球的表面积

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【优秀范文】球的表面积

范文一:球的表面积 投稿:江簟簠

球的表面积

授课教师:周锦泉

一、 教材分析:球的表面积公式是旋转体一章的重点内容,从演绎的角度来看教材的安排是比较科学的——在给出预备定理的基础上,再建立球的表面积公式。但从学生发展的过程来看,却又在学生认识规律之外,这是因为,按现行的教材的体系,学生难以解决下列问题:

1.作半圆的内接正折线是怎样想到的?作半圆珠笔的任意内接折线行不行?

2.已有一整套圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式,为什么还需要一个统一的公式?

3.这个预备定理起什么作用?事先又是怎样想到这个定理的?

4.这个预备定理是不是仅仅为了学习球的侧面积公式而提出来的?学生还能获得什么?

二、 教学目的:

1、 通过球的表面面积公式的预备定理的证明,培养学生的空间想象能力和分析问题、解决问题的能力。 2、 会应用预备定理推导球的表面积公式,同时向学生渗透分割、逼近的数学思想。

3、 会运用球的表面积公式解答一些多面体和旋转体的相切、相接问题。

4、培养学生认真观察,大胆想象,积极探索发现问题,大胆提出问题的良好习惯。

三、教学重点:

球的表面积公式及其推导

二、 教学难点:

运用预备定理推导球的表面积公式·

三、 教学方法:

探索发现方法

四、 教学工具:

投影仪、投影片、自制教具

五、 教学过程:

创造问题情境

师:同学们,这节课我们一起来研究一类我们日常生活中觉见的问题:

求球的表面积问题。(板书课题)

师:在这之前,我们已学习了圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式。(复习公式)

探求这些公式时,我们运用的方法是:先展开再求面积。那么,求球的表面积能否也这样做呢?我们先一起来看这样的两个实验。

实验1:动手剪皮球,说明球面不可展。

实验2:自制半圆柱“复印”球面的错误理解。这两个实验说明球面不可展。

那么,我们应如何来求球的表面积呢? 新问题旧知识 S=?

师生共同探索

通过教具启发学生分割半球为若干块,然后把这些几何体可近似地看成圆台、圆锥,当分割的块数无限多时,这些圆台、圆锥的侧面积之和就会近似地等于半球的面积。

这种方法叫做分割,无限逼近法。这样就转化成了求球面的内接圆柱、圆台、圆锥的侧面积问题了。如何求呢?请看如下问题:

问题1:已知球面O的内接圆台的高OO’=h,球心O到母线AD的距离OE=p,求证:

S=2ph

分析:过圆台的轴的平面截圆台和球分别及轴截面ABCD和球的大圆⊙O,这时轴截面ABCD是⊙O的内接等腰梯形。

要证:S=2ph 2ph=(r+r’) 2ph=(r+r’)

ph=

OE•DD’=EE’•AD

△ADD’∽ △OEE’

总结:该问题结论即为教材P的预备定理。即:

定理1:球面内接圆台的高为h,球心到母线距离为p,则S=2ph。

问题2:请同学们思考一下,球的内接圆锥、圆柱对这个结果是否同样成立?

为什么?

结论:这个结果对于球的内接圆柱、圆锥仍然成立,因为圆柱、圆锥可以看成是特殊的圆台。 学生讨论交流

师:现在我们已有定理1这个结论,下面请同学们思考一下,我们应如何运用无限逼近法求S? 教师点拔

1、 预备定理的作用在于:‘把半球分割后,求球的内接圆台、圆锥的侧面积’。

2、 S=2

ph =2p(h =2

=2p•ON pR

分点无限增加,侧面积无限地接近半球面,同时P

R,S

我们把这个和作为半球面的面积。

∴定理2:S

3、 课本是采用等分圆弧无限逼近的,采用等分半径行吗?

巩固与应用

例1、 填空:球半径扩大2倍时,大圆面积扩大_______倍,球面面积扩大 ______倍。

球的半径扩大K倍时,球面面积扩大_____倍。

大圆面积扩大K倍时,球面面积扩大_____倍。

例2、 已知:圆柱的底面直径与高都等于球的直径。

求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积。

(2)球的表面积等于圆柱全面积的

归纳小结

组织学生对以上教学环节归纳小结,并回答下面问题:

(1) 本节课学习的主要内容是什么?

(2) 这节课你印象最深刻的是什么?你认为理解得不够深刻的是哪些地方?

(3) 通过这节课的学习,你得到了哪些启示?以后在课堂上刻如何学习才能提高效率?

(4) 这节课的学习运用了哪些数学思想方法,哪些解题技巧、规律?

a、实验联想建模证明

b、无限逼近思想

作业布置

P

板书设计

课题:球的表面积

1、 实验:

2、 新问题旧知识 S?

