地球表面积

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【优秀范文】地球表面积

范文一:球的表面积 投稿:江簟簠

球的表面积

授课教师:周锦泉

一、 教材分析:球的表面积公式是旋转体一章的重点内容,从演绎的角度来看教材的安排是比较科学的——在给出预备定理的基础上,再建立球的表面积公式。但从学生发展的过程来看,却又在学生认识规律之外,这是因为,按现行的教材的体系,学生难以解决下列问题:

1.作半圆的内接正折线是怎样想到的?作半圆珠笔的任意内接折线行不行?

2.已有一整套圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式,为什么还需要一个统一的公式?

3.这个预备定理起什么作用?事先又是怎样想到这个定理的?

4.这个预备定理是不是仅仅为了学习球的侧面积公式而提出来的?学生还能获得什么?

二、 教学目的:

1、 通过球的表面面积公式的预备定理的证明,培养学生的空间想象能力和分析问题、解决问题的能力。 2、 会应用预备定理推导球的表面积公式,同时向学生渗透分割、逼近的数学思想。

3、 会运用球的表面积公式解答一些多面体和旋转体的相切、相接问题。

4、培养学生认真观察,大胆想象,积极探索发现问题,大胆提出问题的良好习惯。

三、教学重点:

球的表面积公式及其推导

二、 教学难点:

运用预备定理推导球的表面积公式·

三、 教学方法:

探索发现方法

四、 教学工具:

投影仪、投影片、自制教具

五、 教学过程:

<一>创造问题情境

师:同学们,这节课我们一起来研究一类我们日常生活中觉见的问题:

求球的表面积问题。(板书课题)

师:在这之前,我们已学习了圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式。(复习公式)

探求这些公式时,我们运用的方法是:先展开再求面积。那么,求球的表面积能否也这样做呢?我们先一起来看这样的两个实验。

实验1:动手剪皮球,说明球面不可展。

实验2:自制半圆柱“复印”球面的错误理解。这两个实验说明球面不可展。

那么,我们应如何来求球的表面积呢? 新问题旧知识 S=?

<二>师生共同探索

通过教具启发学生分割半球为若干块,然后把这些几何体可近似地看成圆台、圆锥,当分割的块数无限多时,这些圆台、圆锥的侧面积之和就会近似地等于半球的面积。

这种方法叫做分割,无限逼近法。这样就转化成了求球面的内接圆柱、圆台、圆锥的侧面积问题了。如何求呢?请看如下问题:

问题1:已知球面O的内接圆台的高OO’=h,球心O到母线AD的距离OE=p,求证:

S=2ph

分析:过圆台的轴的平面截圆台和球分别及轴截面ABCD和球的大圆⊙O,这时轴截面ABCD是⊙O的内接等腰梯形。

要证:S=2ph 2ph=(r+r’) 2ph=(r+r’)

ph=

OE•DD’=EE’•AD

△ADD’∽ △OEE’

总结:该问题结论即为教材P的预备定理。即:

定理1:球面内接圆台的高为h,球心到母线距离为p,则S=2ph。

问题2:请同学们思考一下,球的内接圆锥、圆柱对这个结果是否同样成立?

为什么?

结论:这个结果对于球的内接圆柱、圆锥仍然成立,因为圆柱、圆锥可以看成是特殊的圆台。 <三>学生讨论交流

师:现在我们已有定理1这个结论,下面请同学们思考一下,我们应如何运用无限逼近法求S? <四>教师点拔

1、 预备定理的作用在于:‘把半球分割后,求球的内接圆台、圆锥的侧面积’。

2、 S=2

ph =2p(h =2

=2p•ON pR

分点无限增加,侧面积无限地接近半球面,同时P

R,S

我们把这个和作为半球面的面积。

∴定理2:S

3、 课本是采用等分圆弧无限逼近的,采用等分半径行吗?

<五>巩固与应用

例1、 填空:<1>球半径扩大2倍时,大圆面积扩大_______倍,球面面积扩大 ______倍。

<2>球的半径扩大K倍时,球面面积扩大_____倍。

<3>大圆面积扩大K倍时,球面面积扩大_____倍。

例2、 已知:圆柱的底面直径与高都等于球的直径。

求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积。

(2)球的表面积等于圆柱全面积的

<六>归纳小结

组织学生对以上教学环节归纳小结,并回答下面问题:

(1) 本节课学习的主要内容是什么?

(2) 这节课你印象最深刻的是什么?你认为理解得不够深刻的是哪些地方?

(3) 通过这节课的学习,你得到了哪些启示?以后在课堂上刻如何学习才能提高效率?

(4) 这节课的学习运用了哪些数学思想方法,哪些解题技巧、规律?

a、实验联想建模证明

b、无限逼近思想

<七>作业布置

P

<八>板书设计

课题:球的表面积

1、 实验:<1><2>

2、 新问题旧知识 S?

3、 定理1:S=2ph

4、定理2:S

5、小结: ①实验②无限逼近思想 联想建模证明

范文二:球的表面积 投稿:方谜谝

《球的表面积》教学设计

一、 教学目标

【知识目标】

1、 领会并能记住球的表面积公式

2、 了解球的表面积公式推导过程

3、 能根据球的表面积公式来解决一些具体的关于球的表面积的计算和证明问题。并且能根据球的具体条件变化,计算变化前后的表面积之比

【能力目标】

1、培养学生观察、估算、构造、论证与总结的能力,同时激发学生分析问题,解决问题的能力。

2、培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

【思想目标】

通过对球的表面积公式的推导,让学生了解推导过程中所运用的基本数学思想方法“分割——求和——化为准确和”,为学生们今后进一步学习微积分和近代数学知识做好铺垫。 通过“类比”、“分割”、“求和”,“极限”等数学思想在教学中的运用,让学生理解这些方法,并学会应用。

二、 设计意图

《球的表面积》是高三第一学期15.4中的内容,是柱体和锥体表面积计算方法的一个延伸。而且球的表面积在现实生活中具有广泛的应用,这节课不仅要让学生明白球是一个不可展曲面,而且要让学生在推导球的表面积公式中领会类比、分割、求和、极限的数学思想。

三、 教学过程

(一)提出问题,引入新课

1)、利用实际物体提出设计场景。

问题:如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球,且假设涂的油漆厚度相同,问哪一个球所用

的油漆比较多?为什么?

