第二章 函数
一、函数的定义域： 1．
已知y =f (x ) 的定义域为[1,2]，求y =f (3x -1) 的定
义域 2．
已知函数y =f (log2x ) 的定义域为[1,2]，求y =f (x )
的定义域 二、函数的解析式： 1． 已知f (x ) =x 2+1，求f (2x +1) 2． 已知f (x +1
) =x 2+
1
x x 2
，求f (x ) 3． 已知f (2x +1) =x 2
+1，求f (x )
4． 已知f (x ) 为一次函数，f [f (x )]=4x -1，求f (x ) 5． 已知f (x ) +2f (1-x ) =x ，求f (x )
6． 函数f (x ) =⎧⎨x 2-2x , x ≥0
(x ), x <0为奇函数，求g (x )
⎩g 7．
已知函数f (x ) =a log 1
2x -b log 3x +3，若f (
2010
) =4，则f (2010)的值为
三、函数的值域和最值：定义域优先
★ 初等函数的值域，如一次函数，二次函数，幂函数，
反比例函数，对勾函数，指对函数，利用函数的图
像或单调性来解决
★ 复合函数1）先求定义域；2）分解为内外函数；3）内函数的值域；4）内函数的值域即外函数的定义域，进而求得值域。如
：y =；
y =log 0.3(x 2+4x +5)
★ 换元法（注：新元的范围）：
（1）y =4x +3∙2x +1； （2）y =log 22a x +log a x -3 （3）
y =sin 2x -3cos x +2
； （4）
y =sin x +cos x +sin x cos x ；
（5
）y =x （6
）y =x 换元）
★ 分离常数法：（1）y =3-x 1-x 2
2x +1(x ≥0) ；（2）y =1+x
2
; (3)y =1-sin x x 2-x +1
1+sin x ; (4)y =x 2+x +1
★ 反函数法（或反解）（1）y =1-x x +1(x ≥0) ；（2）y =1-x 2
1+x
2
; (3)y =
1-sin x
1+sin x
★ 判别式法：（1）y =x 2-x +1
x 2+x +1
★ 均值不等式：y =2x +2-x
★ 单调性法：（1）y =ax +b
x
a , b 同号可利用对勾函数
的单调性，不同号则单调）； （2）
y =-5x -sin x , x ∈[-1,1]；
★ 导数法（函数的单调性）：函数f (x ) =x 3-3x +1在区
间[-3,0]上的值域为
★ 数形结合：（1）y =sin x
2+cos x
；（2）y =x -3±x +1
（3
）y =
★ 二元函数的值域或最值：
1
思路一：均值不等式，如：已知a >0, b >0，且ab =a +b +3，求a +b 的最小值。
思路二：减元思想，如： 已知实数x , y 满足2x +y =8，当2≤x ≤3时，求y x
的最值 思路三：线性规划问题，如：已知x , y 满足约束条件
⎧⎪
x ≥1⎨x -3y ≤-4， ⎪⎩
3x +5y ≤30（1）求z =2x -y 的最大值和最小值；（2）若目标函数
z =ax +y 取得最大值的最优解有无穷多个，求a 的值；（3）
求z =
y +5
x +5
的取值范围；（4）求z =x 2+y 2的取值范围 1.
已知函数y =M ，最小值为m ，
则m
M
的值为 （平方，三角换元，数形结合）
2. y =x
3. y =x 角换元法）
4. y =，x ∈[0,5]（单调性法）
5.
y =
x
（换元） 6. 实数x , y 满足x 2+y 2=1， 1）z =x +y ；2）z =xy ；3）
z =
y -2
x -3
；4）x 2+2x +y 2求z 的范围 四、函数单调性的应用：
判断： ①
定
义
↑
[f (x 1) -f (x 2)](x 1-x 2) >0
；↓
[f (x 1) -f (x 2)](x 1-x 2) <0
②复合函数：同增异减 ③导数:↑f '(x ) >0 ↓
f '(x ) <0
★ 常用结论：（1）↑+↑=↑，↓+↓=↓；（2）f (x ) 与-f (x )
在对应区间上单调性相反
1．函数f (x ) 在(0,2) 上单调递增，f (x +2) 为偶函数，比较f (1),f (5
), f (72
2
) 2．（1
）求函数y =
2的值域
（2）函数f (x ) 对于任意的x , y ∈R 满足
f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ，若x >0，则f (x ) <0，f (1)=-2
3
，求
f (x ) 在[-3,3]上的值域
3．定义域为(0,+∞) 的函数满足f (xy ) =f (x ) +f (y ) 且
f (1
3
) =-1，当x >1时，f (x ) >0（1）求f (1)； （2）f (x ) -f (1
x -2
) ≥2
4．（1）f (x ) =x 3-2x 2+kx +1的单调减区间为(1
3
,1) ，求k 的
值
（2） f (x ) =x 3-2x 2+kx +1在区间(13
,1) 上单调递减，求k 的范围
五、函数的对称性
1、奇偶性：定义域关于原点对称
奇函数：（1）f (x ) +f (-x ) =0 (2)图像关于原点对称
（3）关于原点对称的区间单调性相同 （4）奇函
数在x =0处有定义，则f (0)=0 （5）f (x +a ) 是奇函
数⇔f (x ) 关于(a ,0) 对称
偶函数：（1）f (x ) =f (-x ) (2)图像关于y 轴对称
（3）关于原点对称的区间单调性相反 （4）y =f (x ) 是偶函数
（5）f (x +a ) 是偶函数⇔f (x ) 关于x =a 对称
2、轴对称
f (x ) =f (2a -x ) ⇔f (a +x ) =f (a -x ) ⇔f (x ) 关于x =a 对
称
推广： （1）f (a +x ) =f (b -x ) ⇔f (x ) 关于x =
a +b
2
对称 （2）函数y =f (x +a ) 与y =f (a -x ) 关于y 轴对称；
函数y =f (x +a ) 与y =f (b -x ) 关于x =b -a
2
3、中心对称
f (x ) =-f (2a -x ) ⇔f (a +x ) +f (a -x ) =0⇔f (x ) 关于(a ,0)
对称
推广： f (a +x ) +f (b -x ) =0⇔f (x ) 关于(
a +b
2
,0) 对称 f (a +x ) +f (a -x ) =2b ⇔f (x ) 关于(a , b ) 对称 结论：（1）函数y =f (x ) 与y =-f (-x ) 关于原点对称；
（2）函数y =f (x ) 与y =-f (x ) 关于x 轴原点对称；
（3）函数y =f (x ) 与y =f -1(x ) 关于直线y =x 对
称；
（4）函数y =f (x ) 与y =-f -1(-x ) 关于y =-x 原点
对称；
2
六、函数的周期性 定义域不能有限
（1）定义：f (x ) =f (x +T ) （T ≠0）⇔T 为周期⇒KT 为周期
（2）周期为2a ：
f (x +a ) =f (x -a ) ，f (x +a ) =-f (x ) ，f (x +a ) =
1
f (x )
，f (x +a ) =-
11+f (x ) 1-f (f (x ) ，f (x +a ) =f (x ) -1，f (x +a ) =x )
f (x ) +1
（3）函数f (x ) 同时关于x =a , x =b 对称，则T =2b -a （4）函数f (x ) 同时关于点(a ,0),(b ,0) 对称，则T =2b -a
（5）函数f (x ) 同时关于x =a ,(b ,0) 对称，则T =4b -a 七、反函数
（1）求反函数：①求原函数的值域；②反解；③对调x , y ，注明定义域
（2）原函数与反函数的图像关于y =x 对称，即P (a , b ) 在
y =f (x ) 的图像上，则点P (b , a ) 在y =f -1(x ) 的图像上，即
f (a ) =b ⇔a =f -1(b ) 。f [f -1(x )]=x , f -1[f (x )]=x
注：y =f (x ) 与x =f -1(y ) 的图像在同一坐标系下相同 （3）函数y =f (x ) 与y =f -1(x ) 具有相同的单调性；奇函数若有反函数则反函数一定还是奇函数 八、图像变换
1、平移变换①左右平移y =f (x ) −−−−
左加右减
→y =f (x ±a )(a >0) ②左右平移y =f (x ) −−−−
上加下减
→y =f (x ) ±a (a >0) ③向量平移y =f (x ) 的图像按向量a =(h , k ) 平移后，得
y -k =f (x -h )
2、伸缩变换①横向伸缩
y =f (x ) −−−−−−纵不变，横变为
1
ω
→y =f (ωx )(ω>0)
②横向伸缩
y =f (x ) −−−−−−横不变，纵变为A 倍→y =Af (x )(A >0)
3、翻折变换y =f (x ) →y =f (x ) ：下翻上
4、对称变换y =f (x ) →y =f (x ) ：保右去左再对称
九、导数
1、导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，瞬时速度，边际成本(x n
)' =nx
n -1
，(C )' =0，
[f (x ) +g (x )]'=f '(x ) +g '(x ) ，[Cf (x )]'=Cf '(x )
应用导数求曲线的切线方程，注意切点在不在曲线上，已知点是不是切点 2、单调性：
在一个区间上f '(x ) ≥0（不恒为0）⇔f (x ) 在此区间上单调递增
在一个区间上f '(x ) ≤0（不恒为0）⇔f (x ) 在此区间上单调递减
3、极值：导数为0且“左正右负”⇔f (x ) 取得极大值；导数为0且“左负右正”⇔f (x ) 取得极小值 求极值：①求导数 ②导数为零的根 ③导数大于0和小于0的解集 ④求出极值 也可列表
注意：给出极值的条件时，一定既要考虑导数为0，又得考虑验证“左正右负”（ “左负右正”）
4、最值：f (x ) 在闭区间上的最大值是在极大值与端点值中的“最大值”； f (x ) 在闭区间上的最小值是在极小值与端点值中的“最小值”
求最值：先求导数为0的点，比较定义域的端点值和导数为0的点对应的函数值的大小，也可列表
第三章 数列
一、等差数列
1）定义：n ≥2, a n -a n -1=d （常数）或n ≥1, a n +1-a n =d (常数)
例 在数列{a 2a n
n }中，已知a 1=1, a n +1=
a 2
，证明数列n +{1
a 成等差数列 n
2）通项：a a n -a m
n =a 1+(n -1) d =a m +(n -m ) d =pn +q d =
n -m
{a n }成等差数列⇔ a n =pn +q
3）前n 项和S n (a 1+a n ) n =2
=na (n -1) 1+n 2
d =An 2+Bn
{a 2n }成等差数列⇔S n =An +Bn
4）等差中项 a , b 的等差中项A =
a +b
2
，即2A =a +b 【注】 任两数存在等差中项且唯一
{a a 1+a
n +1n }成等差数列⇔a n =n -2