3、 定理1:S=2ph

4、定理2:S

5、小结: ①实验②无限逼近思想 联想建模证明

范文二:球的表面积 投稿:方谜谝

《球的表面积》教学设计

一、 教学目标

【知识目标】

1、 领会并能记住球的表面积公式

2、 了解球的表面积公式推导过程

3、 能根据球的表面积公式来解决一些具体的关于球的表面积的计算和证明问题。并且能根据球的具体条件变化,计算变化前后的表面积之比

【能力目标】

1、培养学生观察、估算、构造、论证与总结的能力,同时激发学生分析问题,解决问题的能力。

2、培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

【思想目标】

通过对球的表面积公式的推导,让学生了解推导过程中所运用的基本数学思想方法“分割——求和——化为准确和”,为学生们今后进一步学习微积分和近代数学知识做好铺垫。 通过“类比”、“分割”、“求和”,“极限”等数学思想在教学中的运用,让学生理解这些方法,并学会应用。

二、 设计意图

《球的表面积》是高三第一学期15.4中的内容,是柱体和锥体表面积计算方法的一个延伸。而且球的表面积在现实生活中具有广泛的应用,这节课不仅要让学生明白球是一个不可展曲面,而且要让学生在推导球的表面积公式中领会类比、分割、求和、极限的数学思想。

三、 教学过程

(一)提出问题,引入新课

1)、利用实际物体提出设计场景。

问题:如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球,且假设涂的油漆厚度相同,问哪一个球所用

的油漆比较多?为什么?

2)这就与球的表面积有关了。我们已经学习了柱体、锥体的表面积计算公式,我们那时候

是用什么方法推导那些公式的?

(将柱体与锥体展成平面图形)

3)想一想,球体能不能展成平面图形?

(不能,此处可告诉学生球是一个不可展曲面,并对不可展曲面做出适当的展开)

4)正式提出问题。

球既没有底面,也无法像柱、锥一样展成平面图形,那怎样求球的表面积呢?

(二)通过类比,探究新知

1)记得在学习球的体积公式的时候,我们介绍过一个特殊的方法——分割,求和。

简单的回顾:有一种方法可将所求的圆分割成许多小的圆片,通过求第i块小圆片的体积,从而推出整个大球的体积公式。

2)问题:我们可不可以类似的来求圆的表面积呢?(可以)

此处引导学生通过类比的方法,探索求圆的表面积的思路。

3)问题:如果可以,那么如何分割才是最合适的,最方便计算的?

此处可以让学生分组讨论,打开学生的思路,培养学生对未知事物的探索精神。

(三)逐步引导,推出公式

1) .若将球表面平均分割成n个小块,则每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近

于甚至等于球的表面积.

这时候学生已经得出了用分割法求球的表面积的结论,并且也想出了很多分割的方案。此处教师可介绍最普遍的一种。(学生推导为主,教师引导为辅)

2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.

第一步:分割

如图所示,球面可被分割成n个网格,它们的表面积分别为S1,S2,S3,,Sn 则球的表面积S=S1S2S3Sn

如果设“小锥体”的体积为Vi

则球的体积为:

V=V1V2V3Vn

第二步:求和

1VSihi3

由第一步得到V=V1V2V3Vn V1111S1h1S2h2S3h3Snhn 3333

第三步:准确和

如果网格分布越细,则“小锥体”就越接近小棱锥

hi的值就趋向于球的半径

R

1SiR 3

1111V=S1RS2RS3RSn 3333Vi

又球的体积我们已经学过为:V43R 3

431RRS,从而S=4R2 33

3)得出结论:半径R的球的表面积公式为:

S球=4R2

(三)、适当练习,巩固应用

1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的______倍. (答案8倍)

2.若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的________倍(答案4倍)

3.若两球表面积之比为1:9,则其体积之比是______.(答案1:27)

4.若两球体积之比是8:1,则其表面积之比是______.(答案4:1)

35.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为___cm. (答案:)

6正方体的内切球和外接球的体积比为 ,表面积比为 。 (答案:3:1 ; 3 :1)

7.长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5,是它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是 。 (答案50)

此处希望学生通过适当的练习加强对球的表面积公式的运用与记忆,同时也是对原先知识的回顾。

(四)、归纳小结,布置作业

教师:我们本节课主要学习了球的表面积公式的推导,以及利用公式解决相关球的问题,了解了推导中“分割、求近似和,再有近似和转化为准确和”解题的方法。希望大家可以在以后遇到类似问题的时候想到这些方法,并学会运用方法。而且大家还可以在课后想一想球的表面积公式推导中,除了以上的方法之外,还有别的什么分割方法。也自己尝试着动脑想一想,动手算一算。

学生:„„

布置作业:„„

范文三:球的表面积 投稿:余硷硸

1.1.6球的表面积和体积

一、教材分析

在此之前我们已经学习了柱体、椎体和台体的体积和表面积,这为过渡到本课题的学习起到了铺垫作用。对于学生了解推导过程所用的“分割—求和”的基本数学思想方法有着重要的指导意义。

二、教学目标:

1、掌握球的体积和表面积公式,并能灵活运用公式进行解决实际问题。

2、通过球的体积和表面积公式的探究,提高学生分析、综合、抽象、概括的能力。

3、通过探索球的体积公式的推导,使学生体验到数学学习充满探索和创造的乐趣,增强

学生解决问题的信心,激发学生的学习兴趣。

三、教学重点和难点

重点:球的体积和表面积公式的应用

难点:公式运用过程中有关球的计算

四、教学过程

(一)、新课导入:

1、复习:圆锥和圆柱的体积和表面积的公式

2、提出问题:引导学生观察几何体的体积及表面积,通过圆锥和圆柱的体积和表面积的公式,让学生观察谈论,共同探讨球的表面积和体积公式。引出课题

(二)、新课讲授

1、探究新知:

球的半径为R,它的体积和表面积只与半径R有关,是以R为自变量的函数.事实上,如果球的半径为R,那么S=4πR,V=R.

