圆锥曲线与方程知识点

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【优秀范文】圆锥曲线与方程知识点

范文一:圆锥曲线与方程知识点 投稿:秦蕽蕾

圆锥曲线与方程知识点

1.椭圆

椭圆的定义:平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(

的距离叫作椭圆的焦距.

),这个动点

的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点

椭圆的标准方程: 1.当焦点在

轴上时,椭圆的标准方程:中

,其

2.当焦点在轴上时,

椭圆的标准方程:,其中;

椭圆的简单几何性质:

椭圆的的简单几何性质

(1)对称性

椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心

对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。 (2)范围

椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a,|y|≤b。。

(3)顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆(a>b>0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为

A1(―a,0), A2(a,0),B1(0,―b),B2(0,b)。

③线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,|A1A2|=2a,|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长 和短半轴长。 (4)离心率

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e表示,记作

②因为a>c>0,所以e的取值范围是0<e<1。e越接近1,则c就越接近a

此椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当

a=b时,c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆

椭圆与(a>b>0)的区别和联系: 见下图

2.双曲线

双曲线的定义:

在平面内,到两个定点

)的动点

离叫作双曲线的焦距.

的距离之差的绝对值等于常数

大于0且

的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点的距

双曲线的标准方程: 1.当焦点在轴上时,双曲线的标准方程:,

其中其中

;2.当焦点在.

轴上时,双曲线的标准方程:,

双曲线的简单几何性质:

(1)对称性:双曲线(a>0,b>0)是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,

且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为双曲线的中心。 (3)顶点

①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。

②双曲线(a>0,b>0)与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点,坐

标分别为A1(―a,0),A2(a,0),顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴;设B1(0,―b),B2(0,b)为y轴上的两个点,则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a,|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长。

(4)离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率,用e表示,记作 ②因为c>a>0,所以双曲线的离心率

决定双曲线的开口大小,

。 越大,

e也越大,双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。 ③等轴双曲线

,所以离心率

(5)渐近线:经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a,经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b,四条直线围成一个矩形(如图),矩形的两条对角线所在直线的方程是 我们把直线

叫做双曲线的渐近线。

双曲线

与的区别和联系 见下图:

3.抛物线

抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线L(L不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线L叫做抛物线的准线. 抛物线的标准方程:抛物线标准方程的四种形式:,,,

抛物线标准方程的几何性质: 1、范围:,,

抛物线y2=2px(p>0)在y轴的右侧,开口向右,这条抛物线上的任意一点M的坐标(x,y)的横坐标满足不等式x≥0;当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。 2、对称性:关于x轴对称

抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。 3、顶点:坐标原点

抛物线y2=2px(p>0)和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是(0,0)。 4、离心率:e=1.

抛物线y2=2px(p>0)上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率。用e 表示,e=1。

注意:与椭圆、双曲线不同,抛物线只有一焦点、一顶点、一条对称轴,一条准线

范文二:圆锥曲线方程知识点 投稿:钟啝啞

圆锥曲线方程知识点

考试内容:

椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 考试要求:

(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用.

圆锥曲线方程 知识要点

一、椭圆方程.

1. 椭圆方程的第一定义:

PF1PF22aF1F2方程为椭圆,PF1PF22aF1F2无轨迹,

PF1PF22aF1F2F1,F2为端点的线段

⑴①椭圆的标准方程:

i. 中心在原点,焦点在x轴上:

y2a

2

x2a2

y2b2

1(ab0).

ii. 中心在原点,焦点在y轴上:

x2b

2

1(ab0).

2

②一般方程:AxBy1(A0,B0).③椭圆的标准参数方程:

2

x2a

2

y2b

2

1的参数方程为

xacos

(一象限应是属于0). 

2ybsin

⑵①顶点:(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).②轴:对称轴:x轴,y轴;长轴长2a,短轴长2b.③(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c).④焦点:F1F2

a2a2

x准线:或y.⑥2c,cab.⑤

cc

2

2

离心率:e

c

焦点半径: (0e1).⑦

a

x2a

2

i. 设P(x0,y0)为椭圆

y2b

2

PF1a1(ab0)上的一点,F1,F2 ex0,PF2aex0

由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设P(x0,y0)为椭圆

x2b

2

y2a

2

PF11(ab0)上的一点,F1,F2 aey0,PF2aey0

由椭圆方程的第二定义可以推出.

由椭圆第二定义可知:pF1e(x0a)aex0(x00),pF2e(ax0)ex0a(x00)归结起来为

c

c

2

2

“左加右减”.

注意:椭圆参数方程的推导:得N(acos,bsin)方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:d

2b2a2

b2b2

(c,)和(c,)

aa

⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆程

x2a2

y2b2

x2a2

y2b2

1(ab0)的离心率是e

c

(ca2b2),方a

t(t是大于0的参数,ab0)的离心率也是e

c

我们称此方程为共离心率的a

椭圆系方程. ⑸若P是椭圆:b2tan

x2a2

y2b2

1上的点.F1,F2为焦点,若F1PF2,则PF1F2的面积为

2

(用余弦定理与PF1PF22a可得). 若是双曲线,则面积为b2cot

2

.

二、双曲线方程.

1. 双曲线的第一定义:

PF1PF22aF1F2方程为双曲线PF1PF22aF1F2无轨迹

),asin)

PF1PF22aF1F2F1,F2的一个端点的一条射线

⑴①双曲线标准方程:Ax2Cy21(AC0).

x2a

2

y2b

2

1(a,b0),

y2a

2

x2b

2

1(a,b0). 一般方程:

⑵①i. 焦点在x轴上:

a2xy顶点:(a,0),(a,0) 焦点:(c,0),(c,0) 准线方程x 渐近线方程:0或

cab

x2a

2

y2b

2

0

a2

ii. 焦点在y轴上:顶点:(0,a),(0,a). 焦点:(0,c),(0,c). 准线方程:y. 渐近线

c

xasecxbtany2x2yx

方程:0或220,参数方程:或 .

ababybtanyasec

2a2c

②轴x,y为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为2b,焦距2c. ③离心率e. ④准线距ca2b2c

准线的距离);通径. ⑤参数关系c2a2b2,e. ⑥焦点半径公式:对于双曲线方

aa

x2a2

y2b2

1(F1,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)

“长加短减”原则: MF1ex0aMF2ex0a

构成满足MF1MF22a

MF1ex0aMF2ex0a

(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半

MF1ey0aMF2ey0a

MF1ey0a

MF2ey0a

⑶等轴双曲线:双曲线x2y2a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为yx,离心率e2. ⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭

x2y2x2y2x2y2

双曲线.22与22互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:220.

ababab⑸共渐近线的双曲线系方程:

x2a

2

y2b

2

(0)的渐近线方程为

x2a

2

y22

0如果双曲线的

x2y2xy

渐近线为0时,它的双曲线方程可设为22(0).

abab

例如:若双曲线一条渐近线为y

2

11

x且过p(3,)22

2

2

解:令双曲线的方程为:

yx1x

1y2(0),代入(3,)得8224

⑹直线与双曲线的位置关系:

区域①:无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;

区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计3条; 区域③:2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;

区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.