（n ≥2）
5) 性质：①下角码成等差数列，对应项成等差数列； ②m +n =p +q ⇒a m +a n =a p +a q
3
③S k , S 2k -S k , S 3k -S 2k 成等差数列； ④{S n 成等差数列，首相为a d n 1，公差为2
； ⑤n 为奇数，S nd
n =na 中，S 奇-S 偶=a 中；n 为偶数，S 偶-S 奇=2
⑥ {a a
n }是等差数列，则{a n }是等比数列
⑦数列{a n },{b n }成等差数列，数列{Aa n +Bb n }成等差数列 二、等比数列 1）定义：n ≥2, a n
a =q (q ≠0, a n ≠0) （常数）n -1
或n ≥1,
a n +1
a =q (q ≠0, a n ≠0) n
练：数列{a 1n }中，a 1=1, a n =2
a n -1+1(n ≥2) ，求证{a n -2}为等比数列
2）通项:a n =a 1q n -1=a -m n m q n =cq (c =a 1q
≠0, q ≠0常数)
{a n n }成等差数列⇔a n =cq (c =
a 1
q
≠0) ⎧na 1,
q =13）前n 项和S ⎪
n =⎨⎪a 1(1-q n ) n
【注】 公比q 是否⎩
1-q
=c -cq , q ≠1为1讨论
4）等比中项：a , b
的等比中项G =即G 2=ab 【注】 仅a , b 同号且ab ≠0时存在等比中项且不唯一
{a n }成等比数列⇔a 2n =a n -1a n +2（n ≥2）
5) 性质：①下角码成等差数列，对应项成等比数列； ②m +n =p +q ⇒a m ∙a n =a p ∙a q
③S k , S 2k -S k , S 3k -S 2k 成等比数列，公比为q k （q ≠-1）； ④n n 为奇数，P n
n =a 中
，P 奇/P 偶=a 中
；n 为偶数，P 偶/P 奇=q 2
⑤{a n }是等比数列，则{loga n }是等差数列
⑥数列{a n },{b n }成等比数列，数列{a n ∙b n }成等比数列，
数列{a 2
1
n a 是等比数列
n
三、求通项
1、观察法就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n 的内在联系，归纳出数列的通向公式
2、 定义法等差数列或等比数列的定义 3、 公式法 已知S n =f (a n ) 或S n =f (n )
则a ⎧⎨S 1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(n =1)
n =⎩S n
-S n -1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(n ≥2) 注：对n 分类讨论，
但若能合写时一定要合并．
4、 由递推公式求数列通项法
对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 1） 逐差法（或逐商法）
递
推
公
式
为
a n +1=a n +f (n )
（或
a n +1=a n f (n )
）
。 ， 例 已知数列{a 中a 11
n }1=2, a n +1=a n +4n 2-1
，求{a n }
的通项公式
例 已知数列{a }满足a 2n
n 1=3, a n +1=
n +1
a n ，求a n
的通向公式。 2） 构造法
① 分式取倒数法 递推公式为a =pa n
n +1qa n +s p,q,s,
为常数）。
例 已知数列的{a n }首项a 1=3
5, a n +1
=3a n 2a ，求a n n +1
②待定系数法 递推公式为（其中p ，q 均为常数，
） 例 已知数列
中，
，求。
③递推式：a n +1=pa n +f (n )
例 设{a n }：a 1=4, a n =3a n -1+2n -1, (n ≥2) ，求
a n .
提示：a n +kn +b =3[a n -1+k (n -1) +b ],(n ≥2)
例 递推公式为a n +1=pa n +q n （其中p ，q 均为常数，
(pq (p -1)(q -1) ≠0) ），在原递推公式两边同除以q n +1，得：
a n +1q
n +1
=p q ∙a n 1
q n +q 引入辅助数列{b a n n }（其中b n =q n
），得：b n +1=p 1
q b n
+q 再应用类型6的方法解决。
结论：{ka n -l }为等比数列，则{la n -k }为等比数列 例 已知数列{a 5
1n }中，a 1=, a n +1=a n +(1632
) n +1，求a n 。 四、数列求和
4
1、 公式法
（1） 等差数列和等比数列求和公式
（2） 正整数列求和公式： 1+2+3+... +n =n (n +1)2
（3） 正整数平方求和公式：
12+22+32+... +n 2=
n (n +1)(2n +1)
6
（4） 正整数立方求和公式：13+23+33+... +n 3=⎡⎢n (n +1)⎤
2
2⎥⎦
.
⎣2、 分组求和法 通项结构：通项为几个等差、等比
或常见的数列的和与差。分别求和再合并结果。 3、
错位相减法 通项结构：{a n }是等差数列，{b n }
是等比数列(q ≠1)，数列{a n b n }的前n 项和用错 位相减法 4、
裂项相消法 通项结构：分式，分母为等差数列
的两项相乘，分子为常数。
设{a n }是公差为d 的等差数列(d ≠0)，{b n }满足：
b 1
a ，则b ⎛11⎫n =
11n =n a n +1a = -⎪ n a n +1d ⎝a n
a n +1⎭常见的裂项公式：
(1)1n (n +1) =1n -
1
n +1
(2).
1n (n +k ) =1k (1n -1
n +k
)
(3). 1111
(2n -1)(2n +1) =2(2n -1-2n +1
)
(4).
1n (n +1)(n +2) =12[1n (n +1) -1
(n +1)(n +2)
]
(5)
（6）
=1a -b a n =
f (
n )
（7）a n =n ∙n ! =(n +1)! -n ! （8）
a n 11
n =
(n +1)! =n ! -
(n +1)!
5、 倒序求和法
通项的结构特征：如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，有公因式可提，并且剩余的项的和可求出来，这一求和的方法称为倒序求和法. 例：设：f (x )=
求f (-5)+f (-4)+... +f (0)+f (1)+... f (5)+f (6)=? 提示：根据结构研究f (x )+f (1-x ), 再利用倒序求和法。
第四章
三角函数
一、 终边相同的角，轴上角，象限角的表示，倍半角 二、弧长公式和扇形面积公式，π=180︒
三、三角函数的定义和符号及特殊角的三角函数，三角函数线
α为锐角⇒sin α<α sin15︒=cos75︒= 4 sin 75︒=cos15︒= 4 tan15︒=cot 75︒=2tan75︒=cot15︒=2sin18︒=1 4 四、同角三角函数基本关系式，诱导公式，和差公式和二倍角公式 ，辅助角公式 常用技巧：切割化弦 1的代换 化简原则：统一角，统一三角函数名， 1=sin 2 x +cos 2 x =sec 2 x -tan 2 x =csc 2 x -cot 2 x =tan x cot x =tan π 4 =cos0=sin π 2 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限（符号：一全正，二正弦，三两切，四余弦），化简原则：负化正，大化小，化到锐角为终了 sin 2α=2sin αcos α cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2αtan 2x =2tan x 1-tan 2 x (sinα±cos α) 2 =1±sin 2α 1 sin αcos α =tan α+cot α 五、三角函数的图像和性质 1、正弦函数，余弦函数，正切函数的图像 2、三角函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性 y =sin 2x , y =sin x 的周期都是π，y =sin x ±cos x 的周期 5 都是 π 2 ，y =tan x 的周期是π，y =cos x 的周期是2π，y =sin x 2, y =sin x , y = 例 求下列函数的值域 ：y =2sin(x +π), x ∈[0,π 3 2 ] y =sin 2x +cos x y =sin x +cos x +sin x cos x y = 2-sin x 22+sin x y =-sin x 2+cos x 例 求y =sin(π 3 -2x ) 的单调区间 六、三角形中的三角函数 1、A +B +C =π sin(A +B ) =sin C cos(A +B ) =-cos C sin A +B 2 =cos C 2、任意两边之和大于第三边，任意两边的差小于第三边 a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A 3、正余弦定理和三角形面积公式 S 12底⨯高=12ab sin C =1 ABC = 2 (a +b +c ) ∙r （r 为内切圆半径） 4、判断三角形形状： ①锐角△：任意两角和大于π 2 ，sin A >cos B ； ②直角△:勾股定理; ③钝角△； ④等腰（边）△：a =b ⇔A =B ⇔sin A =sin B 七、反三角 （1）arcsin x ,arccos x ,arctan x 的范围分别是[-ππ 2, 2 ], [0,π],(- π2, π 2 ) （2）异面直线所成的角，线面角，二面角，向量的夹角的范围分别是(0,π],[0,π 2 2 ],[0,π],[0,π]，倾斜角，到角，夹 角的范围分别是[0,π),[0,π),(0,π 2 ] 第五章 向量 一、向量运算的几何形式和坐标形式 三角形法则，平行四边法则 二、概念：0, 单位向量（与a 共线的单位向量是±a a ， 特别：( a b a +b ) ⊥( a b a -b ) ） 、平行（共线）向量、相等向量、相反向量、向量垂直及投影（a 在b 上的投影是 a cos = a ∙b b = ） 三、a ，b 为非零向量， a //b ⇔a =λb ⇔(a ∙b ) 2=(a ∙b ) 2⇔x 1y 2=x 2y 1，0//a ， a ⊥b ⇔a ∙b =0⇔a +b =a -b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0 四、平面向量基本定理。