2)这就与球的表面积有关了。我们已经学习了柱体、锥体的表面积计算公式,我们那时候

是用什么方法推导那些公式的?

(将柱体与锥体展成平面图形)

3)想一想,球体能不能展成平面图形?

(不能,此处可告诉学生球是一个不可展曲面,并对不可展曲面做出适当的展开)

4)正式提出问题。

球既没有底面,也无法像柱、锥一样展成平面图形,那怎样求球的表面积呢?

(二)通过类比,探究新知

1)记得在学习球的体积公式的时候,我们介绍过一个特殊的方法——分割,求和。

简单的回顾:有一种方法可将所求的圆分割成许多小的圆片,通过求第i块小圆片的体积,从而推出整个大球的体积公式。

2)问题:我们可不可以类似的来求圆的表面积呢?(可以)

此处引导学生通过类比的方法,探索求圆的表面积的思路。

3)问题:如果可以,那么如何分割才是最合适的,最方便计算的?

此处可以让学生分组讨论,打开学生的思路,培养学生对未知事物的探索精神。

(三)逐步引导,推出公式

1) .若将球表面平均分割成n个小块,则每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近

于甚至等于球的表面积.

这时候学生已经得出了用分割法求球的表面积的结论,并且也想出了很多分割的方案。此处教师可介绍最普遍的一种。(学生推导为主,教师引导为辅)

2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.

第一步:分割

如图所示,球面可被分割成n个网格,它们的表面积分别为S1,S2,S3,,Sn 则球的表面积S=S1S2S3Sn

如果设“小锥体”的体积为Vi

则球的体积为:

V=V1V2V3Vn

第二步:求和

1VSihi3

由第一步得到V=V1V2V3Vn V1111S1h1S2h2S3h3Snhn 3333

第三步:准确和

如果网格分布越细,则“小锥体”就越接近小棱锥

hi的值就趋向于球的半径

R

1SiR 3

1111V=S1RS2RS3RSn 3333Vi

又球的体积我们已经学过为:V43R 3

431RRS,从而S=4R2 33

3)得出结论:半径R的球的表面积公式为:

S球=4R2

(三)、适当练习,巩固应用

1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的______倍. (答案8倍)

2.若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的________倍(答案4倍)

3.若两球表面积之比为1:9,则其体积之比是______.(答案1:27)

4.若两球体积之比是8:1,则其表面积之比是______.(答案4:1)

35.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为___cm. (答案:)

6正方体的内切球和外接球的体积比为 ,表面积比为 。 (答案:3:1 ; 3 :1)

7.长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5,是它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是 。 (答案50)

此处希望学生通过适当的练习加强对球的表面积公式的运用与记忆,同时也是对原先知识的回顾。

(四)、归纳小结,布置作业

教师:我们本节课主要学习了球的表面积公式的推导,以及利用公式解决相关球的问题,了解了推导中“分割、求近似和,再有近似和转化为准确和”解题的方法。希望大家可以在以后遇到类似问题的时候想到这些方法,并学会运用方法。而且大家还可以在课后想一想球的表面积公式推导中,除了以上的方法之外,还有别的什么分割方法。也自己尝试着动脑想一想,动手算一算。

学生:„„

布置作业:„„

范文三:球体表面积 投稿:张莦莧

球体表面积

球体表面积是指球面所围成的几何体的面积,它包括球面和球面所围成的空间。 1公式 球体表面积公式2公式证明 把一个半径为R的球的上半球横向切成n(无穷大)份,

每份等高

并且把每份看成一个类似圆台,其中半径等于该类似圆台顶面圆半径

则从下到上第k个类似圆台的侧面积S(k)=2πr(k)×h

其中r(k)=√[R^2-﹙kh)^2],

h=R^2/{n√[R^2-﹙kh)^2}.

S(k)=2πr(k)h=(2πR^2)/n

则 S=S(1)+S(2)+„„+S(n)= 2πR^2;

乘以2就是整个球的表面积 4πR^2;

可以把半径为R的球看成像洋葱一样分成n层,每层厚为=,设第k层与球心的距离为r=r(k)=k,面积为一个关于r(k)的函数设为S(r),则k层的体积V(k)=S(r)*, 所以V=V(k)=S(k)*=S(r)*Δr=,也就是V(r)=,有可以知道V(r)=4/3πr^3,所以同时求导就可得S(r)=4πr^2

一个圆锥所占空间的大小,叫做这个圆锥的体积.

一个圆锥的体积等于与它等底等高 的圆柱的体积的1/3

根据圆柱体积公式V=Sh(V=πr^2h),得出圆锥体积公式:

S是圆柱的底面积,h是圆柱的高,r是圆柱的底面半径。

证明:

把圆锥沿高分成k分 每份高 h/k,

第 n份半径:n×r÷k

第 n份底面积:pi×nx2×rx2÷kx2

第 n份体积:pi×h×nx2×rx2÷kx3

总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi×h×(1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2)×rx2/kx3

∵1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2=k×(k+1)×(2k+1)÷6

∴总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2)*rx2/kx3

=pi*h*rx2* k*(k+1)*(2k+1)/6kx3

=pi*h*rx2*(1+1/k)*(2+1/k)/6

∵ 当n越来越大,总体积越接近于圆锥体积,1/k越接近于0

∴ pi*h*rx2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*rx2/3

∵ V圆柱=pi*h*rx2

∴ V圆锥是与它等底等高的V圆柱体积的1/3

半球体积的计算 由祖暅原理,半球与一个拥有与半球体相同横切面积和高的立体,即圆柱体中间切去一个圆锥体体积相同。

容易得体积为2/3×π×r^3(三分之二乘派乘半径的三次方)。

球的体积:

a) 在给出半球的概念后,让学生进一步思考如何计算出半球的体积,进而求出整

个球的体积。这里我们采用分割的方法来计算球的体积。

下面用多媒体演示球的分割示意图,如图,把垂直于底面的半径OA作n等分,经过这些等分点,用一组平行于底面的平面把半球切割成n层,每一层都近似于一个圆柱形的“薄圆片”,这些“薄圆片”的体积之和就是半球的体积。这样球的体积就转化为薄圆片的体积和。再进一步引导学生求出这些薄圆片的体积和。

