第 16 次理论课教学安排
2.4导数的应用----曲线的凹凸与拐点
课题： 曲线的凹凸与拐点
目的要求：理解曲线凹凸性的概念、掌握判断函数图形的凹凸性、求函数图形
的拐点等方法。
重、难点：判断函数图形的凹凸性、求函数图形的拐点 教学方法：讲练结合 教学时数：1课时 教学进程：
函数的单调性可用函数的一阶到函数来判定，对于同样的递增函数有着不同的增法，如向上凸的增或凹的增，那么对于这两种不同的增法我们如何刻画那？
一、曲线的凹凸与拐点
yf(x)
B
1．曲线的凹凸定义和判定法
从图1可以看出曲线弧ABC在区间a,c内是向下凹入的，此时曲线弧ABC位于该弧上任一点切线的上方；曲线弧CDE在区间c,b内是向上凸起的，此时曲线弧CDE位于该弧上任一点切线的下方．关于曲线的弯曲方向，我们给出下面的定义：
定义1 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的上方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的．
例如，图1中曲线弧ABC在区间a,c内是凹的，曲线弧CDE在区间c,b内是凸的．
图1
由图1还可以看出，对于凹的曲线弧，切线的斜率随x的增大而增大；对于凸
的曲线弧，切线的斜率随x的增大而减小．由于切线的斜率就是函数yfx的导数，因此凹的曲线弧，导数是单调增加的，而凸的曲线弧，导数是单调减少的．由此可见，曲线yfx的凹凸性可以用导数fx的单调性来判定．而fx的单调性又可以用它的导数，即yfx的二阶导数fx的符号来判定，故曲线yfx的凹凸性与fx的符号有关．由此提出了函数曲线的凹凸性判定定理：
定理1 设函数yfx在a,b内具有二阶导数．
（1）如果在a,b内，fx＞0，那么曲线在a,b内是凹的； （2）如果在a,b内，fx＜0，那么曲线在a,b内是凸的．
例１ 判定曲线yx3的凹凸性．
2．拐点的定义和求法
定义2 连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点．
定理2(拐点存在的必要条件) 若函数fx在x0处的二阶导数存在,且点
x0,fx0为曲线yfx的拐点,则fx00.
我们知道由fx的符号可以判定曲线的凹凸．如果fx连续，那么当fx的符号由正变负或由负变正时，必定有一点x0使fx0＝0．这样，点x0,fx0就是曲线的一个拐点．因此，如果yfx在区间a,b内具有二阶导数，我们就可以按下面的步骤来判定曲线yfx的拐点:
(1) 确定函数yfx的定义域；
(2) 求yfx；令fx＝0，解出这个方程在区间a,b内的实根； (3) 对解出的每一个实根x0，考察fx在x0的左右两侧邻近的符号．如果fx在x0的左右两侧邻近的符号相反，那么点x0,fx0就是一个拐点，如果fx在x0的左右两侧邻近的符号相同，那么点x0,fx0就不是拐点．
例２ 求曲线yx3x的凹凸区间和拐点． 解 （1）函数的定义域为,；
2
（2）y3x6x,y6x66x1；令y0，得x1；
3
2
（3）列表考察y的符号（表中“是凸的）：
”表示曲线是凹的，
“” 表示曲线
由上表可知，曲线在,1内是凸的，在1,内是凹的；曲线的拐点为1,2．
例３ 已知点(1,3)为曲线yax3bx2的拐点，求a,b的值。
能是曲线的拐点．例如，函数y
3
图2
要注意的是，如果fx在点x0处的二阶导数不存在，那么点x0,fx0也可
x在点0,0处的二阶导数不存在，但是点0,0
是该函数的拐点(图2)．
小结本讲内容：１．函数图形凹凸性的判断、函数图形的拐点求法。
２．描绘简单的常用函数的图形（包括水平渐近线和铅直渐近
线）。
作业： 作业册 第二章 单元练习四
凹凸函数的性质
1
2文丽琼
1 营山中学 四川营山 637700 2营山骆市中学 四川营山 638150
摘要：若函数f(x)为凹函数，则f (
+11
2
+ +n n + +n n
) ≤
f (1) +f (2) + +f (n )
n
f (1) +f (2) + +f (n )
n