小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

(2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入法与渐“”近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P在双曲线离比为m︰n.

PF1

x2a

2

y2b

2

1,则常用结论1:P到焦点的距离为m = n,则P到两准线的距

简证:

d1me = . d2PF2n

e

常用结论2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.

三、抛物线方程.

3. 设p0,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:

2

4acb2b

). 注:①aybycx顶点(

4a2a

②y22px(p0)则焦点半径PFxP;x22py(p0)则焦点半径为PFyP.

2

2

③通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.

x2pt2x2pt

④y2px(或x2py)的参数方程为(或)(t为参数). 2

y2pty2pt

2

2

四、圆锥曲线的统一定义..

4. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹. 当0e1时,轨迹为椭圆; 当e1时,轨迹为抛物线; 当e1时,轨迹为双曲线;

c

当e0时,轨迹为圆(e,当c0,ab时).

a5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如:椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.

因为具有对称性,所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.

1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质. 2. 等轴双曲线 3. 共轭双曲线

5. 方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程. 6.共渐近线的双曲线系方程.

范文三:圆锥曲线(知识点) 投稿:莫煆煇

圆锥曲线

一、椭圆

(一)定义:(Ⅰ)若F1,F2是两定点,P为动点,且PF1PF22aF1F2 (a为常数)则P点的轨迹是椭圆.

P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常l(Ⅱ)若F1为定点,为定直线,动点数e(0

(二)图形:

(三)性质:

x2y2x2y2

标准方程:221 (ab0) 或 221(ab0).

baab

范围:-a#xa, -b#yb.

长轴长:2a 短轴长:2b 焦距:2c . 对称性:关于轴x对称;关于y轴对称;关于原点对称.

a,0),(0,b) 顶点坐标:(北

焦点坐标:(?c,0),c离心率:e

2

a2-b2

ce1时,椭圆越扁;e0时,椭圆越趋近于圆. aa2

准线方程:x.

c

焦半径:PF1ac等(注意涉及焦半径1aex0,PF2aex0,acPF

①用点P坐标表示,②第一定义.).

2b2通径:过焦点且垂直于焦点轴的弦(过焦点的最短弦)为.

a

注意:(1)图中线段的几何特征:A1F1A2F2ac,A1F2A2F1ac,

B1F1B1F2B2F2B2F1a ,A2B2A1B2

点与准线距离、焦点与准线距离分别与a,b,c有关.

a2b2等等.顶

2c,PF2、

(2)PF、三角形面积公式将有关线段PF11F2中经常利用余弦定理...........

有关角F1PF2结合起来,建立PF1

+PF2、PF1

PF2等关系.

ìïx=acos

(3)椭圆的参数方程:ï.椭圆上的点有时常用到(acos,bsin) í

ïy=bsinïî

(4)注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上,请补充当焦点在y轴上时,其

22

相应的性质.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆方程可设为Ax+Bx=1.

二、双曲线

(一)定义:(Ⅰ)若F1,F2是两定点,PF1PF22aF1F2(a为常数),

则动点P的轨迹是双曲线.

(Ⅱ)若动点P到定点F则动1与定直线l的距离之比是常数e(e>1),点P的轨迹是双曲线.

(二)图形:

(三)性质:

x2y2y2x2

标准方程:221 (a0,b0) 221 (a

0,b0)

abab

范围:x³a或 x£a; yÎR;

实轴长:2a,虚轴长:2b;焦距:2c .

对称性:关于轴x对称;关于y轴对称;关于原点对称. 顶点坐标:(±a,0) 焦点坐标:(?c,0),c2离心率:e

a2+b2

ce越大,双a曲线越开阔.

a2

准线方程:x.

c

焦半径:通径:过焦点且垂直于焦点轴的弦(过焦点且弦的两个端点在同一支上的最短

2b2

弦)为.

a

注意:(1)图中线段的几何特征:AF1BF2ca,AF2BF1ac;

a2a2a2a2

或a或c 顶点到准线的距离:a;焦点到准线的距离:c; cccc2a2

两准线间的距离=.

c

x2y2x2y2b

(2)若双曲线方程为221渐近线方程:220yx;

aabab

xyx2y2b

若渐近线方程为yx0双曲线可设为22;

abaab

x2y2x2y2

若双曲线与221有公共渐近线,可设为22.

abab

(0,焦点在x轴上,0,焦点在y轴上).

22

双曲线x2-y2=1,(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离为b.

ab

(3)特别地当ab时离心率e

2两渐近线互相垂直,分别为y=?x,

此时双曲线为等轴双曲线,可设为x2y2.

关线段PF1

(4)注意PF1F2中结合定义PF1PF22a与余弦定理cosF1PF2,将有

、PF2、F1F2

2

和角结合起来.

2

(5)完成当焦点在y轴上时,标准方程及相应性质.中心在原点,坐标轴为对称

轴的双曲线方程可设为Ax+Bx=1.

三、抛物线

(一)定义:到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线(定点不在定直线

上).

即:到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e(e=1).

(二)图形:

(三)性质: 标准方程:

y22px,(p0),p焦参数;

范围:x澄0,yR. 对称性:关于轴x对称; 顶点坐标:(0,0)

p

焦点: (,0) ,通径AB2p;

2

p

准线方程: x;

2ppp

焦半径:CF=x0+,过焦点弦长CDx1x2x1x2p

222

p

注意:(1)几何特征:焦点到顶点的距离=;焦点到准线的距离=p;通径长=2p

2

顶点是焦点向准线所作垂线段中点.

2y0

(2)抛物线y2px上的动点可设为P(,y0)或P(2pt2,2pt)或P(x0,y0)其中

2p

2y0=2px0.

2

四、直线与圆锥曲线的位置关系

1.直线与圆锥曲线的位置关系,从几何角度可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个相异公共点.

2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究.因为方程组解的个数与交点的个数是一样的.

位置关系判断:△法(△适用对象是二次方程,二次项系数不为0).

其中直线和双曲线只有一个公共点,包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形;后一种情形下,消元后关于x或y方程的二次项系数为0.

直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况;后一种情形下,消元后关于x或y方程的二次项系数为0.

3.当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理;二是点差法. 计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式.

4.一般地,若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB,A,B两点分别为A(x1y1),B(x2,y2),则弦长

AB=

x2

x1=

11

yy(1)[(y1y2)24y1y2],这里体现了解析几何“设而不2122kk

求”的解题思想.

5.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考,一是建立函数,用求值域的方法求范围;二是建立不等式,通过解不等式求范围. 