“薄圆片”的厚度Rn由勾

股定理可得可以算出第i层(由下向上数)“薄圆片”的下底面半径(rii1,2,3,,n,)

以此求得第i层“薄圆片”的体积

RR3i12[1()],i1,2,3,(Virinnn2,n,)

那么半球体积也就很容易求出

(V半球V1V2Vn

(n1)2

[1]} n2

] 122{1[12][12] nnn R3R3

n[n1222

n(n1)22

R3

n[n1(n1)n(2n1)] n26

∴半球的体积V半球11(1)(2)] ①) R3[16

设计意图:体现从简单到复杂、具体到抽象的认知过程。在课堂教学中教师引导学生探索获得知识、技能的途径和方法。通过探索,培养学生的观察能力和运动变化的观点,同时充分利用图形的直观性,渗透了数形结合的数学思想,学生在探索的过程中品尝到了自己劳作后的甘甜,感受到耕耘后的丰收喜悦,更激起了学生的探索创新意识。 另外通过多媒体课件的演示,让学生更直观的观察出球是怎样被分割的,以便于引导学生推出半球的体积公式。这样将抽象概念生动、直观地通过多媒体课件展示出来,从视觉上刺激学生,激发学生探索的兴趣,引导学生用所学知识解决实际问题。

b) 紧接着第二步,让学生深入下去,进而推导出半球更为精确的体积公式。 适时的给出提示:当n不断变大时,半球的体积会越来越精确,若n变为无穷大时,趋向于0,这时半球的体积公式便出来了。 1n

(V半球11(1)(2)]R3112R3) R3[1633

4R3.也就出来了。 3进而球的体积公式V

范文四:球的体积与表面积 投稿:彭謯謰

球的体积与表面积

(2015高考数学)10.已知A,B是球O的球面上两点,AOB90,C为该球面上的动点。若三棱锥OABC体积的最大值为36,则球O的表面积为

A、36 B、 64 C、144 D、 256

(2013高考数学)(15)已知正四棱锥O

ABCD的体积为

为球心,OA为半径的球的表面积为________。

知识点

习题

一、选择题

1.若球的大圆面积扩大为原来的4倍,则球的表面积比原来增加( ) A.2倍 B.3倍 C.4倍 D,8倍

2.若生成球的圆周长是C,则这个球的表面积是( )

222ccc A. B. C. D.2πc2

44,

则以O2

3.生成球的圆面积增大为原来的4倍,那么球的体积增大为原来的( ) A.4倍 B.8倍 C.16倍 D.32倍 4.三个球的半径之比为1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两个球的体积和的( ) A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍

5.棱长为1的正方体内有一个球与正方体的12条棱都相切,则球的体积为( ) A.4π B. C.42 D.2π 34

6.圆柱形烧杯内壁半径为5cm,两个直径都是5 cm的铜球都浸没于烧杯的水中,若取出这两个铜球,则烧杯内的水面将下降( )

A.5cm B.10cm C.40cm D.5cm 3336

7.长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5,且它的8个顶点都在同一球面上,这个球的表面积为( )

A.202π B.252π C.50π D.200π 8.等体积的球与正方体,其表面积的大小关系为( )

A.S球>S正方体 B.S球=S正方体

C.S球<S正方体 D.大小关系不确定

二、填空题

9.已知三个球的表面积之比为1∶4∶9,若它们的体积依次为V1、V2、V3,则V1+V2=

_____V3.

10.将一个玻璃球放人底面面积为64πcm2的圆柱状容器中,容器水面升高4cm,则玻璃3

球的半径为__________.

11.将一个半径为R的木球削成一个尽可能大的正方体,则此正方体的体积为______. 12.国际乒乓球比赛已将“小球”改为“大球”,“小球”的外径为38 mm,“大球”的外径

为40 mm,则“小球”与“大球”的表面积之比为__________.

三、解答题

13.已知正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,则这样的三棱柱内能否放进一个体积为

的小球?

14.表面积 为324π的球,其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积. 平面基本性质

1.判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打“×”

(1)空间三点可以确定一个平面 ( )

(2)两条直线可以确定一个平面 ( )

(3)两条相交直线可以确定一个平面 ( )

(4)一条直线和一个点可以确定一个平面 ( )

(5)三条平行直线可以确定三个平面 ( )

(6)两两相交的三条直线确定一个平面 ( )

(7)两个平面若有不同的三个公共点,则两个平面重合 ( )

(8)若四点不共面,那么每三个点一定不共线 ( )

画出图形

(1)A,B,Al,Bl;

(2)a,b,a//c,b16cp,

例2 将下列文字语言转化为符号语言:

(1)点A在平面内,但不在平面内;(2)直线a经过平面外一点M;

(3)直线l在平面内,又在平面和相交于直线l

范文五:1xxxx.3.3球的表面积与体积 投稿:潘煪煫

第三课时

(一)教学目标1.知识与技能

球的表面积与体积

(1)了解球的表面积与体积公式(不要求记忆公式).(2)培养学生空间想象能力和思维能力.2.过程与方法

通过作轴截面,寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系.3.情感、态度与价值

让学生更好地认识空间几何体的结构特征,培养学生学习的兴趣.(二)教学重点、难点

重点:球的表面积与体积的计算难点:简单组合体的体积计算(三)教学方法讲练结合教学过程新课引入

教学内容

复习柱体、锥体、台体的表面积和体积,点出主题.

4

1.球的体积:V=πR3

3

师生互动

师生共同复习,教师点出点题(板书)

师:设球的半径为R,那

4

么它的体积:V=πR3,它的

3

设计意图复习巩固

2.球的表面积:S=4πR2

面积S=4πR2现在请大家观察这两个公式,思考它们都有什么特点?

生:这两个公式说明球的

探索新知

体积和表面积都由球的半径R惟一确定.其中球的体积是半径R的三次函数,球的表面积是半径R的二次函数.

师(肯定):球的体积公式和球的表面积公式以后可以证明.这节课主要学习它们的应用.