+ 若函数f(x)为凸函数，则f (
2
) ≥
从而使一些重要不等式的证明更简明。
中图分类号： 文献标识号： 文章编号：
高二数学不等式，教材上只要求学生掌握两个数的均值不等式，教材上的阅读材料中，证明了三个数的均值不等式，从而推广到多个数的情形。学有余力的学生，会去证多个数的情形。仿照书上去证，几乎不可能。下面介绍凹凸函数的性质，并用来证明之，较简便易行。
凹函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的下方，则函数f(x)叫做凹函数。如图（一）
凸函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的上方，则函数f(x)叫做凸函数。如图（二）
性质定理 若函数f(x)是凹函数，则 f (1
+2+ +n
n + +n n
) ≤
f (1) +f (2) + +f (n )
n
f (1) +f (2) + +f (n )
n
若函数f(x)是凸函数，则
+f (
1
2
) ≥
证明：若函数f(x)是凹函数，如下图
+点P （
1
2
+ +n n
+, f (
1
2
+ +n n
) ）在f(x)上
设过P 点的切线方程为：y=ax+b 则
f (1
+2+ +n
n
) =a ⋅1
+2+ +n
n
+b （1）
∵f(x) 是凹函数，切线在函数图像下方
∴f (x 1) ≥a x 1+b ; f (x 2) ≥a x 2+b ; …; f (x n ) ≥a x n +b ∴
f (1) +f (2) + +f (n )
n + +n n
≥a ⋅1
+2+ +n
n
+b (2)
由（1），（2）得
+f (
1
2
) ≤
f (1) +f (2) + +f (n )
n
若函数f(x)为凸函数，如下图
+ 点P （
1
2
+ +n n
+, f (
1
2
+ +n n
) ）在f(x)上
设过P 点的切线方程为：y=ax+b 则
f (1
+2+ +n
n
) =a ⋅1
+2+ +n
n
+b （1）
∵f(x) 是凸函数，切线在函数图像上方
∴f (x 1) ≤a x 1+b ; f (x 2) ≤a x 2+b ; …; f (x n ) ≤a x n +b
∴
f (1) +f (2) + +f (n )
n
≤a ⋅1
+2+ +n
n
+b (2)
由（1），（2）得
+f (
1
2
+ +n n
) ≥
f (1) +f (2) + +f (n )
n
定理证明过程要结合图像形象理解，也便于掌握。下面证明均值不等式和高斯不等式。
+均值不等式：
1
2
+ +n n
≥n
⋅1
2
⋅ ⋅n （x 1, x 2, , x n ＞0）
证明：∵ y=lgx 是凸函数 ∴lg(1
+2+ +n
n
2
) ≥
lg(1) +lg(2) + +lg(n )
n
+ ∴lg(
1
+ +n n
) ≥lg x ⋅x
1
2
⋅ ⋅x n 即
+1
2
+ +n n
≥n
⋅1
2
⋅ ⋅n （x 1, x 2, , x n ＞0）
高斯不等式：证明：∵ y =
x +x
1
2
2
+ +x n
≤
1
1
x x
+
+
1
2
+ +
1
x
n
（x 1, x 2, , x n ＞0）
1
(x>0)是凹函数 x
1
1
2
∴
1
1
+x 2+ +x n ) ／n
≤
1
+ +n
1
n
即
x 1+x 2+ +x n
2
≤
1
1
x x
+
1
2
+ +
1
x
n
（x 1, x 2, , x n ＞0）
以上两个不等式的证明，非常简明，下面再举几个性质定理应用的例子。 例1 A 、B 、C 为三角形三内角，求证sinA+sinB+sinC≤