三点共线：A , B , C 三点共线 ⇔AB //AC ；PA =λPB +μPC ，A , B , C 三点共线⇔λ+μ=1，特别地，PB +PC =2PA ⇔A 是B , C 的中点 五、向量的数量积：a ∙b =a b cos θ= x 1x 2+y 1y 2， a 2 =(a ) 2=a ∙a ，cos θ= a ∙b a b = ， ⇔a ∙b =0且a , b ≠0；为钝角⇔a ∙b <0且a , b 不反 向 a -b ≤a ±b ≤a +b 对比a -b ≤a ±b ≤a +b 六、定比分点坐标公式，中点坐标公式，重心坐标公式 PA +PB +PC =0⇔P 为ABC 的重心； PA ∙PB =PB ∙PC =PC ∙PA ⇔PA ∙CB =PB ∙AC =PC ∙AB =0⇔P 为ABC 的垂心； λ( AB AB + AC AC )(λ≠0) 所在的直线过ABC 的内心； CB PA +AC PB +AB PC =0⇔P 是ABC 的内心。 第六章 不等式 一、比较大小 作差比较，作商比较，函数的性质，综合法，分析法，放缩法 二、不等式的性质 注：不等式两边同乘以或除以一个数时，数为0 ，正数还是负数 三、重要不等式和均值不等式 a 2 +b 2 ≥2ab ；a +b 2 ≥ a +b 2≥2 a +b a , b , c ∈R , a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ac （当且仅当a =b =c 时取 等号） 四、解不等式 一次，二次不等式（结合二次函数图像及性质，二次 方程），高次不等式（标根穿线法，奇过偶不过），分式不等式(注：移项通分，分母不为零) ，指数和对数 不等式（函数的单调性底数的讨论），根式不等式和绝 6 对值不等式（去绝对值） 不等式恒成立问题，分离参变量，转化为最值问题 第七章 直线和圆 一、直线的倾斜角和斜率 方向向量（a =λ(1, k ) 或λ(0,1)） 二、直线方程 注：各种形式不能表示的 直线 l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1（k 1, k 2都存在时）⇔A 1A 2+B 1B 2=0 l 1//l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2（k 1, k 2都存在时）⇔A 1B 2=B 1A 2且 AC 12≠C 1A 2 l 1, l 2重合⇔k 1=k 2且b 1=b 2（k 1, k 2都存在时）⇔A 1B 2=B 1A 2且AC 12=C 1A 2 或B 1C 2=C 1B 2 直线系：与直线l :Ax +By +C =0平行的直线： Ax +By +C 1=0 与直线l :Ax +By +C =0垂直的直线：Bx -Ay +C 1=0 过点P (x 0, y 0) 与直线l :Ax +By +C =0平行的直线： A (x -x 0) +B (y -y 0) =0 过点P (x 0, y 0) 与直线l :Ax +By +C =0垂直的直线： B (x -x 0) -A (y -y 0) =0 过定点P (x 0, y 0) 的直线为y -y 0=k (x -x 0) 或x =x 0 过l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的直线： A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2) =0 三、到角，夹角，点到直线和平行线间的距离公式 四、线性规划：截距，斜率，距离，求参，最优解无穷多个 五、圆 1、圆的方程：标准方程，一般方程（注：D 2+E 2-4F >0）， 参数方程（本质三角换元：sin 2x +cos 2x =1） 直径方程：(x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0 2、直线与圆的位置关系： 相交（d 中点，中点弦问题 相切（d =r ） 求切线，切线长定理，切割线定理，弦切角定理，切点在圆上，切点在圆外 特别地，过圆x 2 +y 2 =R 2 上一点P (x 0, y 0) 圆的切线方程 是：xx 20+yy 0=R ; 相离（d >r ） 圆上点到直线距离的最值 例 若直线y =x + b 与曲线y =有公共点，则b 的取值范围 第八章 圆锥曲线 一、圆锥曲线的定义： 椭圆：MF MF 1+MF 2=2a (2a >2c ) d =e (0 双曲线：MF 1-MF 2=2a (2a <2c ) MF d =e (e >1) 焦半径：MF ≥a -c 或焦半径：MF ≥a +c 抛物线： MF d =e (e =1) 焦点弦的性质： AB =x p =2p 1+x 2+sin 2θ ；S AOB =p 22sin θ ；1+1=2 ；以AB 为直径的圆与准线相切； AF BF p x =p 21x 24 , y 1y 2=-p 2 1、椭圆C ：x 225+y 2 16 =1，定点A （-2，2）F 为左焦点， P 为椭圆上一点，求PA +PF 的最小值。 2、双曲线C ：x 2 -y 2 3 =1，A （3，2），B （2，0），P 为 双曲线上一点，求PA + 1 2 PB 的最小值。 3、双曲线x 2y 2 a 2-b 2=1的左、右焦点分别为F 1, F 2，双曲 线上一点P 满足：PF 1⋅PF 2=0 +=4a ，求双曲线的离心率 4、已知椭圆x 225+y 2 9 =1，直线l :4x -5y +40=0。椭圆上 是否存在一点，使它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？（可用参数方程，可用求切线方法） 二、直线与圆锥曲线（位置关系，求切线，弦长，弦中点，中点弦） 1、直线与圆锥曲线相交时必须满足≥0，注意直线与双曲线，直线与抛物线相交可能只有一个公共点 2、直线方程代入双曲线方程时，注意二次项系数为零时得到渐近线斜率 7 3、重视求曲线方程的方法（待定系数法，定义法，直接法，参数法，相关点法 ） 4、在解决与圆锥曲线的综合题中，常借助“平面几何性质”数形结合（如角平分线的双重身份）、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想” 化 整为零处理、“求值构造等式，求变量范围构造不等式” 第九章 立体几何 一、证明位置关系. 1. 线线平行 线面平行 面面平行 ⎧⎪（⎧ ⎪⎪ 1）定义：共面且不相交（⎪⎪2）判定定理：（注：共面） ⎪⎪⎪ ⎪ （3）平行公理:ab,b c ⇒a c （4⎪线线平行⎪⎨★）特殊几何体：中位线，⎪ ⎪★（5）线面平行，线线平行⎪ ⎪（6）面面平行，线线平行⎪⎪⎪ ⎪（7）垂直于同一直线的直线⎪⎪⎪ ⎩（8）向量平行：a b ⇔a =λb ⎪平行⎪⎧（1）定义：无公共点⎨线面平行⎪⎨★（2）判定定理：线线平行 ⎪⎪ ⎪⎩★ （3）面面平行，线线平行⎪⎪⎧（1）定义：两平面无公共点⎪ ⎪ （2⎪面面平行⎪⎨★）判定定理：线面平行⎪ （⎪3）垂直于同一直线⎪⎪（⎩4）平行于同一平面 ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎩ 2. 线线垂直 线面垂直 面面垂直 ⎧⎪⎧★（1）线面垂直，线线垂直⎪⎪ （2）三垂线定理及逆定理⎪⎪★ ⎪线线垂直⎪⎨（3）勾股定理：a 2+b 2=c 2⎪⎪（4）特殊几何体：等腰⎪⎪中线⎪⎪（⎩5）向量垂直：a ⊥b ⇔a b =0⎪⎪ ⎪ ⎧（1）定义：垂直于所有直线⎪⎪⎪★（垂直⎪⎪⎪⎪ 2）判定定理：线线垂直⎨线面垂直（⎨3）两平行线的一条垂直平面⎪⎪（4）垂直于平行平面中的一个⎪⎪ ⎪⎪⎩★（5）面面垂直，线面垂直⎪⎪ ⎪面面垂直⎧定义：直二面角⎪⎨⎪⎩★判定定理：线面垂直 ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎩ 二、求角 1. 线线角（两异面直线直线所成的角） 注范围：⎛ π ⎤ ⎝ 02⎥⎦ ①定义法： 步骤：⑪作角（利用中点、等分点或端点做平行线）（2）证明(平行关系，并指出所求角) （3）求角：在三角形中利用余弦定理 （4）答：指出所求角的大小 ②向量法： cos a , b = a b a b 2. 线面角 说明：①直线在平面内或直线与平面平行，线面角为零 ②直线与平面垂直，线面角为90︒ ③斜线与平面所成的角范围是：(0,π 2 ) ① 求斜线与平面所成的角步骤： ⑪作角并证明：找到斜线上除斜足以外的点在平面内的射影（即垂足），连结斜足和垂足，指出所求 ⑫求角：在直角三角形中，用三角函数 ⑬答：指出所求角的大小 找射影位置的方法：在三棱锥P -ABC 中，P 在平面 ABC 内的射影为H ， 1） PA =PB =PC ⇔PA , PB , PC 与平面ABC 所成的角 相等⇔H 为ABC 的外心 2） 斜高相等⇔三侧面与底面所成的角相等⇔H 为 ABC 的内心 3） 对棱垂直⇔H 为ABC 的垂心；PA , PB , PC 两两 垂直⇒H 为ABC 的垂心 4） 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相 等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线 上 过一个角的顶点的斜射线与这个角的两边的 夹角相等，斜线在角所在的平面内的射影是角的平分线 5） 找一点在一个平面内的射影就是找过此点的平 面和已知平面垂直（面面垂直，线面垂直） 8 ② 向量法： 步骤：⑪求出平面的法向量n ⑫求出斜线上的向量与法向量所成的角cos a , n =a n a n =m ⑬斜线与平面所成 的角为arcsin m ③ 求出斜线上一点P 到平面的距离h ，求出点P 与斜足 的距离l ，则线面角的正弦为h l ④ 三余弦定理（经常用来求线面角和线线角） 3. 面面角 注范围：[0, π] 二面角大小的求法：（关键是找到二面角的平面角） 步骤：作、证、求、答 ① 定义法作平面角：等腰三角形或全等的三角形，一个等腰另一个直角， 在二面角的棱上取点，过这点在两个半平面内分 别作棱的垂线构成平面角 ② 垂面法作平面角：作棱的垂面与两个半平面的交线构 成平面角 ③ 垂线法作平面角：过二面角的一个面内的一点P 向另 一平面作垂线，垂足为O ，过O （或P ）作棱的垂线， 垂足为H ，连结PH ，则∠PHO 为二面角的平面角 ④ 射影面积法：cos θ= S 射S 作棱时，注意平行线或相 交的交点 ⑤ 向量法：设平面α与平面β的法向量分别为m 和n ， 则二面角与m ，n 的夹角θ相等或互补。 三、距离问题 1．点到平面的距离 1）点与它在平面上的射影间的距离 2）平面α的法向量为n ，点P 是平面α外的一点，点M 为平面α内任意一点，则点P 到平面α的距离d 就是MP 在向量n 方向上射影的绝对值，即d = n MP n 3）等体积法和转化法（不断地转化点面、线面、面面距离的形式） 2. 直线和平面的距离，平面和平面的距离 3. 异面直线的距离 ①找公垂线 ② 转化为其中一 线到过另一条线且与第一条线平行的平面的距离 在证明计算过程中常运用转化思想，将具体问题转 化为特殊几何体（如三棱锥，正方体，长方体，三棱柱， 四棱柱）中的问题。 在长方体中 ：对角线长l ， cos 2 α+cos 2 β+cos 2 γ=2（或1） 四、球 体积：V =4 πR 2，表面积：S =4πR 23 球的 半径，球心截面距，小圆半径构成直角三角形： d 2=R 2-r 2 球面距离：求球心角，球面上两点之间的 弦长 第十章 排列组合 二项式定理 一、排列组合 知识回顾：分类计数原理，分步计数原理，排列，组合，二项式定理 常见解题策略：①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列组合混合问题先选后排；④正难则反，等价转化；⑤相邻问题捆绑处理；⑥不相邻问题插空处理；⑦定序问题除法处理；⑧分排问题直排处理；⑨“小集团”排列问题先整体后局部；⑩构造模型 分类与分步 1．