典例分析

例1

如图,圆柱的底面直径

教师投影例1并读题,学

本题较易,加强对公式的认识培养学生理解能力

与高都等于球的直径.求证:

(1)球的体积等于圆柱体积的

2;3

生先独立完成.教师投影答案并点评(本题联系各有关量的关键性要素是球的半径)

学生独立完成,有利于培养学生问题解决的能力.

(2)球的表面积等于圆柱的侧面积.

证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.

4

因为V球=πR3,

3

V圆柱=πR2⋅2R=2πR3,

2

所以,V球=V圆柱.

3

(2)因为S球=4πR2,S圆柱侧=2πR⋅2R=4πR2,

所以,S球=S圆柱侧.例2

球与圆台的上、下底面及

教师投影例2并读题,

师:请大家思考一下这道题中组合体的结构特征.

生:球内切于圆台.师:你准备怎样研究这个组合体?

生:画出球和圆台的轴截面.

师:圆台的高与球的哪一

通过师生讨论,突破问题解决的关键,培养学生空间想象能力和问题解决的能力.

侧面都相切,且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4,则球的体积与圆台的体积之比为(

A.6:13C.3:4

B.5:14D.7:15

【解析】如图所示,作圆台的轴截面等腰梯形

个量相等?

生:球的直径.

师:根据球和圆台的体积

ABCD,球

的大圆O内切于梯形ABCD.

设球的半径为R,圆台的上、

公式,你认为本题解题关键是什么?

生:求出球的半径与圆台的上、下底面半径间的关系.

师投影轴截面图,边分析边板书有关过程.

下底面半径分别为r1、r2,由平面几何知识知,圆台的高为2R,母线长为r1+r2.

∵∠AOB=90°,OE⊥AB(E为切点),

∴R2=OE2=AE·BE=r1·r2.

师:简单几何体的切接问题,包括简单几何体的内外切和内外接,在解决这类问题时要准确地画出它们的图形,一般要通过一些特殊点,如切点,某些顶点,或一些特殊的

由已知S球∶S圆台侧=4πR2∶π(r1+r2)2线,如轴线或高线等,作几何=3∶4

π(r1+r2)2=

体的截面,在截面上运用平面

162

R.34πR31

π(r12+r1r2+r22)⋅2R3

=6.13

几何的知识,研究有关元素的位置关系和数量关系,进而把问题解决.

V球∶V圆台=

2R22R2

==

(r1+r2)2−r1r2162

R−R23

教师投影例3并读题,学

故选A.

例3

生先思考、讨论,教师视情况

在球面上有四个点P、A、控制时间,给予引导,最后由

学生分析,教师板书有关过程.师:计算球的体积,首先必须先求出球的半径.由于PA、PB、

本题有两种解题方法,此处采用构造法解题,目标培养学生联想,转化化归的能力.另一种方法,因要应用球的性质,可在以后讨论.

B、C,如果PA、PB、PC两两垂直

且PA=PB=PC=a,求这个球的体积.

解:∵PA、PB、PC两两垂直,

PC是两两垂直的而且相等的

三条棱,所以P–ABC可以看

PA=PB=PC=a.

∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体又∵P、A、B、C四点是球面上四点,

∴球是正方体的外接球,正方体的对角线是球的直径.

成一个正方体的一角,四点P、

A、B、C在球上,所以此球可

视为PA、PB、PC为相邻三条棱的正方体的外接球,其直径为正方体的对角线.

备用例题

例1.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半,且AC=BC=6,AB=4,求球面面积与球的体积.

【分析】可以用球的截面性质。即截面小圆的圆心到球心的线段垂直于截面小圆平面.

【解析】如图,设球心为O,球半径为R,作OO1⊥平面ABC于O1,由于OA=OB=OC

=R,则O1是△ABC的外心.

设M是AB的中点,由于AC=BC,则O1∈CM.设O1M=x,易知O1M⊥AB,则O1A=

又O1A=O1C∴

=x.解得x=

,O1C=CM–O1M=–x

则O1A=O1B=O1C=

在Rt△OO1A中,O1O=

R

,∠OO1A=90°,OA=R,2

R2由勾股定理得()2+=R2.解得R=

24

故S球面=4πR2=54π,V球=πR3=.

3

例2.如图所示棱锥P–ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD=

a,PA=PC,且PD是四棱锥的高.

(1)在这个四棱锥中放入一个球,求球的最大半径;(2)求四棱锥外接球的半径.

图4—3—9

【分析】(1)当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大,即球心到各个面的距离均相等,联想到用体积分割法求解.(2)四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D五点的距离均为半径,只要找出球心的位置即可.球心O在过底面中心E且垂直于底面的垂线上.

【解析】(1)设此球半径为R,最大的球应与四棱锥各个面都相切,设球心为S,连结

SA、SB、SC、SP,则把此四棱锥分为五个棱锥,设它们的高均为R.

111

VP−ABCD=⋅S▱ABCD⋅PD=⋅a⋅a⋅a=a3,

333

S△PAD=S△PDC=

11

⋅a⋅a=a2,22

S△PAB=S△PBC=

12⋅a=,2S□ABCD=a2.

VP–ABCD=VS–PDA+VS–PDC+VS–ABCD+VS–PAB+Vs–PBC,

131

a=R(S△PAD+S△PDC+S△PAB+S△PBC+S▱ABCD),33131121222a=R(a+a+a2),3322所以

R1(2+a2=a3,R===(1a,33a.即球的最大半径为(1(2)法一:设PB的中点为F.因为在Rt△PDB中,FP=FB=FD,在Rt△PAB中,FA=FP=FB,在Rt△PBC中,FP=FB=FC,所以FP=FB=FA=FC=FD.

所以F为四棱锥外接球的球心,则FP为外接球的半径.法二:球心O在如图EF上,设OE=x,EA=

a

又OP==x=

2

,R===OA即球心O在PB中点F上.

【评析】方法二为求多面体(底面正多面边形)外接球半径的通法;求多面体内切球半径经常采用体积分割求和方法.