范文四:圆锥曲线知识点 投稿:孙煓煔

平面解析几何总结

一、直线

1、直线的倾斜角:一条直线向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角。 2、范围 0

3、直线的斜率:当倾斜角不是90时,倾斜角的正切值。ktan(

2

)

4、直线的斜率公式:设P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2

) ky2y1

x 2x1

5、直线的倾斜角和斜率关系:(如右图)

0

2

;k0;单调增;

2

,k0;单调增 6、直线的方程

(1)点斜式:yy1k(xx1) ⑵、斜截式:ykxb (3)两点式:

yy1xx1

y

⑷、截距式:xy2y1x2x1

ab1 ⑸、一般式:AxByC0(A2B20)

⑹、参数式: xx1tcos

yy1

tsin(t为参数)参数t几何意义:定点到动点的向量

7、直线的位置关系的判定(相交、平行、重合)

l1:yk1xb1;l2:yk2xb2 l1:A1xBy1C10,l2:A2xB2yC20

平行:k1k2且b1b2

A1B1CA

1

C 2B22相交:kkA112

A

B1

2B2

重合:k1k2且b1b2

A1AB1C1 2B2C2

垂直:k1k21 A1A2B1B20

P(x0,y0)到l1:AxByC0的距离d

平行线间距离:l1:AxByC10 l2:AxByC20 d9、简单线性规划(确定可行域,求最优解,建立数学模型)

⑴、

目标函数:要求在一定条件下求极大值或极小值问题的函数。用关于变量是

一次不等式(等式)表示的条件较线性约束条件。 ⑵、

线性规划:求线性目标函数在线性的约束条件下的最值问题

10、直线系:具有某种公共属性的直线的集合。

(1)同斜率的直线系方程:ykxb(k为定值,b为变量) (2)共截距的直线系方程:ykxb(b为定值,k为变量)

(3)平行线束:与AxByC0平行的直线系:AxBym0(m为变量) (4)垂直线束:与AxByC0垂直的直线系:BxAym0(m为变量)

(5)过直线l1:A1xB1yC10和l2:A2xB2yC20交点的直线系方程:

A1xB1yC(A2xB2yC2)0或A2xB2yC2(A1xB1yC1)0 (不包含l1)

(适用于证明恒过定点问题) 二、轨迹问题

(一)求轨迹的步骤

1、建模:设点建立适当的坐标系,设曲线上任一点p(x,y) 2、立式:写出适条件的p点的集合

3、代换:用坐标表示集合列出方程式f(x,y)=0 4、化简:化成简单形式,并找出限制条件 5、证明:以方程的解为坐标的点在曲线上 (二)求轨迹的方法

1、直接法:求谁设谁,按五步去直接求出轨迹

2、定义法:利用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义 3、转移代入法:适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题

4、交轨法:适用于求两条动直线交点的轨迹问题。用一个变量分别表示两条动直线,

5、参数法:用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐标,联立消参。 6、同一法:利用两种思维分别求出同一条直线,再参考参数法,找到轨迹方程。 三、圆

1、定义:平面内与定点距离等于定长的点的集合叫圆 2、圆的方程

1)特殊式:x2y2r2

圆心(0,0)半径r 2)标准式:(xa)2(yb)2r2

3)一般式:x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心(D2,E2

) 半径

4)参数式:xar

cos

brsin(为参数)圆心(a,b)半径为r

y 3、点与圆的位置关系:设点到圆心距离为d,圆的半径为r

点在圆外d>r 点在圆上d=r 点在圆内d

4、直线与圆的位置关系:直线l:AxByC0 圆C(xa)2(yb)2r2 线心距d

相交0或dr 5、圆的切线求法

1)切点(x0,y0)已知

x2y2r2 切线xxyyr2

(xa)2

(yb2) 2r 切线(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2

x2y2DxEyF0 切线xx0xy0x

y0yD

2E0y

2

F0 满足规律:x2xy2yx0xyy

0x、0y、x2、y02

2)切线斜率k已知时,

x2y2r 2 切线ykx(xa)2(yb)2r

2 切线ybk(xa) 6、圆的切线长:自圆外一点P(x0,y0)引圆外切线,切点为P,则

PP7、切点弦方程:过圆外一点p(x0,y0)引圆x2y2r2的两条切线,过切点的直线即切点弦x0xy0yr2(其推到过程逆向思维的运用)

8、圆与圆的位置关系:设两圆圆心距离为d,半径分别为r1,r2 1)外离::dr1r2 2)外切:dr1r2 3)相交:r1r2dr1r2 4)内切:dr1r2 5)内含:dr1r2

圆与圆位置关系的判定中,不能简单的应用联立方程求根

当有两个根时候,肯定两圆相交;当没有根时候,不能确定是外离还是内含;当有且只有一个根时候,也不能确定是外切和内切

9、公共弦方程(相交弦):相交两圆C1:x2y2D1xE1yF10、

C2:x2y2D2xE2yF20公共弦方程(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0 10、(1)过直线l:AxByC0与圆C:x2y2DxEyF0的交点的圆系方程:

x2y2DxEyF(AxByC)0()简记为Cl0

(2)过两圆C1:x2y2D1xE1yF10,C2:x2y2D2xE2yF20交点的圆系方程:x2y2

1Dx1Ey1

(F2

x2

2yD2)x2

0E(y简F1记)为

C1C20

椭圆:平面内到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间距离)的点的集合

1、定义:PFPFc

1PF22a(2aF1F2) 第二定义:dea

(0e1) 、标准方程:x2y2y2ab1(ab0) 或 x2

222a2b

21(ab0);

3、参数方程xacos

ybsin (为参数)几何意义:离心角

4、几何性质:(只给出焦点在x轴上的的椭圆的几何性质) ①、顶点(a,0),(0,b) ②、焦点(c,0) ③、离心率e

c

a

(0e1) ④准线:xa2

c

(课改后对准线不再要求,但题目中偶尔给出)

5、焦点三角形面积:S2PF1F2btan

2

(设F1PF2)(推导过程必须会)

6、直线与椭圆位置关系:相离(0);相交(0);相切(0) 判定方法:直线方程与椭圆方程联立,利用判别式判断根的个数 7、椭圆切线的求法

1)切点(xx2y2

xxyy0y0)已知时,a2b21(ab0) 切线0a20b21

y2x2

yyxxa2b

21(ab0) 切线0a20b21

x22)切线斜率k已知时, y2

221(

ab0) 切线ykxab

22

ya2xb

21(ab0) 切线ykx x2y2

a2b21(ab0) rae0x(左加右减)

y2a2

a2b

21(ab0) rae0y(下加上减)

五、双曲线

1、定义:PF1PF22a 第二定义:

PFdec

a

(e1) x2ay2

2、标准方程:2b

21(a0,b0)(焦点在x轴)

y2x2

a2b2

1(a0,b0)(焦点在y轴) 参数方程:xasec

ybtan (为参数) 用法:可设曲线上任一点P(asec,btan)

3、几何性质 ① 顶点(a,0)