注意:球的体积和表面积公式的证明以后证明.

2、理解新知:

例1 如图1所示,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:

2433

图1

(1)球的体积等于圆柱体积的2; 3

(2)球的表面积等于圆柱的侧面积.

学生思考圆柱和球的结构特征,并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形。

证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.

则有V球=R,V圆柱=πR2·2R=2πR3,所以V球=V圆柱.

(2)因为S球=4πR2,S圆柱侧=2πR·2R=4πR2,所以S球=S圆柱侧.

(设计意图)本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征.

例2 如图3所示,表示一个用鲜花做成的花柱,它的下面是一个直径为1 m、高为3 m的圆柱形物体,上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵,那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花(π取3.1)?

43323

图3

活动:学生思考和讨论如何计算鲜花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积(不含下底面)与每朵鲜花占用的面积.几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积. 解:圆柱形物体的侧面面积S1≈3.1×1×3=9.3(m2),

半球形物体的表面积为S2≈2×3.1×(12)≈1.6(m2), 2

所以S1+S2≈9.3+1.6=10.9(m2).

10.9×150≈1 635(朵).

答:装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花.

(设计意图:本题主要考查球和圆柱的组合体的应用,以及解决实际问题的能力.) 运用新知:

练习1.如图2(1)所示,表面积为324π的球,其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积

.

图2

解:设球的半径为R,正四棱柱底面边长为a,则轴截面如图2(2),所以AA′=14,AC=2a,又∵4πR2=324π,∴R=9.

∴AC=AC'2CC'22.∴a=8.

∴S表=64×2+32×14=576,即这个正四棱柱的表面积为576.

练习2.有一个轴截面为正三角形的圆锥容器,内放一个半径为R的内切球,然后将容器注满水,现把球从容器中取出,水不损耗,且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体,问容器中水的高度为多少?

分析:转化为求水的体积.画出轴截面,充分利用轴截面中的直角三角形来解决.

解:作出圆锥和球的轴截面图如图4所示,

图4

圆锥底面半径r=R3R, tan30

圆锥母线l=2r=2R,圆锥高为h=r=3R,

∴V水=

3r2h434353R·RR, 3R2·3R3333

球取出后,水形成一个圆台,下底面半径r=3R,设上底面半径为r′,

则高h′=(r-r′)tan60°=(3Rr'), ∴53Rh'(r2+r′2+rr′),∴5R3=3(3Rr')(r'2Rr'3R2), 33

∴5R3=(R3r'3),

解得r′=43R16R, 3

∴h′=(3)R.

答:容器中水的高度为(3)R.

(选做题)1.三个球的半径之比为1∶2∶3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )

A.1倍 B.2倍 C.97倍 D.倍 54

分析:根据球的表面积等于其大圆面积的4倍,可设最小的一个半径为r,则另两个为2r、

36r293r,所以各球的表面积分别为4πr、16πr、36πr,(倍). 2254r16r222答案:C

2.若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π,则球的表面积是____________. 分析:画出球的轴截面,则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形,又由题意得截面圆的半径是3,则球的半径为

4π×52=100π.

答案:100π

课堂小结 4232=5,所以球的表面积是

本节课学习了:

1.球的表面积和体积.

2.计算组合体的体积时,通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积.

3.空间几何体的表面积与体积的规律总结:

(1)表面积是各个面的面积之和,求多面体表面积时,只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形,利用平面图形求多面体的表面积.求旋转体的表面积时,可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手,将其展开求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系,注意球面不可展开.

(2)在体积公式中出现了几何体的高,其含义是:

柱体的高:从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线,这点和垂足间的距离称为柱体的高;

锥体的高:从锥体的顶点向底面作垂线,这点和垂足间的距离称为锥体的高;

台体的高:从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线,这点和垂足间的距离称为台体的高.

注意球没有高的结构特征.

(3)利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题,是解决立体几何问题的常用手段.

(4)柱体、锥体、台体和球是以后学习第二章 点、直线、平面位置关系的载体,高考试题中,通常是用本模块第一章的图,考查第二章的知识.

(5)与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一,常以选择题或填空题的形式出现,属于低档题.

五、教学设计

球体的表面积与体积

公式: 例一: 例二: 练习:

六、教学反思

范文四:球体表面积 投稿:张莦莧

球体表面积

球体表面积是指球面所围成的几何体的面积,它包括球面和球面所围成的空间。 1公式 球体表面积公式2公式证明 把一个半径为R的球的上半球横向切成n(无穷大)份,

每份等高

并且把每份看成一个类似圆台,其中半径等于该类似圆台顶面圆半径

则从下到上第k个类似圆台的侧面积S(k)=2πr(k)×h

其中r(k)=√[R^2-﹙kh)^2],

h=R^2/{n√[R^2-﹙kh)^2}.

