)球的表面积等于圆柱的侧面积.

(2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.

]

12、(2011四川15)如图,半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球

的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________.

四、应用 史话

据说阿基米德发现这个有趣的数学关系时,十分高兴,就产生了在自己墓前刻上这个图案的想法。马塞拉斯得知后,就刻了这块墓碑。

1、据说伟大的阿基米德死后,敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑,以此纪念,在墓碑上刻了一个球内切与圆柱的图案,还在图案上刻了一个圆锥。这样,圆柱的底面直径与其高度相等,也与圆锥的高度相等,试计算出图形中圆锥,球,圆柱的体积比。

2、在棱长为1的正方体内,有两个球相外切,且分别与正方体面相

切。

①求两个球的半径之和 ;

②球的半径分别为多少时,球的体积之和最小。

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