将3封不同的信，分别投入4个邮筒，有 种不同的放法？ 2．将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同 一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用， 求不同的染色方法总数。 3. 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4 与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起 组成三位数，共可组成 个不同的三位数 4．72的正约数有 个 5. 用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位 数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字 1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位， 数字6不在千位。 9 排列问题： 1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法 2. 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法 3. 若把英语单词“error ”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现错误的种数是 种 4. 一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人， 第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的 安排方案共有 种？ 5．三个人坐在一排8个座位上，若每个人左、右两端都有空位，那么共有 种不同坐法。 6．某人射击8枪，命中4枪，命中4枪种恰好有三枪连在一起的情况的不同种数为 种。 7．信号兵把红旗与白旗从上到下挂的旗杆上表示信号， 现有3面红旗，2们白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是 8．用1,2,3,4,5这五个数字中的两个，分别作为一个对数的底数和真数，则可得到不同的对数值有 个。 组合问题： 1．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形， 其中直角三角形的个数为（ ） A .56 B .52 C .48 D .40 2．设集合I ={1,2,3,4,5}，选择I 的两个非空子集A 和B ， 要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方 法共有（ ）种 A .50 B .49 C .48 D .47 3．5双号码不同的鞋，任取四只，恰有1双的取法共有 种 4. 宿舍走廊上有编号的路灯9盏，为节约用电，且不影响照明，要熄掉3盏，但不能同时熄掉相邻的灯，则熄灯方法种数为 种。 隔板法：名额分配或相同物品的分配问题，适宜采用隔 板法 1．如图，某城市A 、B 两地有整齐的矩形道路网从A 到B 共有 种最近的走法 2. 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶， 一共有 种不同的走法． A 3. 有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有 种不同的方法 4. 不定方程X 1+X2+X3+X4=10中不同的整数解有 组 5. 某校准备组建一个12人的篮球队，这12个人由8 个班学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种。 分组与分配问题： 1． 有六本不同的书，按以下要求分配，各有几种 不同的分配方法？ （1）平均分给甲、乙、丙三人，每人两本； （2）平均分成三堆，每堆两本； （3）分成三堆，一堆B 1本，一堆2本，一堆3本； （4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分成三堆，有两堆各一本，另一堆4本； （6）分给甲、乙、丙三人，其中两人各一本，另一人4本； （7）甲得1本，乙得1本，丙得4本。 【练习】 1. 有四个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内。 1）共有多少种放法？ 2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？ 3）恰有一个盒内有2个球，有多少种放法？ 2. 某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数 。 错位排列： 10 1. 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有 种 2. 有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？（44） 二、二项式定理 (a +b ) n =C 0n C 1n -1n a +n a b + +C r n -r b r n a + +C n n n b 通项为第r +1项T -r r +1=C r n a n b r (1+x ) n =1+C 1+C 22 n x n x + +C r r n x + +C n n n x 二项式系数的性质：对称性（组合数的性质），等距性，先增后减中间最大 C 0C 1n +n + +C r n + +C n n n =2， C 024 n +C n +=C 135 n +C n +C n + =2n -1n +C 1、若(x + 1n 2x ) 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为 6 2、(1+x 3 ) ⎛ 1⎫ ⎝ x +x 2⎪⎭展开式中的常数项为 3、(x +y +z ) 9的展开式中x 2y 4z 3的系数 4、f (x ) =(1+x ) +(1+x ) 2++(1+x ) 10，（1）f (x ) 展开式中x 3 项的系数；（2）f (x ) 展开式中各项系数的和 5、C 1233333+C 33+C 33++C 33 除以9的余数 6、求(2x -3y ) 28的展开式中系数的绝对值最大的项是第几 项 第十一章 概率与统计 1、等可能事件的概率公式：P (A ) =m n ，摸球不放回， 抛硬币，掷骰子 2、互斥事件的有一个发生概率加法公式：P (A +B ) =P (A ) +P (B ) ，对立事件概率公式:P (A ) =1-P (A ) 3、独立事件同时发生的概率乘法公式：P (A ∙B ) =P (A ) ∙P (B ) 4、独立重复试验概率公式：P n (k ) =C k n P k (1-P ) n -k 摸球 放回， 5、抽样：随机抽样，分层抽样 11
初中数学重点抓好数与式、方程(组) 与不等式(组) 、统计与概率、视图与投影、函数及其图像、三角形、四边形、圆及等8大模块。
一．数与式以中、低档题居多（差生，中等生可从中入手提分，优生必须得分）
这一板块主要包括实数、整式、因式分解、分式及二次根式等内容，中考中多以填空选择的客观题形式出现，淡化了计算难度，主要以中、低档次的题居多。随着课改的深入，这一板块的考察形式将会多样化，一些以实际生活题材为背景、结合当今社会热点的问题将会占据主流，近似数、有效数字、科学记数法、绝对值、因式分解、规律探究及阅读理解题成为近几年的热点题型。
1.1实数包括有理数（初一上第二章）、无理数（初二上第二章）中考10分左右，每年1、2、13必考
1.2式包括整式（初一下第一章）、分式（初二下第四章）必考因式分解4分，可能会考整式化简
1.3二次根式（初二上第二章） 可能会考到，二次根式有意义的条件及简单计算，若考4—5分
二．方程与不等式难度不大（差生、中等生必须下功夫掌握，优等生不可丢分） 单纯求解方程的不等式问题多以填空、选择的题型出现，一般难度不大。对于应
用方程(组) 与不等式(组) 解决实际问题，特别是与生产生活相联系的方案设计、决策应用等问题应是中考重点，尤其是方程与函数知识、几何知识的综合运用及不等式的实际运用问题是热点问题。
2.1一元一次方程（初一上第五章）与二元一次方程（初二上第七章）以简单应用题的形式考察，5分
2.2分式方程（初二下第四章）以解方程形式考察，5分
2.3一元二次方程（初三上第二章）考察解方程和判别式，出现在第23题，5分左右
2.4一元一次不等式（初二下第一章），若考则考解不等式，与解方程不同时考察
三．统计与概率（初三下第四章）（任何学生不可丢分题）
统计与概率在中考试卷中所占分数一般在4分左右，这一板块在考察基础知识和基本技能的同时，多以图表信息题为主，考察学生利用图表的信息及所求概率的大小，解决现实生活中的问题。
四．视图与投影（初三上第四章）（此题型与数学基础无关，送分题）
4.1立体图形，视图和展开图考察空间想象思维，多出现在选择题第8题，3分。
4.2相交线与平行线，线段、射线和直线、角、角平分线。不会考察具体题目，解题的
基本工具，必会
五．函数突出开放性（重点）
函数题越来越突出开放性，单纯求函数解析式的题型越来越少，函数中的一些动
点问题，尤其是设计新颖、贴近生产生活的函数最值问题、一些开放性探索题及图表信息题将会成为中考热点问题。
5.1一次函数（初二上第六章）掌握待定系数法求解析式及其性质简单应用，5分
5.2反比例函数（初三上第五章）掌握待定系数法求解析式及其性质简单应用，5分
5.3二次函数（初三下第二章）掌握待定系数法求解析式及与几何综合体，考察难度较
大，8分左右
六．三角形（重难点）（差生、中等生侧重5.1-5.3，中等生提分要在5.4上下功夫）
对于几何与三角形，这一板块主要考察三角形的全等、相似，还有直角三角形三边关系及勾股定理、直角三角形的三角函数，及正弦、余弦、正切余切。淡化了传统的推理论证题。
6.1等腰三角形（初一下第五章）和全等三角形（初一下第七章）每年必考一道简单证明，几何综合题必须用到全等的相关知识。10分左右。
6.2相似三角形（初二下第二章）：简单的相似证明及应用，5分左右
6.3直角三角形的勾股定理（初二上第一章）：勾股定理及其逆定理作为基本工具来进行考察，没有具体题型，却是做题的根本，必会
6.4直角三角形的三角函数（初三下第一章）：由于三角函数是在直角三角形中利用边角建立联系的又一种模型，因此不少考题均涉及渗透该部分内容，考生应该重点复习。10分左右
七．四边形（初二上第四章）（重点）（差生6.1，中等生6.1-6.2，优等生在6.3上下功夫）
四边形的考察题型较多，选择、填空、证明推理、探求规律及图形设计等有可能出现，和四边形有关的开放性问题、探究问题、两个图形在平移及旋转过程中的面积重叠问题及结合函数求最值问题等将会成为今后命题方向。