S(k)=2πr(k)h=(2πR^2)/n

则 S=S(1)+S(2)+„„+S(n)= 2πR^2;

乘以2就是整个球的表面积 4πR^2;

可以把半径为R的球看成像洋葱一样分成n层,每层厚为=,设第k层与球心的距离为r=r(k)=k,面积为一个关于r(k)的函数设为S(r),则k层的体积V(k)=S(r)*, 所以V=V(k)=S(k)*=S(r)*Δr=,也就是V(r)=,有可以知道V(r)=4/3πr^3,所以同时求导就可得S(r)=4πr^2

一个圆锥所占空间的大小,叫做这个圆锥的体积.

一个圆锥的体积等于与它等底等高 的圆柱的体积的1/3

根据圆柱体积公式V=Sh(V=πr^2h),得出圆锥体积公式:

S是圆柱的底面积,h是圆柱的高,r是圆柱的底面半径。

证明:

把圆锥沿高分成k分 每份高 h/k,

第 n份半径:n×r÷k

第 n份底面积:pi×nx2×rx2÷kx2

第 n份体积:pi×h×nx2×rx2÷kx3

总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi×h×(1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2)×rx2/kx3

∵1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2=k×(k+1)×(2k+1)÷6

∴总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2)*rx2/kx3

=pi*h*rx2* k*(k+1)*(2k+1)/6kx3

=pi*h*rx2*(1+1/k)*(2+1/k)/6

∵ 当n越来越大,总体积越接近于圆锥体积,1/k越接近于0

∴ pi*h*rx2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*rx2/3

∵ V圆柱=pi*h*rx2

∴ V圆锥是与它等底等高的V圆柱体积的1/3

半球体积的计算 由祖暅原理,半球与一个拥有与半球体相同横切面积和高的立体,即圆柱体中间切去一个圆锥体体积相同。

容易得体积为2/3×π×r^3(三分之二乘派乘半径的三次方)。

球的体积:

a) 在给出半球的概念后,让学生进一步思考如何计算出半球的体积,进而求出整

个球的体积。这里我们采用分割的方法来计算球的体积。

下面用多媒体演示球的分割示意图,如图,把垂直于底面的半径OA作n等分,经过这些等分点,用一组平行于底面的平面把半球切割成n层,每一层都近似于一个圆柱形的“薄圆片”,这些“薄圆片”的体积之和就是半球的体积。这样球的体积就转化为薄圆片的体积和。再进一步引导学生求出这些薄圆片的体积和。

“薄圆片”的厚度Rn由勾

股定理可得可以算出第i层(由下向上数)“薄圆片”的下底面半径(rii1,2,3,,n,)

以此求得第i层“薄圆片”的体积

RR3i12[1()],i1,2,3,(Virinnn2,n,)

那么半球体积也就很容易求出

(V半球V1V2Vn

(n1)2

[1]} n2

] 122{1[12][12] nnn R3R3

n[n1222

n(n1)22

R3

n[n1(n1)n(2n1)] n26

∴半球的体积V半球11(1)(2)] ①) R3[16

设计意图:体现从简单到复杂、具体到抽象的认知过程。在课堂教学中教师引导学生探索获得知识、技能的途径和方法。通过探索,培养学生的观察能力和运动变化的观点,同时充分利用图形的直观性,渗透了数形结合的数学思想,学生在探索的过程中品尝到了自己劳作后的甘甜,感受到耕耘后的丰收喜悦,更激起了学生的探索创新意识。 另外通过多媒体课件的演示,让学生更直观的观察出球是怎样被分割的,以便于引导学生推出半球的体积公式。这样将抽象概念生动、直观地通过多媒体课件展示出来,从视觉上刺激学生,激发学生探索的兴趣,引导学生用所学知识解决实际问题。

b) 紧接着第二步,让学生深入下去,进而推导出半球更为精确的体积公式。 适时的给出提示:当n不断变大时,半球的体积会越来越精确,若n变为无穷大时,趋向于0,这时半球的体积公式便出来了。 1n

(V半球11(1)(2)]R3112R3) R3[1633

4R3.也就出来了。 3进而球的体积公式V

范文五:1.3.2球的体积和表面积 投稿:雷牠牡

1.3.2球的体积和表面积

【学习目标】:

能运用球的公式灵活解决实际问题。培养空间想象能力。

【学习重点】:

能运用球的公式灵活解决实际问题

【学习难点】:

能运用球的公式灵活解决实际问题

【自主学习】

问题1:球的表面积的公式怎样?球的体积怎样?

例1:圆柱的底面直径与高都等于球的直径。

求证:(1)球的体积等于圆柱的体积的

例2:已知:钢球直径是5cm,求它的体积.

(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是

7.9g/cm2)

编号 共 页第 1 页 使用时间: 年 月 日 2;(2)球的表面积等于圆柱的侧面积 3

【当堂检测】:

一、选择题

A1一个正方体的顶点都在球面上,此球与正方体的表面积之比是( ) A. 