范文六:球的体积与表面积 投稿:宋盗盘

球的体积与表面积

教材分析:本节为北师大版必修2第一章第7节第三课时,本节教材直接给出了球的表面积和体积公式,并用例题来说明其应用,本人增加了球的基本性质及相关应用,研究了球与几何体的组合体的有关计算,这是本节的重点,也是高考的重点

三维目标:掌握球的表面积和体积公式,并能应用其解决有关问题,提高学生解决问题的能力,培养转化与划归的数学思想方法

教学重点:球的表面积和体积公式的应用

教学难点:关于球的几何体的计算

教学过程:

1、复习:

1)球的定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,将半圆旋转一周形成曲面叫做球面,球面所围成的几何体叫做球体,简称球。

2)用一个平面去截一个球,截面是什么?圆面

图中的两个截面分别叫什么?

球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆

球面被不过球心的截面截得的圆叫球的小圆

2、引入:

  中国打乒乓球是非常厉害的,中国乒乓球队在各个国际比赛中总是包揽乒乓球项目的所有金牌,俗话说:"木秀于林,风必摧之",外国人不同意了,不能让中国一个把金牌全拿了,得改,改什么呢,改不了规则就改球

  国际乒联决定从2000年10月1日起,也就是在悉尼奥运会之后,乒乓球比赛将使用直径40毫米,重量2.7克的大球取代38毫米小球

  乒乓球从直径38毫米增加了2毫米,半径增加了1毫米,就这一毫米外国人都不放过,但是这一毫米半径对咱中国的选手还是有影响的,比如说著名的技术型选手刘国梁,改球之后刘国梁也尝到了失败的滋味,但对力量型选手,比如说王励勤,刘国正,马琳的影响就不大。

思考:半径1毫米的变化直接导致了乒乓球什么的变化?改变了体积和表面积

球的体积:

球的表面积:

观察公式,球的表面积与体积只与球的半径有关

   解决该类问题的关键是:如何根据已知条件求球的半径

思考:1)已知球的表面积,如何求球的体积?

套表面积公式求出半径,再套体积公式

2)已知两球的表面积之比,如何求两球的体积之比?

先开平方在乘立方,开平方得到的是半径之比

3、练习一

1)8个半径为2的铁球熔铸成一个球,求这个球的表面积?

解:,

  

2)如图,一个圆锥形的空杯子上面放了一个半球形的冰激凌,如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗?

4、球的有关性质:

1)球心和截面圆心的连线垂直于该截面

证明:过小圆的圆心作两条直径,并连接球心和直径的端点,得到了两个等腰三角形,利用三线合一可得001垂直于小圆面内的两条相交直线,所有得到结论

2)球心到截面的

距离d与球的半径R,小圆半径r的关系:

证明:构造直角三角形,利用勾股定理

5、练习二

1)以球的半径的中点为圆心,作球的截面,已知此截面的面积为48πcm2,求此球的表面积和体积?(可用上图)

解:

  

  

  

2)将一个气球放入一个棱长为4cm的正方体内,不断充气使其与正方体各面都相切,且球保持不变形,求气球的表面积和体积

分析:球内切于正方体,球心是正方体的中心,切点是正方体六个面的中心,经过四个切点和球心作截面,如图:

结论:正方体的内切球直径2R=正方体的棱长

解:

  

  

3)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4cm,它的各个顶点都在球O的球面上,求球O的表面积

分析:球内接正方体,正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面:如图:

结论:球内接正方体的对角线既是球的一条直径

解:

  

4)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,求球的表面积?(可用上图)

解:

  ∴正四棱柱底面边长为2

  

  

6、练习三

1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍

2)若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的___倍

3)若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是______

4)若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是______

5)长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ,则它的外接球的表面积为_____

6)若两球表面积之差为48π,它们大圆周长之和为12π,则两球的直径之差为______

7、拓展

有一个倒圆锥形的容器,它的轴截面是一个正三角形,现在往这个容器内注水,并放入一个半径是r的钢球,这时球面恰好与水面相切,那么将球从圆锥形容器中取出后,水深是多少?

分析:球取出前后,水的体积是不变的,利用水体积的不变性建立关于水深h与球半径r的方程

解:PC=3r,AC=

  

  球取出后容器的水深为h,水面圆的半径为

  

  

小结:球的表面积和体积公式

作业:课后练习

教学反思:本节课的引入设计的比较好。引起了学生对学习的兴趣,课件上组合体的展示有助于学生对题目的思考,如果能加上实物模型,效果可能会更好。

范文七:1.4球的体积和表面积 投稿:尹啶啷

1.4 球的体积和表面积

  一、选择题

  

1.若球的大圆面积扩大为原来的4倍,则球的表面积比原来增加( )

A.2倍 B.3倍 C.4倍 D,8倍

2.若球的大圆周长是C,则这个球的表面积是( )

A. B. C. D.2πc2

3.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球面面积是( )

A. B. C.4π D.

4、球的大圆面积增大为原来的4倍,那么球的体积增大为原来的( )

A.4倍 B.8倍 C.16倍 D.32倍

5.三个球的半径之比为1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两个球的体积和的( )

A、1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍

6.棱长为1的正方体内有一个球与正方体的12条棱都相切,则球的体积为( )

A.4π B. C. D.π

7.圆柱形烧杯内壁半径为5cm,两个直径都是5 cm的铜球都浸没于烧杯的水中,若取出这两个铜球,则烧杯内的水面将下降( )

A、cm B.cm C.cm D.cm

8.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球面面积为( )

A、π B.π C.4π D.π

9.长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5,且它的8个顶点都在同一球面上,这个球的表面积为( )

A.20π B.25π C.50π D.200π

10.等体积的球与正方体,其表面积的大小关系为( )

A.S球>S正方体 B.S球=S正方体

C.S球<S正方体 D.大小关系不确定

二、填空题

11.已知三个球的表面积之比为1∶4∶9,若它们的体积依次为V1、V2、V3,则V1+V2=_____V3.

12.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为l,则球的体积为_________.

13.将一个玻璃球放人底面面积为64πcm2的圆柱状容器中,容器水面升高cm,则玻璃球的半径为__________.

14.将一个半径为R的木球削成一个尽可能大的正方体,则此正方体的体积为______.

15.表面积为Q的多面体的每个面都外切于半径为R的一个球,则多面体与球的体积之比为______.

16.国际乒乓球比赛已将"小球"改为"大球","小球"的外径为38 mm,"大球"的外径为40 mm,则"小球"与"大球"的表面积之比为__________.

三、解答题

  17.已知正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,则这样的三棱柱内能否放进一个体积为的小球?