7.1特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形考察基础的性质与判定，在选择、填空、证明中都有可能出现。10分左右
7.2梯形：考察相关计算，每年必考。5分左右
7.3平行四边形（压轴）若考则在压轴题中出现
八．圆（初三下第三章）（重点大题）（中等生7.1，优等生在7.2上下功夫来提分）
有关圆的推理论证题将不会再出现，这大大降低了这一板块的应考难度，考生应该重点复习一些综合题，比如，圆与函数及其它几何图形结合在一起的问题，在运动过程中探究问题的题型越来越成为考察的重点。另外，弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积、最值问题、方案设计及阴影问题也要引起重视。
8.1圆的概念 与性质、圆周角、垂径定理，4分，出现在填空题中
8.2点、直线和圆的圆的位置关系，将直线函数与圆结合一起考综合题，难度较大，6-
8分
．图形变换（综合整个初中知识点结合）（难点）视图与投影
轴对称、平移、旋转、相似：为课表卷最难部分，压轴题核心部分皆出自四大变换，优生若想得高分此处必须多下功夫。
高中数学知识体系及重难点分析
初中与高中数学的学习差异
一、知识的不一样
初中数学知识面少、难度小，高中知识面广泛，将对初中的数学知识的推广和引申，也是对初中数学知识的完善。如：高中数学把角的概念推广到任意角，可表示包括正、负在内的所有大小角。又如：高中要学习《立体几何》，将在三维空间中求一些几何实体的体积和表面积；还将学习“排列组合”知识，以便解决排队方法种数等问题。在初中数学中，对一个负数开平方无意义，但高中数学却把数的概念进行推广，使数的概念扩大到复数范围等。
二、学习方法不一样
A 、初中课堂教学量小、知识简单，教师通过课堂较慢的讲解速度，争取让同学们全面理解知识点和解题方法，课后老师布置作业，然后通过大量的课内外练习、课外指导，达到对知识的反反复复理解，直到学生掌握，而高中课程开设多，各科平均学习时间较少，学生做作业的时间也相对大大减少，进而造成了学生不能很快的消化掉新知识。B 、模仿与创新的区别，初中学生模仿做题，他们模仿老师思维推理较多，而高中随着知识的难度增加和知识面广泛，学生不能全面模仿，现在高考数学旨在考察学生能力，避免学生高分低能，避免定势思维，提倡创新思维和学生创造能力培养，而学生恰恰在初中养成了模仿和定势思维，封闭了学生的丰富和创造能力，典型的是：学生对分类就没有很好的把握能力。
三、学生自学能力的差异
初中学生自学能力低，大凡考试中的解题方法和教学思维，教师基本上已反复训练，老师要把学生自己深刻理解的问题，都几种表现在他的耐心讲解和大量的训练中，而且学生听课只需熟记结论就可以做题，学生不需自学，但高中的知识面广，要教师训练高考中的习题类型是不可能的，只有通过较少的、教典型的一两道题讲解如何融会贯通这一类习题，如果不自学，不靠大量的做题和阅读理解，将会是学生失去这一类题型的解题技巧。另外，科学在不断的发展，考试在不断的改革，高考也随着全国的改革在不断的深入，教学题型的开发在不断的多样化，今年来提出了应用题型、探索题型和开放题型，只有靠学生的自学去深刻理解和创新才能适应现代教学的发展。
四、思维习惯上不一样
初中学生由于教学知识的范围小，知识层次题，知识面窄，对实际问题的思维收到了局限，就几何来说，接触的是现实生活中的三位空间，但初中只学习了平面几何，那么就不能对三维空间进行严格的逻辑思维和判断，代数中数的范围只局限在实数范围内思考，就不能深刻的解决方程跟的类型等，高中数学知识的多元化和广泛性，将会是学生全面、细致、深刻、严密的分析和解决问题，也将培养学生高素质思维，提高学生思维的递进性。
五、定量与变量的不同
初中数学中，题目、已知和结论用常数给出的较多，一般答案是常数和定量。学生在分析问题时，大多是按定量来分析问题，这样的思维和问题的解决过程，只能片面地、局限地解决问题，在高中数学学习
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中，我们将会大量地、广泛地应用代数的可变性去探索问题的普遍性和特殊性。我们还会通过对变量的分析，探索出分析、解决问题的思路和解题的数学思想。
初中：
知识：简单的、直观的，单纯研究算术数，着重数的运算和模版运算。
教学方式：注重学生用较多时间进行新知的探索，练习机会多，对教师依赖性较强。 高中：
知识：抽象性、严密性，内容更加丰富、抽象，认识上有了质的飞跃，记忆、理解应用、推理归纳的要求更高，对整体知识体系的把握要求更高！数形结合是很重要的解题思维。
教学方式：教学内容多，时间紧，课堂没有多少复习时间，要通过学生的课前预习、课后复习等环节加以掌握与巩固，多做练习时最好的学习方式。
高一数学知识体系及重难点分析
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高二数学知识体系及重难点分析
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高三数学知识体系及重难点分析
高三重在知识复习，第一轮是系统全面的复习，这时要求学生要在理解的基础上做一次全面的查缺补漏，认真做好知识整合，达到对整个高中知识体系的把握。
第二轮是快速复习，这时要求学生找出自己的知识薄弱点，重点加强练习。这一轮以大量做题为主，全面应对高考。
2013年四川（理科）高考题型：
满分：150分，时间：120min 。难度比例是7:2:1，“7”是基础题，“2”是中等题，“1”是难题。 1、选择题：10道，共50分。 2、填空题：5道，共25分。 3、解答题16：数列题 12分 4、解答题17：解三角形 12分。
5、解答题18：概率与程序输入结合题12分。 6、解答题19：立体几何题12分。 7、解答题20：圆锥曲线题13分 8、解答题21：函数导数结合题14分
高考考点分类整理：
一、选择题
十道选择题：
1-6题为基础题型，主要考点有：集合、复数（理科）、不等式、图象、三角函数、向量等基础题型。 7-8题为中等题型，主要考点有：概率、排列组合、函数、数列等。 9-10题为难度题型，主要考点有：直线与圆，立体几何、圆锥曲线等。 二、填空题
11—15题型不固定，但考点大致为：二项式定理、概率、排列组合、数列和函数等中等难度题型。 三、答题
16-19题为基础加中等难度运算题
主要考点有：三角函数及解三角形、概率、立体几何、数列、函数结合题。 20-21题为高难度题
主要考点有：圆锥曲线与直线结合题，函数与导数结合题，数列综合题型。 三、考生在高考数学做题中时间分配
选择题：大致时间在20—30分钟，不能超过30分钟。 填空题：15分钟左右。
解答题：16-19题，需要40—50分钟，最多一个小时，不能过多，不然没时间涂答题卡。
20-21题，是学生能力而定，一般学生可以选择只做第一问，大概时间为15分钟左右。成绩好一
点的，可以尝试全部做，需要25—35分钟左右，但前提是前面用时很少。
选择东方育才，成就辉煌未来！ 地址：雅安市雨城区城后路166号
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【在(恋上图
宝宝) 的大作
>我也老回忆
娃小时候啥样
子。。恩还好
照了好多
dv...
作者:最爱周
妞妞 提交日
期:2012-08-2
2 16:11
1月10日早
上，出生时体
长：51cm ，出
生后最大特
点：头发又黑
又长。
生产方式：可
悲的顺转
剖。
0-7月妞妞成
长小记
第三天黄疸
高，去照蓝光【在(恋上图宝宝) 的大作中提到：】 中提到：】 >我也老回忆娃小时候啥样子。。恩还好照了好多dv... 关于周妞妞 生产方式：可悲的顺转剖。 0-7月妞妞成长小记 0-1月 出生后第三天黄疸高，去照蓝光照了五天，妞妞妈是哭足了五天。 作者:最爱周妞妞 提交日期:2012-08-22 1生日：2012年1月10日早上，出生时体重：3680g ，身长：51cm ，出生后最大特关于周妞妞 生日：2012年 1-2月 33天开始，早上起来会对着妈妈笑。 40-50天，一直长湿疹，不过长完湿疹后貌似变白了好多。 55天开始晚上不起来喝奶，睡整觉了。 2-3月 很乖的妞妞，妞妞妈这时候是最轻松的，妞妞外婆逢人就夸妞妞乖。 小手开始抓东西。 满3个月体检时重12.8斤，高61cm 。 回家后的妞妞是能吃能睡，非常的乖，特别是到了晚上，从不闹，乖乖地喝完奶重：3680g ，身满月体检的妞妞重10斤，高55cm 。 40多天的时候发现可以把头抬起来了，也开始“啊-啊-哦-哦”地喜欢跟我们说话0-1月 出生后 3-4月 99天的时候第一次主动伸手抓东西，而且第一次主动抓的东西是妞妈准备
照了五天，妞
妞妈是哭足了
五天。
回家后的妞妞
是能吃能睡，
非常的乖，特
别是到了晚
上，从不闹，
乖乖地喝完奶
就睡觉。
满月体检的妞
妞重10斤，高
55cm 。
1-2月 33天开
始，早上起来
会对着妈妈
笑。
40-50天，一直
长湿疹，不过
长完湿疹后貌
似变白了好
多。
40多天的时候
发现可以把头
抬起来了，也
开始“啊-啊-
哦-哦”地喜欢
跟我们说话
了。
55天开始晚上3个半月的时候会从俯卧翻身变仰卧。 3个半月的时候便便才开始成形，之前一直有母乳性腹泻。 4-5月 4个半月开始，一哭嘴里就发着“妈-妈”的音。 4个月20天的时候能从仰卧翻身回俯卧，从此连续翻身，各方位自由翻身。 5-6月 5个月整的时候，可以自己坐好，5个半月开始匍匐前进。 6-7月 6个半月开始标准爬，从此爱上爬行。 6个多月开始发“爸-爸”的音。 作者:最爱周妞妞 提交日期:2012-08-23 1
不起来喝奶，
睡整觉了。
2-3月 很乖的
妞妞，妞妞妈
这时候是最轻
松的，妞妞外
婆逢人就夸妞
妞乖。
小手开始抓东
西。
满3个月体检
时重12.8斤，
高61cm 。
3-4月 99天的
时候第一次主
动伸手抓东
西，而且第一
次主动抓的东
西是妞妈准备
给你的百天利
是。
3个半月的时
候会从俯卧翻
身变仰卧。
3个半月的时
候便便才开始
成形，之前一
直有母乳性腹
泻。
0-2月的妞妞
4-5月 4个半
月开始，一哭
嘴里就发着
“妈-妈”的
音。
4个月20天的
时候能从仰卧
翻身回俯卧，
从此连续翻
身，各方位自
由翻身。
5-6月 5个月
整的时候，可
以自己坐好，5
个半月开始匍
匐前进。
6-7月 6个半
月开始标准
爬，从此爱上
爬行。
6个多月开始
发“爸-爸”的
音。
作者:最爱周
妞妞 提交日
期:2012-08-2
3 10:04 2-3月的妞妞 作者:最爱周妞妞 提交日期:2012-08-23 1现在是见谁的手都要拿过来狠狠的咬住，可怜的娃 【在(圆球鱼) 的大作中提到：】 >出牙了，要庆祝下！【在(最爱周妞妞) 的大作中提到：】>又是忙碌的一周。发表于 12-09-05 11:03:55 只看此用户 回复 家 拿磨牙棒给她咬```````呵呵````娃不可怜哈``有宝贝小雅狐巫师送礼物留言关注加好友 【在(最爱周妞妞) 的大作中提到：】 >现在是见谁的手都要拿过来狠狠的咬住，可怜的娃【在(圆球鱼发表于 12-09-05 12:55:13 只看此用户 回复
家有宝贝小雅的签名档
0-2月的妞
妞
2-3月的妞
妞 有了你, 便有了牵挂. 作者:最爱周
家有宝贝小雅的签名档
有了你, 便有了牵挂.