3 B. 

4 C. 

2 D. 

B2.在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球,钢球恰与棱锥的四个面都接

触,过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是 ( )

A B C D

B3正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上,则这个球的表面积是:( ) A.a

3; B.a

2; C.2a; D.3a.

B4已知正方体外接球的体积是

(A

) (B

)32,那么正方体的棱长等于 ( ) 3 (C

) (D

) 二、填空题

A5、球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的.

B6、一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为 cm3.

B7、长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5,是它的八个顶点都在同一

球面上,则这个球的表面积是 。

B8、有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体

的各顶点,求这三个球的体积之比_________.

B9、正方体的内切球和外接球的体积的比为表面积比

为 。

B10、一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,

水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米

三、解答题

2B11、在球心同侧有相距9cm的两个平行截面,它们的面积分别为49πcm和400

πcm,求球的表面积。 2

编号 共 页第 2 页 使用时间: 年 月 日

范文六:§1.3.2球的表面积和体积 投稿:任猉猊

课题:§1.3.2 球的体积和表面积

学科组:高一数学 审定人:

学习要求:

了解球的表面积和体积计算公式;

能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题. 学习重点:运用公式解决问题.

学习难点:运用公式解决问题.

学习进程::

一.回顾旧知:

1.球的概念:

与定点的距离小于或等于定长的点的集合,叫做球体,简称球。

定点叫做球的球心;

定长叫做球的半径;

与定点的距离等于定长的点的集合,叫做球面。

2.柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么?圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式分别是 什么?

3.问题提出:球是一个旋转体,它也有表面积和体积,怎样求一个球的表面积和体积呢?

二.学习新知:

1、 球的体积:

定理:半径为R的球的体积是

2、 球的表面积

定理:半径为R的球的表面积是

思考:经过球心的截面圆面积是什么?它与球的表面积有什么关系?

(球的表面积等于球的大圆面积的4倍)

三.例题分析:

例1、圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:

(1)球的表面积等于圆柱的侧面积.

(2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.

例2、地球和火星都可以看作近似球体,地球半径约为6370km,火星的直径约为地球的一半。 求地球的表面积和体积;火星的表面积约为地球表面积的几分之几?体积呢?

四.巩固练习:

1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍

2.若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的___倍.

3.若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是______.

4.若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是______

例3.钢球直径是5cm,求它的体积和表面积.

五.我的小结:

(1)有关球和球面的概念。

(2)球的体积公式:

球的表面积公式:

(3)球的体积公式和表面积的一些运用。

六.我的困惑:

范文七:球的表面积和体积 投稿:彭喫喬

莘县一中课时教案

2015 年 12 月 2 日 课题 球的表面积和体积 第 14 周 新授

课型

教 学 目 标

(1)了解球的体积公式和球的表面积公式的推导过程, 体会其基本思想方法; (2) 会 用 球 的 体 积 公 式 V   R 3 和 球 的 表 面 积 公 式

S  4 R2 解决有关问题

王新敞

奎屯 新疆

4 3

重点 难点

球的体积和表面积的计算公式的应用 如何推导球的体积和表面积公式

球的概念: 球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面, 球面所为成的几何体叫做球体,简称球. 一个球用表示它的球心的字母表示, 例如球 O . 2.圆柱和圆锥的体积公式:

A

教 学 过 程

1 V圆锥  r 2 h 3

R O

C

V圆柱  r 2 h

B

1. 球的体积: 可先求半径为 R 的半球的体积.为此,采用倒水做实验的方法, 直观得出球的体积公式.

2 1 V半球  V圆柱  V圆锥  R 2  R  R 2  R  R 3 3 3

所以, V球 

4 3 R 3

2 球的表面积:

王新敞

奎屯 新疆

S  4 R2

教 学 过 程

例 1(1)把半径分别为 3,4,5 的三个铁球, 熔成一个大球,则大球半径是 ;6

(2)如果球的大圆面积增大为原来的 4 倍, 则球的表面积增大为原来的 ___倍; 体积增大为原来的 ___倍;4,8 (3)两个球的体积之比是 8:27, 那么这两个球的表面积之比是______.2:3

例 2. 截面问题: 已知球的两平行截面的面积为 5 8 ,它们位于球心的 同侧,且相距为 1,求这个球的表面积。

教 学 过 程 例 3. 球与正方体、长方体的组合体:

1. 如 果 球 的 半 径 是 4, 则 其 体 积 是 是 .

; 如 球 的 直 径 是 4, 则 其 体 积

2.如果球的体积是 36  cm3,那么它的半径是 .3cm 3.三个球的半径之比为 1: 2 : 3 ,那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍;3 4. 球面上有四个点 P, A, B, C, 如果 PA, PB, PC 两两互相垂直, 且 PA=PB=PC=a, 则这个球的表面积为____________体积为____________.