② 焦点(c,0) c2a2b2

③ 离心率e

c

a

e1 准线xa2

④c

x2y2bx2y2

⑤ 渐近线 a2b

21(a0,b0) yax或a

2b20

y2x2a2b2

1(a0,b0) yby2x2

ax或a2b20

4、特殊双曲线

①、等轴双曲线x2ay2

2a

21 e 渐近线yx

x2y2x2y2

②、双曲线a2b

21的共轭双曲线a2b21

性质1:双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线

性质2:双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上 5、直线与双曲线的位置关系

① 相离(0);② 相切(0); ③ 相交(0) 判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起 0时可以是相交也可以是相切 6、双曲线切线的求法

① 切点P(xx2y2

xxyy0,y0)已知 a2b21(a0,b0) 切线0a20b21

y2x2

yyxxa2b

21(a0,b0) 切线0a20b21

② 切线斜率K已知 x2y2a2b21

ykxkba) y2x2a2b

21 ykxkba) 8、焦点三角形面积:SPF1F2b2cot

2

(为F1PF2)

六、抛物线

1、定义:平面内与一定点和一定直线的距离相等的点的集合(轨迹) 2、几何性质:P几何意义:焦准距 焦点到准线的距离设为P

标准方程:y22px(p0) y22px(p0 )

图 像:

范 围: x0 x0 对 称 轴: x轴 x轴 顶 点: (0,0) (0,0)

焦 点: (p2

,0) (p

2,0)

准 线: xp2 xp

2

标准方程:x22py(p0) x22py(p0 )图 像:

范 围: y0 y0 对 称 轴: y轴 y轴

定 点: (0,0) (0,0)

焦 点: (0,p2) (0,p

2

)

离 心 率: e1 e1

准 线: yp2 yp

2

x2pt2

3、参数方程2pt(t为参数方程)y22px(p0)

y4、通径:过焦点且垂直于对称轴的弦

椭圆:双曲线通径长2b2

a

抛物线通径长2P

5、直线与抛物线的位置关系

1)相交(有两个交点或一个交点) 2)相切(有一个交点); 3)相离(没有交点) 6、抛物线切线的求法

1)切点P(x0,y0)已知:y22px(p0)的切线;y0yp(xx0) 此类公式填空选择或解答题中(部分)可作公式直接应用

ykxb与曲线交与两点A、B则

dABxy2x2y

附加:弦长公式:

范文五:圆锥曲线知识点 投稿:邓野量

圆锥曲线知识点回顾

1.椭圆的性质

2.双曲线的性质

3.抛物线中的常用结论

①过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

②设A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点, 则AB过F的充要条件是y1y2=-p2

③设A, B是抛物线y2=2px上的两点,O为原点, 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)

(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义

与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用e表示,当0<e<1时,是椭圆,当e>1时,是双曲线,当e=1时,是抛物线. 4.直线与圆锥曲线的位置关系:(在这里我们把圆包括进来)

(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的

a.直线与圆:一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法),也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).

b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2).a.求弦所在的直线方程

b.根据其它条件求圆锥曲线方程

(3).已知一点A坐标,一直线与圆锥曲线交于两点P、Q,且中点为A,求P、Q所在的直线方程

(4).已知一直线方程,某圆锥曲线上存在两点关于直线对称,求某个值的取值范围(或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称) 5.二次曲线在高考中的应用

二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法,并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题,给予较深入的剖析,这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。

(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 (3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。 (4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

6.知识网络

圆锥曲线——椭圆、曲线、直线—定义—标准方程

性质:对称性、焦点、顶点、 离率、准线、焦半径等

范文六:圆锥曲线与方程知识总结 投稿:邓僶僷

高二数学圆锥曲线与方程单元复习与巩固

知识网络

知识要点梳理

知识点一:圆锥曲线的统一定义

椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。

平面内,到一定点的距离与它到一条定直线(不经过定点)的距离之比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线。定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率。 ①e∈(0,1)时轨迹是椭圆; ②e=1时轨迹是抛物线;

③e∈(1,+∞)时轨迹是双曲线。

知识点二:圆锥曲线的标准方程和几何性质 1.椭圆: (1)定义:平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆,这两个定点叫焦点. (2)标准方程

当焦点在轴上时,

椭圆的标准方程:,其中;

当焦点在轴上时,

椭圆的标准方程:,其中;

(3)

椭圆 范围: 焦点

,顶点

的的简单几何性质:

, ,长轴长=

,短轴长=

,焦距=

2.双曲线 (1)定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点. (2)标准方程

当焦点在

轴上时,双曲线的标准方程

:,其

当焦点

.

轴上时,双曲线的标准方程

:,其

(3)

双曲线 范围: 焦点

,顶点

的简单几何性质 ;

,虚轴长=

,焦距=

,实轴长=

离心率是,准线方程是;

渐近线:.

3.抛物线

(1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线. (2)标准方程 四种形式: (3)抛物线标准方程 范围:

的几何性质

对称性:关于x轴对称 顶点:坐标原点 离心率:

.

知识点三:直线和圆锥曲线的位置关系

1.直线Ax+By+C=0和椭圆

的位置关系:

将直线方程代入椭圆后化简为一元二次方程,其判别式为Δ。 (1)若Δ>0,则直线和椭圆相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和椭圆相切,有一个切点(或一个公共点); (3)若Δ<0,则直线和椭圆相离,无公共点.

2.直线Ax+By+C=0和双曲线的位置关系:

将直线方程代入双曲线方程后化简方程

①若为一元一次方程,则直线和双曲线的渐近线平行,直线和双曲线只有一个交点,但不相切不是切点;

②若为一元二次方程,则

(1)若Δ>0,则直线和双曲线相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和双曲线相切,有一个切点; (3)若Δ<0,则直线和双曲线相离,无公共点.

注意:如说直线和双曲线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点

3.直线Ax+By+C=0和抛物线y2=2px(p>0)的位置关系: 将直线方程代入抛物线方程后化简后方程:

①若为一元一次方程,则直线和抛物线的对称轴平行,直线和抛物线有一个交点,但不相切不是切点;

②若为一元二次方程,则

(1)若Δ>0,则直线和抛物线相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和抛物线相切,有一个切点; (3)若Δ<0,则直线和抛物线相离,无公共点。

注意:如说直线和抛物线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点

4.直线被圆锥曲线截得的弦长公式:

当直线的斜率k存在时,直线y=kx+b与圆锥曲线相交于 弦长公式:

两点,

当k存在且不为零时, 弦长公式还可以写成:

知识点四:曲线的方程和方程的曲线的关系 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线上的点与一个二元方程

(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)

的实数解建立了如下的关系:

(1)曲线 (2)以方程 那么,方程

上所有点的坐标都是方程

的解为坐标的点都在曲线叫做曲线

的方程;曲线

的解; 上. 叫做方程

的曲线.

知识点五:求曲线的方程

1. 定义:在直角坐标系中,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程

表示曲线,通过研究方程的性质

间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.

2. 坐标法求曲线方程的步骤:

第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素,将平面几何问题转化为代数问题;

第二步:通过代数运算,解决代数问题;

第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.