家有宝贝小雅的签名档
有了你, 便有了牵挂.
家有宝贝小雅的签名档有了你, 便有了牵挂.
作者:最爱周妞妞 提交日期:2012-08-23 10:44
7个月大的妞妞，脾气也大了不少，一不高兴就大声叫嚷，这两天开始还发起脾气来了，一发脾气就跺脚。昨晚，她又爬过去扶着小床站起来玩小床的玩具玩了好久了，我说不给她站那么久，想把她抱过来坐着，结果人家不愿意，对着我就喊起来了，两个小脚还拼命跺着床，然后抱着她再玩了一会才罢休，哎，长大了，不好对付了.... 现在也不给把尿了，偶尔还愿意配合一下，大部分时间都在那打挺。还不肯躺着穿衣服了，妞妞妈每天都是在妞妞站着，坐着，爬着各种姿势下给她把衣服，尿裤穿好，不容易啊 昨晚天气比较凉，给妞妞穿上秋装的连体衣，感觉妞妞又长大了。小妞妞，健康快乐成长哦，爸爸妈妈都最爱你！
作者:最爱周妞妞 提交日期:2012-08-23 14:35
今天中午，妞妞爸先到家，我回去的时候，妞妞正跟爸爸玩着，一看到我开门进来，两个手就拼命扑过来了，嘴里还“妈-妈”地叫着，妞妞爸吃醋了，妞妞妈心里美滋滋的。有个人如此依恋你，真呀真幸福
作者:最爱周妞妞 提交日期:2012-08-24 09:31
我和妞爸一喊她名字她就笑的很开心的
【在(圆球鱼) 的大作中提到：】
>妞好会照相啊，都笑得那么开心！...
作者:最爱周妞妞 提交日期:2012-08-24 10:34
是的啊，就喜欢妞妞粘着我的感觉，真满足
【在(家有宝贝小雅) 的大作中提到：】
>如此依恋```真...
作者:最爱周妞妞 提交日期:2012-08-24 11:22
可以的哦，谢谢枭點點哈
【在(枭點點) 的大作中提到：】
>亲，这个内容可以弄到首页上不弄好了我给你飞钉子哈
作者:最爱周妞妞 提交日期:2012-08-24 14:41
妞妞最近好像便秘了，已经第三天了，哎...
作者:最爱周妞妞 提交日期:2012-08-24 15:57
今天没事，来回忆一下我那可悲的顺转剖生产。 我的预产期是2012年1月12日，早在国庆放假前，我和妞妞爸就说我们开始倒数吧，于是就从100天开始倒数，当时也不知道倒数完是几号，反正觉得大概就是在12号左右的，于是每天我们都会跟妞妞说我们还有几天就见面了，9号，就是我们倒数见面的日子。倒数着的日子过的很快，元旦放假前一周，我就开始休假了。休假后每天妞妞爸起床我就跟着起床吃早饭，然后再回去睡个回笼觉，到了9号那天，不知怎么的，我就是不想起来吃，也不饿，就想躺着，妞妞爸走的时候帮我翻了个身，对着肚子跟妞妞说，别忘了我们的约定哦。 睡到大概9点半，感觉下面有东西流出，赶紧爬起来上厕所，尿尿完还是感觉有东西流着，再看看纸巾上还有血丝，这可能就是破水见红了吧。出来发觉就我一个人在家，顿时有点委屈的感觉，回房间给妞妞爸打电话，还没说完就委屈的哭了，妞妞爸一接电话大概就知道妞妞可能要出来了。妞妞爸安慰了几句后，淡定了很多，找出待产清单，把待产包里的东西对着清单又检查了一遍。很快，妞妞爸，婆婆和妈妈都回来了，他们的出现让我更加淡定，马上找衣服去洗澡洗头。婆婆给我煮东西吃，妈妈再给我看看还要准备些什么。 很快，再收拾了一下，3大包东西呢。婆婆和妈妈帮我们把
东西放到车尾箱，感觉好像要上战场的感觉，她们还非要跟着去，被我和妞妞爸坚决拒绝了。几分钟的路程就到医院了，我们把东西留着车尾箱，拿着病历病就上去了，围产室又是黑丫丫的一群孕妇和家属。妞妞爸上前和护士说明了情况，护士给测了血压，体重就领着我们进去找医生了，第一次，第一次看着那么多人又不用排队，真是爽啊。护士跟医生说了说情况，就让我躺下给做检查，早就看了准妈论坛说内检的难受，虽然做好了心理准备，不过还是觉得难受。检查完，医生说，胎膜早破，给我开住院单和检查单，。“胎膜早破”第一次接触这个词，也不知道什么意思，正当我想起来时，给医生制止了，还说从现在起我不能坐起来，就这样躺着，听完，我开始紧张了。 老公帮我交完住院费检查费，护士就把我推到b 超室，b 超室一如既往的人多，我又是不用排队，心里再次美一下，哈哈。b 超医生说羊水太多了，胎儿还比较大，大概7斤半。羊水太多，看来又是一个不太好的信号。b 超完就被推到6楼的产区，护士拿着病历和b 超单跟医生说明情况后就走了，被在走廊晾了十几分钟后，终于有人来接应我了，我被推进了待产室，过后我才明白这所谓的待产室其实就是个保胎病房，除了我是就要生的之外，其他都是保胎的，有24周的，28周的，32周的，35周的。 这时已经是下午1点了，在待产室安顿下后就是各种检查，尿液，胎心，胎监，血压，血糖什么的。很快，婆婆，妈妈和弟弟都来给我送吃的了。3点，医生又来做内检，医生一看还不相信我破水了，感觉她好大力气的在那掏啊掏的，然后对旁边的护士说她的手不敢拿出来了，怕羊水出来太多了，尼玛尼玛，我那个不舒服啊，结果人家手一出来，跟着一股热流啊... 4点，又过来一个男医生，他说是今天的值班医生，让我们有事找他，看他带手套，我就知道又要内检了，男医生，第一次啊，巨不舒服，可是，这个时候的我就像是案板上的鱼，任人宰割啊。男医生，力气就是大，接着又是一阵热流。检查完后，跟我们说要加油，我顺产条件很不错的，要我加油。尼玛尼玛，检查完后很不舒服，那成人纸尿裤换了一块又一块的。5点半，又一个医生来，我直接就跟她说，刚做过检查呢，还没有什么不舒服，她问了几句后就出去了，哎，算是躲过了一次了 8点，家人又过来看我，他们走后，我开始有了宫缩，不过10分钟一次吧，而且肚子只是紧紧的，不痛。大概10点的时候，宫缩变成了5分钟一次，而且每次宫缩的时候肚子已经好痛了，叫来了医生，医生让护士给我测是不是有规律的。10点半，医生给我检查，嗯，开了半指了，宫缩的时候肚子也越来越痛了，11点多的时候，痛的我开始哼哼唧唧的，医生叫我忍着，这里还那么多病人呢，影响人家了。其实这种痛我还是可以忍受的，主要是妞妞爸在，我就会变的好娇气。 12点，医生忍不住我的哼哼唧唧了，又给我检查了一下，2指半，不错啊，挺顺利的。并告诉我1点进产房，并问我要不要温馨产房（就是老公可以陪产的）和止痛棒，那我肯定要的啊。有了期待，感觉时间就过的很快了。期间，听到今晚生的4个都是男孩，我想我的下半夜可能就是女孩了，嗯，我就想要个妞。 休息一下，未完待续...