256 32 ,  3 3

5.一个四面体的所有棱长都为 2 , 四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积为

教 学 过 程

( ) A.3π C. 3 3

B.4π D.6π

6.球 O1、O2 分别与正方体的各面、各条棱相切,正方体的各顶点都在球 O3 的 表面上,求三个球的表面积之比. 7.两底面半径为 r1 和 r2(r1<r2=的圆台中有一个内切球,求这个球的表面积 为_________. (4π r1r2)

范文八:球体体积表面积 投稿:洪團圙

教学目标

重点难点

球的体积

球表面积

退出

例题讲解

课堂练习

课堂小结

课堂作业 封底

教学目标

掌握球的体积、表面积公式.

掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法.

会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题,培养 学生应用数学的能力. 能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外 切”的几何体问题.

重点难点

教学重点

球的体积公式及应用 球的表面积公式及应用

教学难点

球的表面积公式的推导

球的体积公式的推导

分割  求近似和  化为准确和思想方法

球的体积

高等于底面半径的旋转体体积对比

R 

V圆锥

1 3  R 3

V半 球  ?

V圆柱

3 3  R 3

猜测 : V半球

2 4 3  R , 从而V  R 3 . 3 3

球的体积

学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来.所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法.

我们把一个半径为R的圆分成若干等分,然后如上图重新 拼接起来,把一个圆近似的看成是边长分别是 R和R的矩形.

那么圆的面积就近似等 R . 于

2

球的体积

当所分份数不断增加时,精确程度就越来越高;当 份数无穷大时,就得到了圆的面积公式.

分割

求近似和

化为准确和

下面我们就运用上述方 法导出球的体积公式

即先把半球分割成n部分,再求出每一部分的近似体积, 并将这些近似值相加,得出半球的近似体积,最后考虑n变 为无穷大的情形,由半球的近似体积推出准确体积.

球的体积

A A

O

C2

O

B2

r1  R  R,

2

R 2 r2  R  ( ) , n

2

2R 2 r3  R  ( ) , n

2

A

球的体积

ri

O

R ( i  1) n

R

O

第i层“小圆片”下底面的 半径:

ri  R R  [ ( i  1)]2 , i  1,2 , n. n

2

球的体积

R ( i  1)]2 , i  1,2, , n n R R 3 i 1 2 2 Vi  ri   [1  ( ) ], i  1,2 , n n n n ri  R2  [

V半球  V1  V2    Vn

12  2 2    ( n  1) 2  [n  ] 2 n n

R 3

R 3 1 ( n  1)  n  ( 2n  1)  [n  2  ] n n 6

1 ( n  1)( 2n  1)  R [1  2  ] n 6

3

球的体积

V半球 1 1 (1  )( 2  ) n n ]  R 3 [1  6

1  0. n

当n  时,

2 V半 球  R 3 3 4 从 而V  R 3 . 3

4 3 定理:半径是 的球的体积为:  R R V 3

球的表面积 球面不能展开成平面图形,所以求球的表面积无法用展开图 求出,如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法, 是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢?

下面,我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式.

1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平

均分割成n个小块, 每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似 看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近 于甚至等于球的表面积. 2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为 顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大, 越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.

球的表面积

S i

o o

球的表面积 球面被分割成n个网格,表面积分别为:

第 一 步: 分 割

S1,S2,S3 ,, Sn

O 则球的表面积:

S  S1  S2  S3    Sn

设“小锥体”的体积为 Vi 

S i

O

则球的体积为:

Vi

V  V1  V2  V3    Vn

球的表面积

第 二 步: 求 近 似 和

S i

hi

O O

Vi

1 Vi  S i hi 3

由第一步得: V  V1  V2  V3    Vn

1 1 1 1 V  S1h1  S2 h2  S3 h3    Sn hn 3 3 3 3

球的表面积

第 三 步: 化 为 准 确 和

O

hi

S i

Vi

如果网格分的越细,则: “小锥 体”就越接近小棱锥

hi 的值就趋向于球的半径 R

1  Vi  S i R 3 1 1 1 1 V  Si R  S2 R  S3 R    Sn R 3 3 3 3

1 1  R( Si  S2  S 3  ...  Sn )  RS 3 3

S i

R

Vi

4 3 又球的体积为:  R V 3 4 1 3 R  RS , 从而S  4R 2

3 3

例题讲解

例1.钢球直径是5cm,求它的体积.

4 4 5 3 125 3 V  R    ( )  cm 3 3 3 2 6

(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)

例题讲解

(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是

4 5 3 4 7.9  [   ( )  x 3 ]  142 3 2 3

x

3

5 3 142  3 ( )   11.3 2 7.9  4

由计算器算得:

x  2.24

2 x  4.5

答:空心钢球的内径约为4.5cm.

例题讲解 (变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, 至少要用多少纸?

用料最省时,球与正方体有什么位置关系?

球内切于正方体

侧棱长为5cm

S 侧  6  5  150cm

2

2

例题讲解

例2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 个顶点都在球O的球面上,问球O的表面积。

分析:正方体内接于球,则由球和正方 体都是中心对称图形可知,它们中心重 合,则正方体对角线与球的直径相等。

略解:RtB1 D1 D中 : ( 2 R )  a  ( 2a ) , 得

2 2 2

D A D1 A1 D A O B B

C

O

C1 B1 C

3 R a 2  S  4R 2  3a 2

D1

A1 B1

C1

例题讲解

例3已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距 离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm,求球的 体积,表面积. 解:如图,设球O半径为R

, 截面⊙O′的半径为r,

O

A

O

 O O 

R , ABC是正三角形, 2

C

O A 

2 3 2 3  AB  r 3 2 3

B

例题讲解

例3.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm,求球的体积, 表面积.