通过坐标法,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一. 用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何对象,然后对坐标和方程进行代数讨论;最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”。

3.求轨迹方程的常用方法:直接法、相关点法.定义法、代入法、参数法等。 规律方法指导

3.圆锥曲线综合题类型

(1)用待定系数法求圆锥曲线方程

①数形结合:先定型,再定量,注意区分解析条件与纯几何条件,如果位置不确定时,考虑是否两解.在图形上标出已知条件,检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确; ②方程思想:n个未知数,列够n个独立的方程,并注意韦达定理的使用: ③注意“点在线上”条件的使用. (2)求轨迹方程

基本方法:定义法、直接代入法、参数法(利用已知参数方程法或自设参数). 注意:

①注意限制;

②求轨迹方程与求轨迹的区别。求轨迹是要求先求轨迹方程再描述该轨迹方程所表示的曲线类型及相应的几何特征;

③n个未知数,列够n-1个独立方程,特别注意考虑是否可利用定义直接列出方程. (3)求取值范围或最值

①函数方法----将待求范围参数表示为另一个变量的函数,注意求函数的定义域。 ②方程与不等式组----n个未知数,列够n个独立方程或不等式,注意归纳总结列不等式的方法:

③利用几何性质求参数范围;

④利用不等式性质(结合几何性质)求参数范同.

圆锥曲线知识点回顾

1.椭圆的性质

2.双曲线的性质

3.抛物线中的常用结论

①过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

②设A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点, 则AB过F的充要条件是y1y2=-p2

③设A, B是抛物线y2=2px上的两点,O为原点, 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)

(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义

与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用e表示,当0<e<1时,是椭圆,当e>1时,是双曲线,当e=1时,是抛物线. 4.直线与圆锥曲线的位置关系:(在这里我们把圆包括进来)

(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的

a.直线与圆:一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法),也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).

b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2).a.求弦所在的直线方程

b.根据其它条件求圆锥曲线方程

(3).已知一点A坐标,一直线与圆锥曲线交于两点P、Q,且中点为A,求P、Q所在的直线方程

(4).已知一直线方程,某圆锥曲线上存在两点关于直线对称,求某个值的取值范围(或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称) 5.二次曲线在高考中的应用

二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法,并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题,给予较深入的剖析,这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。

(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 (3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。 (4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

6.知识网络

圆锥曲线——椭圆、曲线、直线—定义—标准方程

性质:对称性、焦点、顶点、 离率、准线、焦半径等

范文七:圆锥曲线与方程知识总结 投稿:秦払扖

高二数学圆锥曲线与方程单元复习与巩固

知识网络

知识要点梳理

知识点一:圆锥曲线的统一定义

椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。

平面内,到一定点的距离与它到一条定直线(不经过定点)的距离之比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线。定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率。 ①e∈(0,1)时轨迹是椭圆; ②e=1时轨迹是抛物线;

③e∈(1,+∞)时轨迹是双曲线。

知识点二:圆锥曲线的标准方程和几何性质 1.椭圆: (1)定义:平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆,这两个定点叫焦点. (2)标准方程

当焦点在轴上时,

椭圆的标准方程:,其中;

当焦点在轴上时,

椭圆的标准方程:,其中;

(3)

椭圆 范围: 焦点

,顶点

的的简单几何性质:

, ,长轴长=

,短轴长=

,焦距=

2.双曲线 (1)定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点. (2)标准方程

当焦点在

轴上时,双曲线的标准方程

:,其

当焦点

.

轴上时,双曲线的标准方程

:,其

(3)

双曲线 范围: 焦点

,顶点

的简单几何性质 ;

,虚轴长=

,焦距=

,实轴长=

离心率是,准线方程是;

渐近线:

3.抛物线

.

(1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线. (2)标准方程 四种形式: (3)抛物线标准方程 范围:

的几何性质

对称性:关于x轴对称 顶点:坐标原点 离心率:

.

知识点三:直线和圆锥曲线的位置关系

1.直线Ax+By+C=0和椭圆的位置关系:

将直线方程代入椭圆后化简为一元二次方程,其判别式为Δ。 (1)若Δ>0,则直线和椭圆相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和椭圆相切,有一个切点(或一个公共点); (3)若Δ<0,则直线和椭圆相离,无公共点.

2.直线Ax+By+C=0和双曲线的位置关系:

将直线方程代入双曲线方程后化简方程

①若为一元一次方程,则直线和双曲线的渐近线平行,直线和双曲线只有一个交点,但不相切不是切点;

②若为一元二次方程,则

(1)若Δ>0,则直线和双曲线相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和双曲线相切,有一个切点; (3)若Δ<0,则直线和双曲线相离,无公共点.

注意:如说直线和双曲线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点

3.直线Ax+By+C=0和抛物线y2=2px(p>0)的位置关系: 将直线方程代入抛物线方程后化简后方程:

①若为一元一次方程,则直线和抛物线的对称轴平行,直线和抛物线有一个交点,但不相切不是切点;

②若为一元二次方程,则

(1)若Δ>0,则直线和抛物线相交,有两个交点(或两个公共点);

(2)若Δ=0,则直线和抛物线相切,有一个切点; (3)若Δ<0,则直线和抛物线相离,无公共点。

注意:如说直线和抛物线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点

4.直线被圆锥曲线截得的弦长公式:

当直线的斜率k存在时,直线y=kx+b与圆锥曲线相交于 弦长公式:

两点,

当k存在且不为零时, 弦长公式还可以写成:

知识点四:曲线的方程和方程的曲线的关系 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线上的点与一个二元方程

(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)

的实数解建立了如下的关系:

(1)曲线 (2)以方程 那么,方程

上所有点的坐标都是方程

的解为坐标的点都在曲线叫做曲线

的方程;曲线

的解; 上. 叫做方程

的曲线.

知识点五:求曲线的方程

1. 定义:在直角坐标系中,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标(x,y

)所满足的方程间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.

2. 坐标法求曲线方程的步骤:

第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素,将平面几何问题转化为代数问题;

第二步:通过代数运算,解决代数问题;

第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.

通过坐标法,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一.

用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何对象,然后对坐标和方程进行代数讨论;最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”。

3.求轨迹方程的常用方法:直接法、相关点法.定义法、代入法、参数法等。 规律方法指导

3.圆锥曲线综合题类型

(1)用待定系数法求圆锥曲线方程

①数形结合:先定型,再定量,注意区分解析条件与纯几何条件,如果位置不确定时,考虑是否两解.在图形上标出已知条件,检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确; ②方程思想:n个未知数,列够n个独立的方程,并注意韦达定理的使用: ③注意“点在线上”条件的使用.

(2)求轨迹方程

基本方法:定义法、直接代入法、参数法(利用已知参数方程法或自设参数). 注意:

①注意限制;

②求轨迹方程与求轨迹的区别。求轨迹是要求先求轨迹方程再描述该轨迹方程所表示的曲线类型及相应的几何特征;

③n个未知数,列够n-1个独立方程,特别注意考虑是否可利用定义直接列出方程. (3)求取值范围或最值

①函数方法----将待求范围参数表示为另一个变量的函数,注意求函数的定义域。 ②方程与不等式组----n个未知数,列够n个独立方程或不等式,注意归纳总结列不等式的方法:

③利用几何性质求参数范围;

④利用不等式性质(结合几何性质)求参数范同.