作者:最爱周妞妞 提交日期:2012-08-24 16:35
1点，终于被推进了产房，不过经过温馨产房的时候被告知，没床位，要去普通产房，妞妞爸不能跟着我进去了。好伤心啊。进去产房又被告知不给打止痛棒，再一次伤心啊。
宫缩时间是越来越长了，痛感也是越来越强了，每次痛的我都喊起来了。不一会我的主治医生过来了，告诉我一些东西，然后让护士给打上营养液，怕我撑不下去。2点，医生给我检查，4指半，告诉我情况还不错，挺快的。我越来越痛，喊声也越来越大，医生和护士都和我说话，想帮我转移注意力，不过没用，他们说他们的，我喊我的，不一会，主治医生消失了，助产士刚开始还不停的劝我，后来她也没耐心了，再后来，她就说我了，叫我不要喊了，我不理他们，痛的我都想撞墙了。期间我好像一直在喊给我剖啊，给我止痛棒啊，但没人搭理我。这时候我想起以前在论坛上学的呼吸法，每次阵痛来的时候都按那里说的呼吸，是有点效果，我的喊声也暂时消停了一些。3点半左右，助产士帮我检查说差不多10指了，告诉我下次宫缩来的时候就开始用力了。我是完全不会用力，助产士说了又说，感觉有点对劲了，就这样折磨半个小时后小妞依然没下来，还在我肚子里踢啊踢的。4点半，助产士叫来了值班医生，那个男医生，他过来后又是检查，痛，不舒服，然后说我可能不好生，盆骨小，bb 可能不好下来，让我再试试。这个时候的我除了痛还是痛，痛的我想骂人，一直喊着给我剖。很快他们叫来了主治医生，她再次检查，让我做好剖的准备，听着这个结论，有种如释重负的感觉。 很快，他们就通知手术室做好准备，我歪歪扭扭的签上了我的名字。我被推出产房，扭扭爸和弟弟很快就迎上来，我一时还没看到妈妈，拼命喊着妈妈呢，妈妈呢，也不知道干嘛，感觉这个时候我最想要妈妈在我身边，妈妈很快出现在我身边，摸着我的头要我不要怕，我淡定了些。经过走廊，就是手术室了，老公跟着一起来到手术外间，他要在这里等着签字，我又一个人被推进去了。偌大的一个手术室，中间一个小小的床，我被推上手术床，麻醉师很快就来了，给我先做了一些准备工作，很快就开始麻醉了，而且就是在我阵痛最强的那个时候，麻醉开始慢慢生效了，那个舒服啊，真的不能用语言来形容。医生在我前面挂起了布，我知道，很快我的肚子就被剖开，想着我都怕，于是闭上眼睛深呼吸。也许是太累了，不知不觉我竟然睡过去了，等我睁开眼的时候，我感觉肚子在一扯一扯的，我知道是已经在连线了，也已经听到小妞的哭声了，就这样，我错过了小妞的第一次哭声。到现在，我都有点懊恼，怎么能在这么关键的时候睡着呢。听着那哭声，我就猜想是个妞，但不确定。我想问旁边的护士，可是这个时候我就是发不出声音，手也一直在发抖，感觉整个身体都在抖，嘴里一直在说我想看宝宝，可就是没人能看到我。妞妞包裹好后，被抱了出去再回来，依然没人理我。 过了好久，医生才发现我，说把宝宝抱过来给妈妈看看吧，一听，我泪水就蹦出来了，就要见到我的妞妞了，护士抱过来，说是个可爱的小妞，让我亲亲，我那
不争气的泪水模糊了我的双眼，依旧没看清小妞的样子，但知道她是个胖妞妞，好像有头乌黑的头发。很快，妞妞跟着我一起推出了手术室。 虽然两种痛都受了，但还好时间没有经历太久。刚生完那会，经常晚上做梦还在产房里痛苦的挣扎着，睁开眼看着小妞发知道这一切都已经过去了。随着小妞的慢慢长大，这些痛的记忆正在慢慢褪去，不再害怕了。取而代之的是满脑子小妞成长的点点滴滴，每每想起来都是幸福满满的。
今早，跟妞妞爸在电梯里看到一个30多天的小宝宝，于是问妞妞爸，你还记得妞妞这么小的时候么，妞妞爸说不记得了，只知道那时候她很乖，乖乖吃，乖乖睡，乖乖玩。来上班的路上，一路上在回忆着小妞小时候，天哪，不想不知道，一想吓一跳，今天小妞7个月10天，我怎么那么快就开始模糊了呢。来到单位，终于有冲动要给小妞开个成长贴，记录下她成长的点点滴滴，对于她来说，这是一个不可逆的过程，对于我来说，我这辈子也许就经历这一次，所以要好好记录下...
关于周妞妞
生日：2012年1月10日早上，出生时体重：3680g ，身长：51cm ，出生后最大特点：头发又黑又长。
生产方式：可悲的顺转剖。
0-7月妞妞成长小记
0-1月 出生后第三天黄疸高，去照蓝光照了五天，妞妞妈是哭足了五天。
回家后的妞妞是能吃能睡，非常的乖，特别是到了晚上，从不闹，乖乖地喝完奶就睡觉。
满月体检的妞妞重10斤，高55cm 。
1-2月 33天开始，早上起来会对着妈妈笑。
40-50天，一直长湿疹，不过长完湿疹后貌似变白了好多。
40多天的时候发现可以把头抬起来了，也开始“啊-啊-哦-哦”地喜欢跟我们说话了。
55天开始晚上不起来喝奶，睡整觉了。
2-3月 很乖的妞妞，妞妞妈这时候是最轻松的，妞妞外婆逢人就夸妞妞乖。
小手开始抓东西。
满3个月体检时重12.8斤，高61cm 。
3-4月 99天的时候第一次主动伸手抓东西，而且第一次主动抓的东西是妞妈准备给你的百天利是。
3个半月的时候会从俯卧翻身变仰卧。
3个半月的时候便便才开始成形，之前一直有母乳性腹泻。
4-5月 4个半月开始，一哭嘴里就发着“妈-妈”的音。
4个月20天的时候能从仰卧翻身回俯卧，从此连续翻身，各方位自由翻身。
5-6月 5个月整的时候，可以自己坐好，5个半月开始匍匐前进。
6-7月 6个半月开始标准爬，从此爱上爬行。也会从爬行变成坐位，扶着东西自己能站起来了。
6个多月开始发“爸-爸”的音。
作者:最爱周妞妞 提交日期:2012-08-20 15:02
谢谢大家棒场，妞妞妈妈定会加油建楼。
作者:最爱周妞妞 提交日期:2012-08-20 17:01
接到紧急任务，妞妞妈这周要忙碌了，555...
作者:最爱周妞妞 提交日期:2012-08-22 08:56
昨天上午有事外出，回到家已经一点半了，平时都是12点就能到家带妞妞的，妞妞奶奶说妞妞从12点半就开始找我，先是一直盯着门看，奶奶想把妞妞抱回房间玩，不肯，快一点的时候还没见我回来，妞妞就“妈妈”、“妈”地不停大
声喊，奶奶跟妞妞说妈妈出差很快就回来了，说了好久妞妞才不闹。一点半，我
到家，妞妞高兴的伸出双手要我抱抱，我抱过来，妞妞双手还紧紧搂住我的脖子，脚拼命蹬，很是兴奋，妞妞妈真呀真开心
作者:最爱周妞妞 提交日期:2012-08-22 09:35
图图妈，这里我最熟悉的就是图图啦，从怀孕开始就开始在准妈论坛关注图图，
还很清楚的记得图图的四维照，小家伙一下就那么大
了
【在(恋上图宝宝) 的大作中提到：】
>我也老回忆娃小时候啥样子。。恩还好照了好多dv...
作者:最爱周妞妞 提交日期:2012-08-22 16:11
关于周妞妞
生日：2012年1月10日早上，出生时体重：3680g ，身长：51cm ，出生后最大
特点：头发又黑又长。
生产方式：可悲的顺转剖。
0-7月妞妞成长小记
0-1月 出生后第三天黄疸高，去照蓝光照了五天，妞妞妈是哭足了五天。
回家后的妞妞是能吃能睡，非常的乖，特别是到了晚上，从不闹，乖乖地喝完奶
就睡觉。
满月体检的妞妞重10斤，高55cm 。
1-2月 33天开始，早上起来会对着妈妈笑。
40-50天，一直长湿疹，不过长完湿疹后貌似变白了好多。
40多天的时候发现可以把头抬起来了，也开始“啊-啊-哦-哦”地喜欢跟我们说
话了。
55天开始晚上不起来喝奶，睡整觉了。
2-3月 很乖的妞妞，妞妞妈这时候是最轻松的，妞妞外婆逢人就夸妞妞乖。
小手开始抓东西。
满3个月体检时重12.8斤，高61cm 。
3-4月 99天的时候第一次主动伸手抓东西，而且第一次主动抓的东西是妞妈准
备给你的百天利是。
3个半月的时候会从俯卧翻身变仰卧。
3个半月的时候便便才开始成形，之前一直有母乳性腹泻。
4-5月 4个半月开始，一哭嘴里就发着“妈-妈”的音。
4个月20天的时候能从仰卧翻身回俯卧，从此连续翻身，各方位自由翻身。
5-6月 5个月整的时候，可以自己坐好，5个半月开始匍匐前进。
6-7月 6个半月开始标准爬，从此爱上爬行。
6个多月开始发“爸-爸”的音。
作者:最爱周妞妞 提交日期:2012-08-23 10:04
0-2月的妞妞
2-3月的妞妞
家有宝贝小雅的签名档
有了你, 便有了牵挂.
作者:最爱周妞妞 提交日期:2012-08-27 10:26
我也很爱你家小安安
【在(lijing114474的blog) 的大作中提到：】
>哇塞 人气蛮旺哦 我也爱妞妞...
作者:最爱周妞妞 提交日期:2012-08-27 10:27
水果蔬菜吃很少，妞妞奶奶总是是怕凉，不弄给她吃
【在(枭點點) 的大作中提到：】
>多喝水，吃蔬菜，还有水果~比如火龙果【在(最爱周妞妞) 的大作中提到：】妞妞最近好像便秘了，已经第三天了...
作者:最爱周妞妞 提交日期:2012-08-27 10:28
如果再给我选择一次，我直接要去剖
【在(圆球鱼) 的大作中提到：】
>看看都觉着痛 [引用图片] 我两胎都是剖的...
作者:最爱周妞妞 提交日期:2012-08-27 10:30 >
忙碌而快乐的周末总是过的飞快，一下又到周一了，倒数5天又到周末了，哈哈
【在(家有宝贝小雅) 的大作中提到：】
>星期六快乐啊````天天快乐哈```````...
作者:最爱周妞妞 提交日期:2012-08-27 15:00
我是意志力特不坚决的那种，如果医生早给我说我顺产不好，我肯定早就去剖了
【在(家有宝贝小雅) 的大作中提到：】
> [引用图片] 我也是```坚持到最后还是剖了````...