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  18.用刀切一个近似球体的西瓜,切下的较小部分的圆面直径为30 cm,高度为5 cm,该西瓜体积大约有多大?

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  19.三棱锥A-BCD的两条棱AB=CD=6,其余各棱长均为5,求三棱锥的内切球的体积.

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

20.表面积为324π的球,其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.

参考答案

一、选择题

1.B 2.C 3.D 4.B 5.C 6.C 7.A 8.D 9.C 10.C

二、填空题

11.

提示:三个球半径之比为1∶2∶3,体积为1∶8∶27.

12.36π

设球的半径为R,由题意得-=1,

∴R=3,∴V球==36π.

13.4cm 14. 15.Q∶4πR2 16.361∶400

三、解答题

17.设球半径为R,则=,∴R=.而正三棱柱底面内切圆半径r=,比较R与r的大小,R6===·,r6===·,

∴R6>r6,∴R>r,所以不能放进一个体积为的小球.

18.解:如图,设球半径为Rcm,切下的较小部分圆面半径为15cm,∴OO′=R-5.

Rt△OO′A中,R2-(R-5)2=15,

∴R=25(cm).

V===(cm3).

19.设球半径为R,三棱锥A-BCD表面积为S,则V三棱锥=.取CD中点M,连结AM、BM.

∵AC=AD=5,∴CD⊥AM.

同理CD⊥BM,∴CD⊥平面ABM,

∴V三棱锥=(CM+MD),S△AMB=2S△AMB.

∵AM=BM=4,取AB中点N,连结MN,

则MN⊥AB,且MN==,

∴S△ABM=,∴V三棱锥=.

又三棱锥每个面面积和都为12,

∴S=4×12=48,∴V三棱锥==16R.

20.解:设球的半径为R,正四棱柱底面边长为a,

∵4πR2=324π,∴R=9,

∴142+()2=182,∴a2=64,∴a=8.

∴S四棱柱=2a2+4a·14=64×2+32×14=576.

范文八:球体体积表面积 投稿:洪團圙

教学目标

重点难点

球的体积

球表面积

退出

例题讲解

课堂练习

课堂小结

课堂作业 封底

教学目标

掌握球的体积、表面积公式.

掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法.

会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题,培养 学生应用数学的能力. 能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外 切”的几何体问题.

重点难点

教学重点

球的体积公式及应用 球的表面积公式及应用

教学难点

球的表面积公式的推导

球的体积公式的推导

分割  求近似和  化为准确和思想方法

球的体积

高等于底面半径的旋转体体积对比

R 

V圆锥

1 3  R 3

V半 球  ?

V圆柱

3 3  R 3

猜测 : V半球

2 4 3  R , 从而V  R 3 . 3 3

球的体积

学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来.所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法.

我们把一个半径为R的圆分成若干等分,然后如上图重新 拼接起来,把一个圆近似的看成是边长分别是 R和R的矩形.

那么圆的面积就近似等 R . 于

2

球的体积

当所分份数不断增加时,精确程度就越来越高;当 份数无穷大时,就得到了圆的面积公式.

分割

求近似和

化为准确和

下面我们就运用上述方 法导出球的体积公式

即先把半球分割成n部分,再求出每一部分的近似体积, 并将这些近似值相加,得出半球的近似体积,最后考虑n变 为无穷大的情形,由半球的近似体积推出准确体积.

球的体积

A A

O

C2

O

B2

r1  R  R,

2

R 2 r2  R  ( ) , n

2

2R 2 r3  R  ( ) , n

2

A

球的体积

ri

O

R ( i  1) n

R

O

第i层“小圆片”下底面的 半径:

ri  R R  [ ( i  1)]2 , i  1,2 , n. n

2

球的体积

R ( i  1)]2 , i  1,2, , n n R R 3 i 1 2 2 Vi  ri   [1  ( ) ], i  1,2 , n n n n ri  R2  [

V半球  V1  V2    Vn

12  2 2    ( n  1) 2  [n  ] 2 n n

R 3

R 3 1 ( n  1)  n  ( 2n  1)  [n  2  ] n n 6

1 ( n  1)( 2n  1)  R [1  2  ] n 6

3

球的体积

V半球 1 1 (1  )( 2  ) n n ]  R 3 [1  6

1  0. n

当n  时,

2 V半 球  R 3 3 4 从 而V  R 3 . 3

4 3 定理:半径是 的球的体积为:  R R V 3

球的表面积 球面不能展开成平面图形,所以求球的表面积无法用展开图 求出,如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法, 是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢?

下面,我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式.

1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平

均分割成n个小块, 每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似 看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近 于甚至等于球的表面积. 2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为 顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大, 越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.

球的表面积

S i

o o

球的表面积 球面被分割成n个网格,表面积分别为:

第 一 步: 分 割

S1,S2,S3 ,, Sn

O 则球的表面积:

S  S1  S2  S3    Sn

设“小锥体”的体积为 Vi 

S i

O

则球的体积为:

Vi

V  V1  V2  V3    Vn

球的表面积

第 二 步: 求 近 似 和

S i

hi

O O

Vi

1 Vi  S i hi 3

由第一步得: V  V1  V2  V3    Vn

1 1 1 1 V  S1h1  S2 h2  S3 h3    Sn hn 3 3 3 3

球的表面积

第 三 步: 化 为 准 确 和

O

hi

S i

Vi

如果网格分的越细,则: “小锥 体”就越接近小棱锥

hi 的值就趋向于球的半径 R

1  Vi  S i R 3 1 1 1 1 V  Si R  S2 R  S3 R    Sn R 3 3 3 3

1 1  R( Si  S2  S 3  ...  Sn )  RS 3 3

S i

R

Vi

4 3 又球的体积为:  R V 3 4 1 3 R  RS , 从而S  4R 2

3 3

例题讲解

例1.钢球直径是5cm,求它的体积.

4 4 5 3 125 3 V  R    ( )  cm 3 3 3 2 6

(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)

例题讲解

(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是

4 5 3 4 7.9  [   ( )  x 3 ]  142 3 2 3

x

3

5 3 142  3 ( )   11.3 2 7.9  4

由计算器算得:

x  2.24

2 x  4.5

答:空心钢球的内径约为4.5cm.