表示曲线,通过研究方程的性质

圆锥曲线知识点回顾

1.椭圆的性质

2.双曲线的性质

3.抛物线中的常用结论

①过抛物线y=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

②设A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点, 则AB过F的充要条件是y1y2=-p2

2

③设A, B是抛物线y=2px上的两点,O为原点, 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)

(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义

与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用e表示,当0<e<1时,是椭圆,当e>1时,是双曲线,当e=1时,是抛物线. 4.直线与圆锥曲线的位置关系:(在这里我们把圆包括进来)

(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的

a.直线与圆:一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法),也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).

b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2).a.求弦所在的直线方程

b.根据其它条件求圆锥曲线方程

(3).已知一点A坐标,一直线与圆锥曲线交于两点P、Q,且中点为A,求P、Q所在的直线方程

(4).已知一直线方程,某圆锥曲线上存在两点关于直线对称,求某个值的取值范围(或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称) 5.二次曲线在高考中的应用

二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法,并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题,给予较深入的剖析,这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。

(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 (3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。 (4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

2

6.知识网络

圆锥曲线——椭圆、曲线、直线—定义—标准方程

性质:对称性、焦点、顶点、 离率、准线、焦半径等

范文八:圆锥曲线与方程基本知识概要 投稿:秦饩饪

圆锥曲线与方程基本知识概要

2.1 椭 圆

一.椭圆及其标准方程

1.椭圆的定义(第一定义):平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数2aF1F2



的点的轨迹叫做椭圆,即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|};(2aF1F2时为线段F1F2,2aF1F2无轨迹)。这里两个定点F1,F2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。

x2y2

2.标准方程:①焦点在x轴上:221(a>b>0); 焦点F(±C,0)

ab

y2x2

②焦点在y轴上:221(a>b>0); 焦点F(0, ±C)

ab

这里椭圆 c ²=a²-b²

注意:①在两种标准方程中,总有a>b>0,c

a2b2并且椭圆的焦点总在长轴上;

②两种标准方程可用一般形式表示:Ax2+By2=1 (A>0,B>0,A≠B),当A<

B时,椭圆的焦点在x轴上,A>B时焦点在y轴上。

二.椭圆的简单几何性质: 1.范围

x2y2

(1)椭圆221(a>b>0) 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b

ab

y2x2

(2)椭圆221(a>b>0) 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a

ab

2.对称性

椭圆关于x轴y轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对

称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点

(1)椭圆的顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)

(2)线段A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4.离心率

(1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比

cc

称为椭圆的离心率,用e表示,即e=(0<eaa

<1)

因为a>c>0,所以0<e<1。e越接近于1(e越大),则c越接近于a,从而b越小,因此椭圆越扁;反之,e越接近于0 (e越小),c越接近于0,从而b越接近

圆锥曲线与方程基本知识概要 第1页

于a,这时椭圆就越接近于圆。e0是圆。

(2)椭圆的第二定义:平面内与一个定点(焦点)和一定直线(准线)的距离的比为常数e(0<e<1)的点的轨迹为椭圆。

2axy

①焦点在x轴上:221(a>b>0)准线方程:x

cab

2

2

ay2x2

②焦点在y轴上:221(a>b>0)准线方程:y

cab

2

*补充:(1)焦半径公式:P(x0,y0)为椭圆上任一点。|PF1|=r左=a+ex0,|PF2|=r右=a-ex0;

|PF1|=r下=a+ey0,|PF2|=r上=a-ey0;

PFmaxac,PFminac

b22a2

(2)焦准距p;准线间距

cc

(3)两个最大角F1PF2maxF1B2F2,A1PA2maxA1B2A2

y2x2

焦点在y轴上,中心在原点:221(a>b>0)的性质可类似的给出(请课后完成)。

ab

●重难点:椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单的几何性质。

●思维方式:待定系数法与轨迹方程法。

●特别注意:椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐

标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方程.

2.2 双曲线

一.双曲线的概念

1.双曲线的定义(第一定义):平面内与两个定点F1,F2距离的差的绝对值等于常数

2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,即点集P|PF1PF22a。(2aF1F2为

两射线;2aF1F2无轨迹。)这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距2c.

2. 双曲线的第二定义:平面内与一个定点(焦点)和一条定直线(准线)的距离的比是常数e(e1)的动点的轨迹叫做双曲线。

圆锥曲线与方程基本知识概要 第2页



二.双曲线的标准方程及几何性质

圆锥曲线与方程基本知识概要 第3页

三.共轴双曲线和共轭双曲线 (1)共轴双曲线

x2y2

a0,ba=b0),那么双曲线的方程为x² 在方程221(中,如果-y²=a²,它的实轴和虚轴的长

ab

都等于2a。这时,四条直线x=±a,y=±a围成正方形,渐近线方程为y=±x,它们互相垂直,

并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角。实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

(2)共轭双曲线

实轴与虚轴互换的双曲线,如 与 互为共轭双曲线(只是

两轴的数字互换,但实轴仍是b²,虚轴仍是a²)其性质如下:

y ①共轭双曲线的渐近线相同都是

②焦距相同,焦点不同

③共轭双曲线的四个焦点在同一圆上 ④两个离心率的倒数的平方和为1,即

bx a

*四.点Px0,y0和双曲线的关系

bab 2.P在双曲线上y__________________

ab 3.P在双曲线外y__________________

a 1.P在双曲线内y__________________

x2y2

y2)*五.AB为双曲线221(a0,b0)的弦,A(x1,B(x2,弦中点Mx0,y0。 y1)

ab

1.弦长l=____________________________________________ 2.kAB = ___________________

3.直线AB的方程:________________________

4.直线AB的中垂线方程:___________________________

圆锥曲线与方程基本知识概要 第4页

说明:(1)双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求双曲线方程的两个有力工具,所

以要对双曲线的两个定义有深刻的认识。 (2)双曲线方程中的a,b,c,e,p与坐标系无关,只有焦点坐标,顶点坐标,准线及渐近线方程与坐标系有关,因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件:两个定形条件a,b,一个定位条件,焦点坐标或准线,渐近线方程。

求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹方程法。

(3)直线和双曲线的位置关系,在二次项系数不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式,求解问题的类型也相同。唯一不同的是直线与双曲线只有一个公共点时,不一定相切。

x2y2y2x2

利用共渐近线的双曲线系22k或2 k(k0)方程解题,常使解法简捷。

2abab

(4)双曲线的焦半径,当点P在右支(或上支)上时,为ex0a,(ey0a);当点P在左支(或下支)上时,为(ex0a),[(ey0a)];利用焦半径公式,解题简洁明了,注意运用,

●重点、难点:深刻理解确定双曲线的形状,大小的几个主要特征量,掌握定义,性质,掌

握直线与双曲线的位置关系。

●思维方式:方程的思想,数形结合的思想;待定系数法,参数思想等。

2.3 抛 物 线

1.抛物线的定义(圆锥曲线第二定义):到一个定点(焦点)的距离与到一条定直线(准

线)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.