解:在RtOOA中, OA2  OO 2  OA 2 ,

 R2  ( R 2 2 3 2 ) ( ) , 2 3

4 R  . 3

4 4 4 3 256 3 V  R   ( )  ; 3 3 3 81

O

A

O

C

16 64 S  4R  4   . 9 9

2

B

课堂练习

练习一

8 1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的_倍.

2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 32 3 这个球的体积为___cm3. 3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 1: 2 2 : 3 3 个球的体积之比_________.

课堂练习

练习二

1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍. 2 2.若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的___倍. 4

1: 2 2 3.若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是______.

1: 3 4 4.若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是______.

课堂练习

练习二

5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 则它的外接球的表面积为_____. 9

3 , 5 , 15,

6.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π , 则两球的直径之差为______. 4

7.将半径为1和2的两个铅球,熔成一个大铅球,那么 这个大铅球的表面积是______. 123 3

课堂小结

了解球的体积、表面积推导的基本思路: 分割→求近似和→化为标准和的方法,是 一种重要的数学思想方法—极限思想,它 是今后要学习的微积分部分“定积分”内 容的一个应用; 熟练掌握球的体积、表面积公式: 4 3 V  R 3 S  4R 2

课堂作业

习题9.11 P.74 5、6 、7、8 预习小结与复习P.75—P.77

范文九:1.4球的体积和表面积 投稿:尹啶啷

1.4 球的体积和表面积

  一、选择题

  

1.若球的大圆面积扩大为原来的4倍,则球的表面积比原来增加( )

A.2倍 B.3倍 C.4倍 D,8倍

2.若球的大圆周长是C,则这个球的表面积是( )

A. B. C. D.2πc2

3.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球面面积是( )

A. B. C.4π D.

4、球的大圆面积增大为原来的4倍,那么球的体积增大为原来的( )

A.4倍 B.8倍 C.16倍 D.32倍

5.三个球的半径之比为1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两个球的体积和的( )

A、1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍

6.棱长为1的正方体内有一个球与正方体的12条棱都相切,则球的体积为( )

A.4π B. C. D.π

7.圆柱形烧杯内壁半径为5cm,两个直径都是5 cm的铜球都浸没于烧杯的水中,若取出这两个铜球,则烧杯内的水面将下降( )

A、cm B.cm C.cm D.cm

8.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球面面积为( )

A、π B.π C.4π D.π

9.长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5,且它的8个顶点都在同一球面上,这个球的表面积为( )

A.20π B.25π C.50π D.200π

10.等体积的球与正方体,其表面积的大小关系为( )

A.S球>S正方体 B.S球=S正方体

C.S球<S正方体 D.大小关系不确定

二、填空题

11.已知三个球的表面积之比为1∶4∶9,若它们的体积依次为V1、V2、V3,则V1+V2=_____V3.

12.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为l,则球的体积为_________.

13.将一个玻璃球放人底面面积为64πcm2的圆柱状容器中,容器水面升高cm,则玻璃球的半径为__________.

14.将一个半径为R的木球削成一个尽可能大的正方体,则此正方体的体积为______.

15.表面积为Q的多面体的每个面都外切于半径为R的一个球,则多面体与球的体积之比为______.

16.国际乒乓球比赛已将"小球"改为"大球","小球"的外径为38 mm,"大球"的外径为40 mm,则"小球"与"大球"的表面积之比为__________.

三、解答题

  17.已知正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,则这样的三棱柱内能否放进一个体积为的小球?

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  18.用刀切一个近似球体的西瓜,切下的较小部分的圆面直径为30 cm,高度为5 cm,该西瓜体积大约有多大?

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  19.三棱锥A-BCD的两条棱AB=CD=6,其余各棱长均为5,求三棱锥的内切球的体积.

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

20.表面积为324π的球,其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.

参考答案

一、选择题

1.B 2.C 3.D 4.B 5.C 6.C 7.A 8.D 9.C 10.C

二、填空题

11.

提示:三个球半径之比为1∶2∶3,体积为1∶8∶27.

12.36π

设球的半径为R,由题意得-=1,

∴R=3,∴V球==36π.

13.4cm 14. 15.Q∶4πR2 16.361∶400

三、解答题

17.设球半径为R,则=,∴R=.而正三棱柱底面内切圆半径r=,比较R与r的大小,R6===·,r6===·,

∴R6>r6,∴R>r,所以不能放进一个体积为的小球.

18.解:如图,设球半径为Rcm,切下的较小部分圆面半径为15cm,∴OO′=R-5.

Rt△OO′A中,R2-(R-5)2=15,

∴R=25(cm).

V===(cm3).

19.设球半径为R,三棱锥A-BCD表面积为S,则V三棱锥=.取CD中点M,连结AM、BM.

∵AC=AD=5,∴CD⊥AM.