证明：∵A 、B 、C 为三角形三内角 ∴A+B+C=π A>0 B>0 C>0 又∵ y=sinx (0 ≤sin ∴ 33 33 2 ∴ sin A +sin B +sin C π ≤sin 即 33 SinA+sinB+sinC≤ 3 2 2 2 22 2n 1 x +x 2+ +x n ) ≤++ +例2 求证(1 n n 证明：∵ y =x 为凹函数 2 x +x 2+ +x n ) ≤++ + ∴(1 n n ++ +++ +x x x 12n 例3 求证( （k ∈N +） ) ≤ n n 证明：∵ y =x （k ∈N +）为凹函数 2 22 2n 1 2k 2k 2k 2 2k n 1 2k 2 x +x 2+ +x n ) ∴(1 n 2k ≤ 2k 1 +2+ +n n 2k 2k 通过以上例子，可以看出，关键在于找到合适的凹函数或凸函数，再用性质定理，问题可得解决。
凹凸函数的性质
1
李联忠
2
文丽琼
f(1)f(2)f(n)
n
f(1)f(2)f(n)
n
1 营山中学 四川营山 637700 2营山骆市中学 四川营山 638150
摘要：若函数f(x)为凹函数，则f(
1
2
n
n
)
若函数f(x)为凸函数，则f(1
2
n
n
)
从而使一些重要不等式的证明更简明。
中图分类号： 文献标识号： 文章编号：
高二数学不等式，教材上只要求学生掌握两个数的均值不等式，教材上的阅读材料中，证明了三个数的均值不等式，从而推广到多个数的情形。学有余力的学生，会去证多个数的情形。仿照书上去证，几乎不可能。下面介绍凹凸函数的性质，并用来证明之，较简便易行。
凹函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的下方，则函数f(x)叫做凹函数。如图（一）
凸函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的上方，则函数f(x)叫做凸函数。如图（二）
性质定理 若函数f(x)是凹函数，则
f(
1
2
n
n
)
f(1)f(2)f(n)
n
若函数f(x)是凸函数，则 f(x
1
x
2
n
x
n
)
f(x1)f(x2)f(xn)
n
证明：若函数f(x)是凹函数，如下图
点P（1
2
n
n
,f(
1
2
n
)）在f(x)上
n
设过P点的切线方程为：y=ax+b 则
xf(
1
x
2
n
x
n
x)a
1
x
2
n
x
n
b （1）
∵f(x) 是凹函数，切线在函数图像下方
∴f(x1)ax1b;f(x2)ax2b;…;f(xn)axnb ∴
f(1)f(2)f(n)
n
a
1
2
n
n
b (2)
由（1），（2）得
f(
x
1
x
2
n
x
n
)
f(x1)f(x2)f(xn)
n
若函数f(x)为凸函数，如下图
点P（
x
1
x
2
n
x
n
,f(
x
1
x
2
n
x)）在f(x)上
n
设过P点的切线方程为：y=ax+b 则
f(
1
2
n
n
)a
1
2
n
n
b （1）
∵f(x) 是凸函数，切线在函数图像上方
∴f(x1)ax1b;f(x2)ax2b;…;f(xn)axnb
∴
f(x1)f(x2)f(xn)
n
a
x
1
x
2
n
x
n
b (2)
由（1），（2）得
f(
1
2
n
n
)
f(1)f(2)f(n)
n
定理证明过程要结合图像形象理解，也便于掌握。下面证明均值不等式和高斯不等式。
均值不等式：1
2
n
n
xx
1
2
x （x1,x2,,xn＞0）
n
证明：∵ y=lgx 是凸函数 ∴lg(
1
2
n
n
)
lg(
)lg(1
2
)lg(
n
)
n
∴lg(
1
2
n
n
)lg
xx
1
2
x 即
n
1
2
n
n
xx
1
2
x （x1,x2,,xn＞0）
n
高斯不等式：证明：∵ y
x1
1x
2
x
2
x
n
1
x
1
1
x
2
1
x
（x1,x2,,xn＞0）
n
(x>0)是凹函数
1
1
1
∴
1
(x
1
x
2
2
x
n
)／n
xx
2
1
n
x 即
n
x
1
1
x
2
x
n
x
1
1
x
2
1
x
（x1,x2,,xn＞0）
n
以上两个不等式的证明，非常简明，下面再举几个性质定理应用的例子。 例1 A、B、C为三角形三内角，求证sinA+sinB+sinC≤