例题讲解 (变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, 至少要用多少纸?

用料最省时,球与正方体有什么位置关系?

球内切于正方体

侧棱长为5cm

S 侧  6  5  150cm

2

2

例题讲解

例2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 个顶点都在球O的球面上,问球O的表面积。

分析:正方体内接于球,则由球和正方 体都是中心对称图形可知,它们中心重 合,则正方体对角线与球的直径相等。

略解:RtB1 D1 D中 : ( 2 R )  a  ( 2a ) , 得

2 2 2

D A D1 A1 D A O B B

C

O

C1 B1 C

3 R a 2  S  4R 2  3a 2

D1

A1 B1

C1

例题讲解

例3已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距 离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm,求球的 体积,表面积. 解:如图,设球O半径为R

, 截面⊙O′的半径为r,

O

A

O

 O O 

R , ABC是正三角形, 2

C

O A 

2 3 2 3  AB  r 3 2 3

B

例题讲解

例3.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm,求球的体积, 表面积.

解:在RtOOA中, OA2  OO 2  OA 2 ,

 R2  ( R 2 2 3 2 ) ( ) , 2 3

4 R  . 3

4 4 4 3 256 3 V  R   ( )  ; 3 3 3 81

O

A

O

C

16 64 S  4R  4   . 9 9

2

B

课堂练习

练习一

8 1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的_倍.

2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 32 3 这个球的体积为___cm3. 3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 1: 2 2 : 3 3 个球的体积之比_________.

课堂练习

练习二

1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍. 2 2.若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的___倍. 4

1: 2 2 3.若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是______.

1: 3 4 4.若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是______.

课堂练习

练习二

5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 则它的外接球的表面积为_____. 9

3 , 5 , 15,

6.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π , 则两球的直径之差为______. 4

7.将半径为1和2的两个铅球,熔成一个大铅球,那么 这个大铅球的表面积是______. 123 3

课堂小结

了解球的体积、表面积推导的基本思路: 分割→求近似和→化为标准和的方法,是 一种重要的数学思想方法—极限思想,它 是今后要学习的微积分部分“定积分”内 容的一个应用; 熟练掌握球的体积、表面积公式: 4 3 V  R 3 S  4R 2

课堂作业

习题9.11 P.74 5、6 、7、8 预习小结与复习P.75—P.77

范文九:球的体积与表面积 投稿:林讃讄

1.3.2 球的体积和表面积

汉川一中 冯志勇 2010年4月

一、内容和内容解析

几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置的数学学科.空间几何是几何学的重要组成部分.本章从对空间几何体的整体观察入手,研究空间几何体的结构特征、三视图和直观图,了解一些简单几何体的表面积和体积的计算方法.

本节课是在学生学习了柱体、锥体、台体的表面积与体积公式的基础上, 接着学习球体的体积和表面积公式. 教材直接给出了球的体积和表面积公式,不要求证明.明确指出球的体积和表面积都是半径的函数.并用一个圆柱体内切球的例题来说明公式的应用.

教学设计由一个实际问题入手,让学生再次认识到数学来源生活,激发学习兴趣,明确学习的目标.然后自主阅读,质疑,加深学生对球的体积和表面积公式的了解, 认识到球半径大小是解决球的体积和表面积问题的关键, 接下来通过公式的套用、简单变用解决球的体积和表面积问题, 最后通过解决与球有关的简单组合体的体积和表面积问题, 培养学生分析解决问题的能力.由此确定本节课的重点和难点:

(1)教学重点: 球的表面积和体积公式的基本应用.

(2)教学难点: 关于球的组合体的体积和表面积计算.

二、目标和目标解析

(1)知识与技能目标: 了解球的体积和表面积公式,会用球的体积和表面积公式解决简单的实际问题.培养学生函数与方程的思想, 提高学生的抽象概括能力、空间想象能力、分析和解决问题的能力,增强学生的问题意识、应用意识;

(2)过程与方法目标:培养学生阅读、表达、联想拓展、交流合作等自主学习习惯;

(3)情感、态度与价值观: 感受数学在社会生活中的应用价值,培养学生学习数学的兴趣和爱国主义精神;体会客观世界中事物与事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点;培养学生不断地认识世界、改造世界的探索精神.

三、教学问题诊断分析

学生刚学习立体几何不久,具备的图形语言表达及空间想象能力相对不足, 几何体的内切球、外接球的位置关系较难想象, 很难顺利作出正确的直观图,空间图形问题向平面图形问题的转化意识也不够,对于解决组合体的体积和表面积的问题有一定的困难,而且实现空间向平面转化的手段主要是选择恰当的辅助平面,那么如何选择恰当的辅助平面? 而且学生的归纳总结能力不够,独立完成自主学习任务有一定困难,还不能从一定高度去体

会和感悟数学思想. 这些是摆在学生面前的难题,也是教学中迫切需要解决的问题.

这些困难都需要教师合理设计恰当的手段加以突破.可先直接用实物展示, 再利用多媒体手段演示, 让学生直观感知组合体的结构特征,使学生领悟到可以从球心位置来寻找突破口,确定辅助面, 求出球半径大小,从而解决问题.学生的归纳总结、自主学习还需要老师适当的的引导和帮助.

四、教学支持条件分析

学生在九年级时就已经了解了球的体积公式,已经有了学习柱体、锥体、台体的表面积和体积的知识和经验, 而且物理学中量纲的知识,有助于对球的体积和表面积公式的了解.

为实现有效教学,在教学中采取了以下策略:1.情境创设策略;2.问题培育策略;3.过程参与策略;4.能力培养策略.

五、教学方法

引导探究式.

六、教学手段

多媒体辅助教学.

七、教学过程设计

Ⅰ.创设情境

[展示通讯卫星信号发射示意图, 八大行星图片及中国2010年上海世博会台湾馆图片.然后出示问题:]

台湾馆以“山水心灯——自然•心灵•城市”为参展主题,由山形建筑体、点灯水台、巨型玻璃天灯与LED(light emitting diode)灯心球幕组成.天灯的内部装置了一座LED大球体,LED 球形大灯直径16 米,内部是一个直径为12 米的360 度的心灵剧场,已知LED显示屏每平方米需要1200个LED,试计算心灵剧场的空间大小,并估计灯心球幕上LED的个数.