2. .抛物线的离心率:

抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离之比叫做抛物线的离心率,用e表示。有定义可知,e=1

圆锥曲线与方程基本知识概要 第5页

4.焦点弦和通径的概念

(1)焦点弦:在抛物线中,通过其焦点的直线与抛物线的交点连线叫焦点弦。

(2) 若在抛物线中通过焦点而垂直坐标轴的直线与抛物线的交点的连线叫做抛物线的通径,它的长为2p.

5.直线与抛物线相交形成的弦长计算公式:_____________________________________

圆锥曲线与方程基本知识概要 第6页

*6.焦点弦:AB为y22pxp0的焦点弦,A(x1,y1)B(x2,y2),弦中点

M

x,y.

p2(1)x1x2

4

(2)y1y2(3)弦长

p2;

2p

ABx1x2p,(α为AB的倾斜角) 2

sin

X1+X2≥2 =p,即当X1=X2时,通径最短为2p *7.点P

x,y和抛物线的关系

 (1)P在抛物线内(含焦点)y________________ bab (3)P在抛物线外y________________

a (2)P在抛物线上y________________

2

y202

8.标点 抛物线y2px上的点可标为x0,y0或或,y2pt,2pttR

2p0

b

a

圆锥曲线定义的应用

1、 知识精讲:

涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形,常用第一定义结合正余弦定理; 涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点,常用统一的定义。 椭圆的定义:点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|};

双曲线的定义:点集M={P|︱|PF1|-|PF2|︱=2a, (2a|F1F2|) }的点的轨迹。 抛物线的定义:到一个定点F的距离与到一条得直线L的距离相等的点的轨迹.

e,}0<e<1为椭圆,e>1为双曲线,e=1为抛物线 d

重点、难点:培养运用定义解题的意识 2、 思维方式:等价转换思想,数形结合 特别注意:圆锥曲线各自定义的区别与联系

统一定义:M={P|

PF

圆锥曲线与方程基本知识概要 第7页

范文九:圆锥曲线与方程知识总结 投稿:黎糭糮

高二数学圆锥曲线与方程单元复习与巩固

,短知识网络

知识要点梳理

知识点一:圆锥曲线的统一定义

椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。

平面内,到一定点的距离与它到一条定直线(不经过定点)的距离之比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线。定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率。 ①e∈(0,1)时轨迹是椭圆; ②e=1时轨迹是抛物线;

③e∈(1,+∞)时轨迹是双曲线。

知识点二:圆锥曲线的标准方程和几何性质 1.椭圆:

(1)定义:平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆,这两个定点叫焦点. (2)标准方程

当焦点在轴上时,

椭圆的标准方程:,其中;

当焦点在轴上时,

椭圆的标准方程:,其中;

(3)

椭圆 范围:

的的简单几何性质:

焦点,顶点、,长轴长=轴长=,焦距=,

2.双曲线 (1)定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点. (2)标准方程

当焦点在

轴上时,双曲线的标准方程

:,其

当焦点

.

轴上时,双曲线的标准方程

:,其

(3)

双曲线 范围: 焦点

,顶点

的简单几何性质 ;

,虚轴长=

,焦距=

,实轴长=

离心率是,准线方程是;

渐近线:

3.抛物线

.

(1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线. (2)标准方程 四种形式: (3)抛物线标准方程 范围:

的几何性质

对称性:关于x轴对称 顶点:坐标原点 离心率:

.

知识点三:直线和圆锥曲线的位置关系

1.直线Ax+By+C=0和椭圆的位置关系:

将直线方程代入椭圆后化简为一元二次方程,其判别式为Δ。 (1)若Δ>0,则直线和椭圆相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和椭圆相切,有一个切点(或一个公共点); (3)若Δ<0,则直线和椭圆相离,无公共点.

2.直线Ax+By+C=0和双曲线的位置关系:

将直线方程代入双曲线方程后化简方程

①若为一元一次方程,则直线和双曲线的渐近线平行,直线和双曲线只有一个交点,但不相切不是切点;

②若为一元二次方程,则

(1)若Δ>0,则直线和双曲线相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和双曲线相切,有一个切点;

(3)若Δ<0,则直线和双曲线相离,无公共点.

注意:如说直线和双曲线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点

3.直线Ax+By+C=0和抛物线y2=2px(p>0)的位置关系: 将直线方程代入抛物线方程后化简后方程:

①若为一元一次方程,则直线和抛物线的对称轴平行,直线和抛物线有一个交点,但不相切不是切点;

②若为一元二次方程,则

(1)若Δ>0,则直线和抛物线相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和抛物线相切,有一个切点; (3)若Δ<0,则直线和抛物线相离,无公共点。

注意:如说直线和抛物线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点

4.直线被圆锥曲线截得的弦长公式:

当直线的斜率k存在时,直线y=kx+b与圆锥曲线相交于 弦长公式:

两点,

当k存在且不为零时, 弦长公式还可以写成:

知识点四:曲线的方程和方程的曲线的关系 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线

(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)

上的点与一个二元方程 (1)曲线 (2)以方程 那么,方程

知识点五:求曲线的方程

的实数解建立了如下的关系:

的解; 上. 叫做方程

的曲线.

上所有点的坐标都是方程

的解为坐标的点都在曲线叫做曲线

的方程;曲线

1. 定义:在直角坐标系中,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标(x,y

)所满足的方程间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.

2. 坐标法求曲线方程的步骤:

第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素,将平面几何问题转化为代数问题;

第二步:通过代数运算,解决代数问题;

第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.

通过坐标法,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一.

用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何对象,然后对坐标和方程进行代数讨论;最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”。

3.求轨迹方程的常用方法:直接法、相关点法.定义法、代入法、参数法等。 规律方法指导

3.圆锥曲线综合题类型

(1)用待定系数法求圆锥曲线方程

①数形结合:先定型,再定量,注意区分解析条件与纯几何条件,如果位置不确定时,考虑是否两解.在图形上标出已知条件,检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确; ②方程思想:n个未知数,列够n个独立的方程,并注意韦达定理的使用: ③注意“点在线上”条件的使用.

(2)求轨迹方程

基本方法:定义法、直接代入法、参数法(利用已知参数方程法或自设参数). 注意:

①注意限制;

②求轨迹方程与求轨迹的区别。求轨迹是要求先求轨迹方程再描述该轨迹方程所表示的曲线类型及相应的几何特征;

③n个未知数,列够n-1个独立方程,特别注意考虑是否可利用定义直接列出方程. (3)求取值范围或最值

①函数方法----将待求范围参数表示为另一个变量的函数,注意求函数的定义域。 ②方程与不等式组----n个未知数,列够n个独立方程或不等式,注意归纳总结列不等式的方法:

③利用几何性质求参数范围;

表示曲线,通过研究方程的性质

④利用不等式性质(结合几何性质)求参数范同.