证明：∵A、B、C为三角形三内角
∴A+B+C=π A>0 B>0 C>0 又∵ y=sinx (0
sinAsinBsinC
3
sin
ABC
3
332
∴
sinAsinBsinC
3
sin
π3
即
SinA+sinB+sinC≤
332
2
例2 求证(
x1x2xn
n
2
)
21
22
n
n
2
证明：∵ y ∴(
x 为凹函数
2
x1x2xn
例3 求证(
n
x1x2xn
n
2k
)
x
21
x
22
n
n
2
2k
2k1
)
2k2
n
x （k∈
N）
n
2k
证明：∵ y
∴(
x （k∈N）为凹函数
2k
x1x2xn
n
)
x
2k1
x
2k2
n
x
n
2k
通过以上例子，可以看出，关键在于找到合适的凹函数或凸函数，再用性质定理，问题可得解决。
函数的凹凸性专题
一、函数凹凸性的定义
1、凹函数定义：设函数y =f (x ) 在区间I 上连续，对∀x 1, x 2∈I ，若恒有f (则称y =f (x ) 的图象是凹的，函数y =f (x ) 为凹函数；
2、凸函数定义：设函数y =f (x ) 在区间I 上连续，对∀x 1, x 2∈I ，若恒有f (则称y =f (x ) 的图象是凸的，函数y =f (x ) 为凸函数.
x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)
) <，22
x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)
) >，22
二、凹凸函数图象的几何特征 1、形状特征
如图，设A 1, A 2是凹函数y =f (x ) 图象上两点，它们对应的横坐标x 1, x 2(x 1 A 2(x 2, f (x 2)) ，过点 x 1+x 2 作x 轴的垂线交函数图象于点A ，交A 1A 2于点B . 2 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点A 1与A 2之间的部分位于弦A 1A 2的下方； 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点A 1与A 2之间的部分位于弦A 1A 2的上方. 简记为：形状凹下凸上. 2、切线斜率特征 凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率k 随x 增大而增大即y =f (x ) 的二阶导数f ' ' (x ) ≥0； 凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率k 随x 增大而减小即y =f (x ) 的二阶导数f ' ' (x ) ≤0. 简记为：斜率凹增凸减. 3、增量特征 设函数g (x ) 为凹函数，函数f (x ) 为凸函数，其函数图象如图所示. 当自变量x 依次增加一个单位增量∆x 时，函数g (x ) 的相应增量∆y 1, ∆y 2, ∆y 3, 越来越大；函数f (x ) 的相应增量∆y 1, ∆y 2, ∆y 3, 越来越小. 由此，对x 的每一个单位增量∆x ，函数y 的对应增量∆y i (i =1, 2, 3, ) 凹函数的增量特征是：∆y i 越来越大；凸函数的增量特征是：∆y i 越来越小. 三、常用的不等式 a +b 2a 2+b 2 ) ≤1、二次函数f (x ) =x 中，(； 22 2 11 +12 2、反比例函数f (x ) =(x >0) 中，≤； x a +b 2 3、指数函数f (x ) =a (a >0, a ≠1) 中，a x x +y 2 a x +a y ； ≤ 2 x +y log a x +log a y ≤； 22
一、曲线的凹凸性及拐点
引导学生观察下列图象
a 凹弧 b x
凸弧
1.定义1 设函数yfx在区间a,b内可导，
（1）若曲线yfx位于其每点切线的下方（割线位于曲线的下方），则称曲线yfx在区间a,b内是凸的，区间a,b称为函数fx的凸区间.