设计意图: 创设问题情境,激发学习热情,让学生明确学习任务和目标,有激情地参与学习活动,培养人文素养,提高综合素质.

Ⅱ.探究新知

解决问题需要具备球的体积和表面积的知识,这就是我们这节课研究的内容.

[板书课题:球的体积和表面积.]

1 自主阅读,了解公式

[请学生打开课本第27页,阅读1.3.2节——球的体积和表面积,例4之前的内容,然后概括知识、提出疑问.]

设计意图: 引导学生在阅读过程中观察、联想、类比发现问题,着力培养学生的问题意识.

1.1归纳概括 43球的体积公式: V = . 3

球的表面积公式: S = 4πR2.

1.2质疑解惑

①球有底面吗?如何求球的体积呢? 球面能展开成平面图形吗? 如何求球的表面积呢? ②球的体积(表面积)与哪些量有关?

③球的体积(表面积)与半径之间具备怎样的函数关系?

2 合作交流,套用公式

2.1第28页课后练习1:将一个气球的半径扩大1倍,它的表面积扩大到原来的几倍?

2.2自编练习:已知球的半径(直径)、体积、表面积中的一个量求其余的两个量. 注: 函数方程思想, 知一求二.

设计意图: 从学生最近发展区入手,及时巩固基本知识,培养学生合作、交流、创新能力. 3 适当延伸,变用公式

3.1实际应用:解决情境中的问题:

3.2自编练习:将天灯设计成其它几何体.

设计意图: 解决实际问题, 加深对公式的理解,提高学生应用意识.

4 拓展深化,活用公式

4.1例题示范

如图所示:圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证: 2(1)球的体积等于圆柱体积的;(2)球的表面积等于圆柱的侧面积. 3

分析:通过实物展示,多媒体演示,直观感知,引导学生以球心为突破口,以平

面化的思想为方向, 确定辅助面,求出半径, 解决问题.

证明: (1)设球的半径为R, 则圆柱的底面半径为R, 高为2R.

4∵V球 = 3,V圆柱 =R22R 32∴V球 = 圆柱. 3

22(2)∵S球4R,S圆柱侧2R2R4R,

∴S球S圆柱侧.

4.2课堂练习:

一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是a cm,求球的体积.

设计意图:综合应用公式,提高学生空间想象能力和分析、解决问题的能力.

Ⅲ.课时小结

[引导学生归纳小结]

一、基本知识

4球的体积公式: V = 3. 3

球的表面积公式: S = 4πR2.

二、数学思想

函数方程思想:基本量,知一求二.

转化思想:空间问题平面化.

设计意图: 培养学生总结归纳能力,构建知识体系, 优化知识结构,使之系统化、条理化,

加强知识内在联系的理解.

八、目标检测设计

P29习题1.3 B组第1题.

学案设计:

课题:球的体积和表面积

一、复习回顾

圆柱的表面积公式: ;

圆锥的表面积公式: ;

圆台的表面积公式: ;

圆柱(棱柱)的体积公式: ;

圆锥(棱锥)的体积公式: ;

圆台(棱台)的体积公式: .

二、新课认知

球的体积公式: ;

球的表面积公式: .

三、公式理解

本人观点是:

四、公式应用

1. 将一个气球的半径扩大1倍,它的表面积扩大到原来的几倍?试用多种方法改编这道题.

2. 一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为a cm,求这个球的表面积和体积. 试用多种方法改编这道题.

3.解决几何体内切球、外接球的问题的思路是什么?

范文十:球的表面积和体积 投稿:彭喫喬

莘县一中课时教案

2015 年 12 月 2 日 课题 球的表面积和体积 第 14 周 新授

课型

教 学 目 标

(1)了解球的体积公式和球的表面积公式的推导过程, 体会其基本思想方法; (2) 会 用 球 的 体 积 公 式 V   R 3 和 球 的 表 面 积 公 式

S  4 R2 解决有关问题

王新敞

奎屯 新疆

4 3

重点 难点

球的体积和表面积的计算公式的应用 如何推导球的体积和表面积公式

球的概念: 球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面, 球面所为成的几何体叫做球体,简称球. 一个球用表示它的球心的字母表示, 例如球 O . 2.圆柱和圆锥的体积公式:

A

教 学 过 程

1 V圆锥  r 2 h 3

R O

C

V圆柱  r 2 h

B

1. 球的体积: 可先求半径为 R 的半球的体积.为此,采用倒水做实验的方法, 直观得出球的体积公式.

2 1 V半球  V圆柱  V圆锥  R 2  R  R 2  R  R 3 3 3

所以, V球 

4 3 R 3

2 球的表面积:

王新敞

奎屯 新疆

S  4 R2

教 学 过 程

例 1(1)把半径分别为 3,4,5 的三个铁球, 熔成一个大球,则大球半径是 ;6

(2)如果球的大圆面积增大为原来的 4 倍, 则球的表面积增大为原来的 ___倍; 体积增大为原来的 ___倍;4,8 (3)两个球的体积之比是 8:27, 那么这两个球的表面积之比是______.2:3

例 2. 截面问题: 已知球的两平行截面的面积为 5 8 ,它们位于球心的 同侧,且相距为 1,求这个球的表面积。

教 学 过 程 例 3. 球与正方体、长方体的组合体:

1. 如 果 球 的 半 径 是 4, 则 其 体 积 是 是 .

; 如 球 的 直 径 是 4, 则 其 体 积

2.如果球的体积是 36  cm3,那么它的半径是 .3cm 3.三个球的半径之比为 1: 2 : 3 ,那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍;3 4. 球面上有四个点 P, A, B, C, 如果 PA, PB, PC 两两互相垂直, 且 PA=PB=PC=a, 则这个球的表面积为____________体积为____________.

256 32 ,  3 3

5.一个四面体的所有棱长都为 2 , 四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积为

教 学 过 程

( ) A.3π C. 3 3

B.4π D.6π

6.球 O1、O2 分别与正方体的各面、各条棱相切,正方体的各顶点都在球 O3 的 表面上,求三个球的表面积之比. 7.两底面半径为 r1 和 r2(r1<r2=的圆台中有一个内切球,求这个球的表面积 为_________. (4π r1r2)

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