同理CD⊥BM,∴CD⊥平面ABM,

∴V三棱锥=(CM+MD),S△AMB=2S△AMB.

∵AM=BM=4,取AB中点N,连结MN,

则MN⊥AB,且MN==,

∴S△ABM=,∴V三棱锥=.

又三棱锥每个面面积和都为12,

∴S=4×12=48,∴V三棱锥==16R.

20.解:设球的半径为R,正四棱柱底面边长为a,

∵4πR2=324π,∴R=9,

∴142+()2=182,∴a2=64,∴a=8.

∴S四棱柱=2a2+4a·14=64×2+32×14=576.

范文十:球的体积与表面积 投稿:宋盗盘

球的体积与表面积

教材分析:本节为北师大版必修2第一章第7节第三课时,本节教材直接给出了球的表面积和体积公式,并用例题来说明其应用,本人增加了球的基本性质及相关应用,研究了球与几何体的组合体的有关计算,这是本节的重点,也是高考的重点

三维目标:掌握球的表面积和体积公式,并能应用其解决有关问题,提高学生解决问题的能力,培养转化与划归的数学思想方法

教学重点:球的表面积和体积公式的应用

教学难点:关于球的几何体的计算

教学过程:

1、复习:

1)球的定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,将半圆旋转一周形成曲面叫做球面,球面所围成的几何体叫做球体,简称球。

2)用一个平面去截一个球,截面是什么?圆面

图中的两个截面分别叫什么?

球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆

球面被不过球心的截面截得的圆叫球的小圆

2、引入:

  中国打乒乓球是非常厉害的,中国乒乓球队在各个国际比赛中总是包揽乒乓球项目的所有金牌,俗话说:"木秀于林,风必摧之",外国人不同意了,不能让中国一个把金牌全拿了,得改,改什么呢,改不了规则就改球

  国际乒联决定从2000年10月1日起,也就是在悉尼奥运会之后,乒乓球比赛将使用直径40毫米,重量2.7克的大球取代38毫米小球

  乒乓球从直径38毫米增加了2毫米,半径增加了1毫米,就这一毫米外国人都不放过,但是这一毫米半径对咱中国的选手还是有影响的,比如说著名的技术型选手刘国梁,改球之后刘国梁也尝到了失败的滋味,但对力量型选手,比如说王励勤,刘国正,马琳的影响就不大。

思考:半径1毫米的变化直接导致了乒乓球什么的变化?改变了体积和表面积

球的体积:

球的表面积:

观察公式,球的表面积与体积只与球的半径有关

   解决该类问题的关键是:如何根据已知条件求球的半径

思考:1)已知球的表面积,如何求球的体积?

套表面积公式求出半径,再套体积公式

2)已知两球的表面积之比,如何求两球的体积之比?

先开平方在乘立方,开平方得到的是半径之比

3、练习一

1)8个半径为2的铁球熔铸成一个球,求这个球的表面积?

解:,

  

2)如图,一个圆锥形的空杯子上面放了一个半球形的冰激凌,如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗?

4、球的有关性质:

1)球心和截面圆心的连线垂直于该截面

证明:过小圆的圆心作两条直径,并连接球心和直径的端点,得到了两个等腰三角形,利用三线合一可得001垂直于小圆面内的两条相交直线,所有得到结论

2)球心到截面的

距离d与球的半径R,小圆半径r的关系:

证明:构造直角三角形,利用勾股定理

5、练习二

1)以球的半径的中点为圆心,作球的截面,已知此截面的面积为48πcm2,求此球的表面积和体积?(可用上图)

解:

  

  

  

2)将一个气球放入一个棱长为4cm的正方体内,不断充气使其与正方体各面都相切,且球保持不变形,求气球的表面积和体积

分析:球内切于正方体,球心是正方体的中心,切点是正方体六个面的中心,经过四个切点和球心作截面,如图:

结论:正方体的内切球直径2R=正方体的棱长

解:

  

  

3)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4cm,它的各个顶点都在球O的球面上,求球O的表面积

分析:球内接正方体,正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面:如图:

结论:球内接正方体的对角线既是球的一条直径

解:

  

4)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,求球的表面积?(可用上图)

解:

  ∴正四棱柱底面边长为2

  

  

6、练习三

1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍

2)若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的___倍

3)若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是______

4)若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是______

5)长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ,则它的外接球的表面积为_____

6)若两球表面积之差为48π,它们大圆周长之和为12π,则两球的直径之差为______

7、拓展

有一个倒圆锥形的容器,它的轴截面是一个正三角形,现在往这个容器内注水,并放入一个半径是r的钢球,这时球面恰好与水面相切,那么将球从圆锥形容器中取出后,水深是多少?

分析:球取出前后,水的体积是不变的,利用水体积的不变性建立关于水深h与球半径r的方程

解:PC=3r,AC=

  

  球取出后容器的水深为h,水面圆的半径为

  

  

小结:球的表面积和体积公式

作业:课后练习

教学反思:本节课的引入设计的比较好。引起了学生对学习的兴趣,课件上组合体的展示有助于学生对题目的思考,如果能加上实物模型,效果可能会更好。

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