（2）若曲线yfx位于其每点切线的上方（割线位于曲线的上方），则称曲线yfx在区间a,b内是凹的，区间a,b称为函数fx的凹区间.
2.定义2 曲线上凹弧和凸弧的分界点称为曲线的拐点.
3.定理1 设函数fx在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内具有二阶导数，
（1）若在a,b内，fx0，则曲线yfx在区间a,b内是凸的.
（2）若在a,b内，fx0，则曲线yfx在区间a,b内是凹的.
4.求曲线凹凸区间和拐点的步骤如下：
（1）求出函数的一阶导数fx，再求二阶导数fx；
（2）求出二阶导数fx0的点，以及fx不存在的点；
（3）考察每个点处的左、右二阶导数是否异号，从而确定哪些点处取得拐点；
（4）求出每个二阶导数变号点处的函数值，从而得到曲线的全部拐点. 例1、讨论曲线yx33x29x5的凹凸性，并求其拐点.
例2、讨论曲线yx42x31的凹凸性，并求其拐点.
二、函数曲线的曲率
曲线的下凸和上凸说的是曲线的弯曲方向，而曲线的曲率说的是曲线的弯曲程度。直线段没有弯曲，所以认为它的曲率为0. 一般情形下，如图1，弧 AB的全曲率规定为起点A处切线方向与终点B处切线方向的偏
AB的全曲率相同，但前者显 差. 可是，弧CD的全曲率与弧
然比后者弯曲得更厉害一些。这就是说，弧的弯曲程度与弧本身
的长度有关。因此，就像测量物理量或几何量时先确定一个单位
那样，把单位长度弧的全曲率取作测量弧时曲率的单位，而把长
度为s的弧的全曲率同弧长s的比值/s，称为该弧的 平均曲率。它有点像质点运动的平均速度。像定义质点运动的瞬时速度那样，把
极限
d KlimlimABA
ss0sds
AB在点A处的曲率 (其中为弧AB的全曲率, 定义为弧
s为弧AB的长度)。
对于半径为R的圆周来说 (图2)，由于sR，
所以圆周上任一点处的曲率都相等，且曲率为
Klimd1s0sdsR (半径的倒数)
对于一般的弧来说，虽然弧上各点处的曲率可能不尽相同，但是当弧上点A处的曲率KA0时，我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧在点A相切 (即有公切线)且半径RA1/KA. 这样的圆周就称为弧上点A处的曲率圆；而它的圆心称为弧上点A处的曲率中心。如图3中那个抛物线在原点O或点A(1,a)
K的曲率圆。请注意，因为曲率有可能是负数(在实际应用中，有时把绝对值A称
为曲率)，而曲率半径要与曲率保持相同的正负号，所以曲率半径也有可能是负数。保留曲率或曲率半径的正负号，以便说明曲线的弯曲方向。
对于用方程yy(x)(axb)表示的弧(图4)，由于
y(x)tan， arctyaxn
所以，若有二阶导数y(x)，则
dy(x)
1y(x)2dx
Ax,y(x)注意到dsx，则弧上点处的曲率为
K
dy(x)ds1[y(x)]2 (曲率公式)
当y(x)0时，曲率半径为
11[y(x)]RKy(x) 232 (曲率半径公式)
其中，y(x)0时，曲率K和曲率半径R都大于0，说明曲线弧向上弯曲或曲率圆在弧的上方(图4)。反之，说明曲线弧向下弯曲或曲率圆在弧的下方。例如图
2yax11中那个抛物线，因为y2ax,y2a，所以
K
(曲率) 2a1(14a2x2)2R(14a2x2)2, (曲率半径) K2a
R1
2a. 点A(1,a)处的曲显然，原点O(0,0)处有最大曲率K2a，最小曲率半径
率和曲率半径依次为
K2a(14a2)2
R(14a2)32， 2a
可见，抛物线上离顶点越远，曲率越小，而曲率半径越大。