圆锥曲线知识点回顾

1.椭圆的性质

2.双曲线的性质

3.抛物线中的常用结论

①过抛物线y=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

②设A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点, 则AB过F的充要条件是y1y2=-p2

2

③设A, B是抛物线y=2px上的两点,O为原点, 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)

(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义

与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用e表示,当0<e<1时,是椭圆,当e>1时,是双曲线,当e=1时,是抛物线. 4.直线与圆锥曲线的位置关系:(在这里我们把圆包括进来)

(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的

a.直线与圆:一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法),也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).

b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2).a.求弦所在的直线方程

b.根据其它条件求圆锥曲线方程

(3).已知一点A坐标,一直线与圆锥曲线交于两点P、Q,且中点为A,求P、Q所在的直线方程

(4).已知一直线方程,某圆锥曲线上存在两点关于直线对称,求某个值的取值范围(或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称) 5.二次曲线在高考中的应用

二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法,并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题,给予较深入的剖析,这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。

(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 (3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。 (4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

2

6.知识网络

圆锥曲线——椭圆、曲线、直线—定义—标准方程

性质:对称性、焦点、顶点、 离率、准线、焦半径等

范文十:双曲线方程圆锥方程与椭圆方程基本知识点 投稿:曾瞦瞧

数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——圆锥曲线(一)

湖南省常德市安乡县第五中学 龚光勇收集整理

1.圆锥曲线的两个定义:

(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点

F,F的距离的和等于常数当常数小于,且此常数

,且此常数

一定要大于

当常数等于

时,轨迹是线段FF,

时,无轨迹;双曲线中,与两定点F,F

的距离的差的绝对值等于常数一定要小于|FF|,定义中的“绝对值”与

<|FF|不可忽视。若

=|FF|,则轨迹是以F,F为端点的两条射线,若掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如:

①已知定点 A

. C. ②方程

D. B.

﹥|FF|,则轨迹不存在。若去

,在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是

(答:C);

表示的曲线是_____(答:双曲线的左支)

(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

如已知点2)

及抛物线上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_____(答:

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):

(1)椭圆:焦点在轴上时(

)(参数方程,

其中为参数)

,焦点在轴上时=1

()

。方程表示椭

圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B)。比如:

①已知方

程表示椭圆,

则的取值范围为____(答

);

②若)

,且

,则

的最大值是____,

的最小值是___

(答:

(2)双曲线:焦点在轴上:方程

=1,焦点在轴上:=1()。

表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B异号)。比如:

双曲线的离心率等于

,且与椭圆有公共焦点,则该双曲线的方程

_______(答:

设中心在坐标原点

);

,焦点

在坐标轴上,离心率

的双曲线C

过点

,则C的方程为_______(答:

(3)抛物线:开口向右时上时

,开口向下时

,开口向左时

,开口向

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):

(1)椭圆:由

,

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__

(答:

(2)双曲线:由

,

项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。

特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F,F的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数

,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题

,在双曲线中,

最大,

时,首先要判断开口方向;(2)在椭圆中,

最大,

4.圆锥曲线的几何性质:

(1)椭圆

(以②焦点:两个焦点

()为例)

:①范围:;

;③对称性:两条对称轴,一个对称中心(0,0),四

个顶点,其中长轴长为2,短轴长为2;④准线:两条准线; ⑤

离心率:

,椭圆,越小,椭圆越圆;越大,椭圆越扁。比如:

①若椭圆

的离心率,则的值是__(答:3或);

②以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__(答:

(2)双曲线(以②焦点:两个焦点个顶点

()为例):①范围:或;

;③对称性:两条对称轴

,虚轴长为

2

,一个对称中心(0,0),两

,其中实轴长为2,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称

为等轴双曲线,

其方程可设为;④准线:两条准线;

⑤离心率:

,双曲线

,等轴双曲线,越小,开口越小,越大,开口越大;

⑥两条渐近线:

。比如:

双曲线的渐近线方程是,则该双曲线的离心率等于______

(答:

);

②双曲线

的离心率为,则= (答:4或);

③设双曲线(a>0,b>0)中,离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的

取值范围是________(答:

(3)抛物线

(以

);

为例)

:①范围:

;②焦点:一个焦点

,其中的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴,没有对

称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线

; ⑤离心率:,

抛物线

如设

,则抛物线的焦点坐标为________(答:);

5、点和椭圆()的关系:(1)点

在椭圆外

;(2

)点

在椭圆上=1;(3

)点

在椭圆内

6.直线与圆锥曲线的位置关系:

(1)相交:线相交不一定有点,故

直线与椭圆相交;

直线与双曲线相交,但直线与双曲

,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交

直线与抛物线相

是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;

交,但直线与抛物线相交不一定有相交且只有一个交点,故如:

,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线

也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。比

①若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______

(答:(-

,-1));

②直线y―kx―1=0与椭圆[1,5)∪(5,+∞));

恒有公共点,则m的取值范围是_______(答:

③过双曲线

的直线有_____条(答:3);

(2)相切:与抛物线相切;

(3)相离:与抛物线相离。

特别提醒:

的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4,则这样

直线与椭圆相切;直线与双曲线相切;直线

直线与椭圆相离;直线与双曲线相离;直线

(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;

(2)过双曲线=1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如

下:①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;

(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。比如:

①过点

作直线与抛物线

只有一个公共点,这样的直线有______(答:2);

②过点(0,2)与双曲

线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为

______(答:

);

③过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点,若4,则满足条

件的直线有____条(答:3);

④对于抛物线C:点

,我们称满足

的点

在抛物线的内部,若

在抛物线的内部,则直线:与抛物线C的位置关系是_______

(答:相离);

⑤过抛物线

的焦点

作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分

别是、,则

_______(答:1);

⑥设双曲线准线分别于(答:等于);

,则

的右焦点为和

,右准线为,设某直线交其左支、右支和右

的大小关系为___________(填大于、小于或等于)

⑦求椭圆 ⑧

直线

上的点到直线的最短距离(答:);

与双曲线

交于、两点。①当

为何值时,、分

别在双曲线的两支上?②当①

;②

);

为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?(答:

7、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,

即焦半径比如:

,其中

表示P到与F所对应的准线的距离。

①已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为

____(答:

);

②已知抛物线方程为点的距离等于____;

③若该抛物线上的点

,若抛物线上一点到轴的距离等于5,则它到抛物线的焦

到焦点的距离是4,则点的坐标为_____(答:);

④点P在椭圆上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的

横坐标为_______(答:

⑤抛物线为______(答:2);

);

上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB

的中点到轴的距离

⑥椭圆内有一点,F为右焦点,在椭圆上有一点M,

使

之值最小,则点M的坐标为_______(答:);

2007-12-17 人教网

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