作者:最爱周妞妞 提交日期:2012-08-27 15:06
慵懒的星期一，真不想动。
好想现在陪着妞妞睡午觉，不知妞妞现在在干嘛，我来上班的时候，她就醒了，醒来肯定又要玩一阵才肯继续睡
作者:最爱周妞妞 提交日期:2012-08-27 16:15
带着妞妞的周末总是忙碌而又充满欢乐的。 周五下班回家先给妞妞吃粥，然后带着妞妞去准小姨夫家吃饭，之前妞妞一直认生，一去到别人家就闹，但这次不会了，认生阶段可能结束了。但是，这妞只要男同胞抱她，女同胞抱没1
分钟，准要找我。去到妞妞小姨夫家，妞妞看到一屋子她没见过的人，很是好奇，看看这个看看那个，看看这里看看那里。大舅说抱她，她要，一直没意见，大姨说抱她，没一分钟，就望着我，手伸过来要我抱，我不抱，她就委屈地哭了。叔公说要抱她，她也没意见，婆婆说要抱她，她又不愿意了，就这样，男的抱着她，她都不找我，女的抱着她，她就伸着手要我。这妞妞，太坏了 晚上吃饭，妞妞还很配合，自己在那“爸爸-打打”的一个晚上，还给妞妞吃了一小块鱼，妞妞最爱吃鱼了。 周六，有我陪着睡，妞妞睡到8点，起来自己玩床上的玩具，9点，妞妞玩累了，喝了点奶以为她要睡觉，可怎么哄都不睡。10点，喂妞妞吃蛋黄加米糊，然后就带着妞妞去吉之岛玩。给妞妞称了体重，这妞一个星期来重了85克，不错了，这样保持下去，15斤就指日可待了。在吉之岛，爸爸抱着妞妞睡了40分钟左右，回家，12点，喂妞妞喝粥，瑶柱耗干粥，还放了一小块鳕鱼，妞妞很爱喝。1点半，妞妞喝奶睡觉，3点半，妞妞起床吃苹果泥，4点半，喝粥，5点，妞妞闹着要出去，但外面还太热，只能商场吹空调，妞妞爸建议去沃尔玛，因为那里好停车，结果一不小心又买了两大袋东西回来，其中妞妞的就占了一半。 周日早上，妞妞一家还没起床，妞妞爷爷就打电话来叫妞妞爸回去接奶奶去看脚，妞妞爸顺路送我和妞妞去西湖玩儿，回来的时候，带着妞妞坐公交车，妞妞很不老实，这里想摸摸，那里又想摸摸，不过还没两个站，妞妞就会周公了。回来给妞妞吃蛋黄加米糊。中午带着妞妞去大舅家吃饭，妞妞以及不认生了，但还是只要男的抱她，真是汗啊。小妞妞一个月的表弟也来了，哎，都想让妞妞叫他哥哥了，他足足比妞妞重了5斤，我抱着感觉好沉啊，他们抱抱妞妞，说特舒服，这么轻，咱不跟他们比体重。妞妞灵活啊
人教版高中数学必修一
————各章节知识点与重难点
第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1集合的含义与表示
【知识要点】
1、集合的含义
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
2、集合的中元素的三个特性
（1）元素的确定性； （2）元素的互异性； （3）元素的无序性
2、“属于”的概念
我们通常用大写的拉丁字母A,B,C, „„表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, „„表示元素 如：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A 记作 a ∈A ，如果a 不属于集合A 记作 a A
3、常用数集及其记法
非负整数集（即自然数集）记作：N ；正整数集记作：N*或 N+ ；整数集记作：Z ；有理数集记作：Q ；实数集记作：R
4、集合的表示法
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
（2）描述法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}
（3）图示法（Venn 图）
【重点】集合的基本概念和表示方法
【难点】运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合
【知识要点】
1、“包含”关系——子集
一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B
2、“相等”关系
如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时, 集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，即：A=B⇔A ⊆B 且B ⊆A
3、真子集
如果A ⊆B, 且A ≠B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A ⊂B(或B ⊃A)
4、空集
不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集.
【重点】子集与空集的概念；用Venn 图表达集合间的关系
【难点】弄清元素与子集、属于与包含之间的区别
【知识要点】
1、交集的定义
一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合, 叫做A,B 的交集．记作A ∩B(读作“A 交B ”) ，即A ∩B={x| x∈A ，且x ∈B}．
2、并集的定义
一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集。记作：A ∪B(读作“A 并B ”) ，即A ∪B={x | x∈A ，或x ∈B}．
3、交集与并集的性质
A ∩A = A，A ∩φ= φ, A∩B = B∩A ，A ∪A = A，A ∪φ= A , A∪B = B∪A.
4、全集与补集
（1）全集
如果集合U 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U 来表示。
（2）补集
设U 是一个集合，A 是U 的一个子集（即A ⊆U ），由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做U 中子集A 的补集（或余集）。记作： C U A ，即 C S A ={x | x∈U 且 x ∉A}
（3）性质
C U (C U A)=A，(C U A) ∩A=Φ，(C U A) ∪A=U；
(C U A) ∩(C U B)=C U (A∪B) ，(C U A) ∪(C U B)=C U (A∩B).
【重点】集合的交集、并集、补集的概念
【难点】集合的交集、并集、补集的概念与应用
1.2 函数及其表示
1.2.1函数的概念
【知识要点】
1、函数的概念
设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
【注意】
（1）如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；
（2）函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
【定义域补充】
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是
（1）分式的分母不等于零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零；
（3）对数式的真数必须大于零;
（4）指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.
（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.
（6）指数为零底不可以等于零
（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.)
2、构成函数的三要素
定义域、对应关系和值域
【注意】
（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。
（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
3、相同函数的判断方法
（1）定义域一致；
（2）表达式相同 (两点必须同时具备)
【值域补充】
（1）函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定
义域.
（2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。
4、区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
【重点】理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数
【难点】符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示
1.2.2函数的表示法
【知识要点】
1、常用的函数表示法及各自的优点
（1）函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x 轴的直线与曲线最多有一个交点。
（2）函数的表示法
解析法：必须注明函数的定义域；
图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
【注意】
解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值
2、分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
3、复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A), 则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f 是g 的复合函数.
4、函数图象知识归纳
（1）定义
在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A) 中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P(x，y) 的集合C ，叫做函数 y=f(x),(x ∈A) 的图象．
C 上每一点的坐标(x，y) 均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x 、y 为坐标的点(x，y) ，均在C 上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
图象C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线), 也可能是由与任意平行于Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.
（2）画法
A 、描点法
根据函数解析式和定义域，求出x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B 、图象变换法
常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换
（Ⅰ）对称变换
①将y= f(x)在x 轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如：书上P21例5
⎛1⎫②y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y 轴对称。如y =a 与y =a = ⎪ ⎝a ⎭
③y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x 轴对称。如y =log a x 与y =-log a x =log 1x x -x
a x
（Ⅱ）平移变换
由f(x)得到f(x±a) 左加右减；
由f(x)得到f(x)±a 上加下减
（3）作用
A 、直观的看出函数的性质；
B 、利用数形结合的方法分析解题的思路；
C 、提高解题的速度；发现解题中的错误。
5、映射
定义：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f ：A →B ”
给定一个集合A 到B 的映射，如果a ∈A,b ∈B. 且元素a 和元素b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象
【说明】
函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应
（1）集合A 、B 及对应法则f 是确定的；
（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系一般是不同的；
（3）对于映射f ：A →B 来说，则应满足：
（Ⅰ）集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；
（Ⅱ）集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；
（Ⅲ）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。
6、函数的解析式
（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等
A 、如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；
B 、已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；
C 、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)
【重点】函数的三种表示法，分段函数的概念，映射的概念
【难点】根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象，映射的概念
1.3函数的基本性质
1.3.1函数单调性与最大（小）值
【知识要点】
1、函数的单调性定义
设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1 【注意】 （1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； （2）必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1 （或f(x1) ＞f(x2) ）。 2、图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. 3、函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法 ①任取x 1，x 2∈D ，且x 1 ②作差f(x1) －f(x2) ； ③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x1) －f(x2) 的正负）； ⑤下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：同增异减 【注意】 函数的单调区间只能是其定义域的子区间 , 不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 4、判断函数的单调性常用的结论 ①函数y =-f (x ) 与y =f (x ) 的单调性相反； ②当函数y =f (x ) 恒为正或恒有负时，y =1f (x ) 与函数y =f (x ) 的单调性相反； ③函数y =f (x ) 与函数y =f (x ) +C （C 为常数）的单调性相同； ④当C > 0（C 为常数）时，y =f (x ) 与y =C f (x ) 的单调性相同； 当C < 0（C 为常数）时，y =f (x ) 与y =C f (x ) 的单调性相反； ⑤函数f (x ) 、g (x ) 都是增（减）函数，则f (x ) +g (x ) 仍是增（减）函数； ⑥若f (x ) >0, g (x ) >0且f (x ) 与g (x ) 都是增（减）函数，则f (x ) g (x ) 也是增（减）函数； 若f (x ) <0, g (x ) <0且f (x ) 与g (x ) 都是增（减）函数，则f (x ) g (x ) 也是减（增）函数； n f (x ) >0f (x ) k f (x )(k >0) f ⑦设，若、、(x )(n >1) 都是1 增函数，而f (x ) 是减函数. 5、函数的最大（小）值定义 （ⅰ）一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ； （2）存在x 0∈I ，使得f(x0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值． （ⅱ）一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足 （1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≥ M ； （2）存在x 0∈I ，使得f(x0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值. 【注意】 1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x0) = M； ○ 2 函数最大○（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）． 6、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○2 利用图象求函数的最大（小）值 ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 ○如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)； 小值f(b)； 【重点】函数的单调性及其几何意义，函数的最大（小）值及其几何意义 【难点】利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值. 1.3.2 函数的奇偶性 【知识要点】 1、偶函数定义 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． 2、奇函数定义 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 【注意】 ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②函数可能没有奇偶性, 也可能既是奇函数又是偶函数。 ③由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． 3、具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 4、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f(－x) 与f(x)的关系； ③作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x) －f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x) ＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 5、函数奇偶性的性质 ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. ②奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于y 轴对称. ③若f (x ) 为偶函数，则f (-x ) =f (x ) =f (|x |). ④若奇函数f (x ) 定义域中含有0，则必有f (0)=0. ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数F (x ) 与一个偶函数G (x ) 的和（或差）”. 如设f (x ) 是定义域为R 的任一函数， 则F (x ) =G (x ) =f (x ) +f (-x ) . 2f (x ) -f (-x ) ，2 ⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. ⑦既奇又偶函数有无穷多个（f (x ) =0，定义域是关于原点对称的任意一个数集）. 【重点】函数的奇偶性的定义及其几何意义 【难点】判断函数的奇偶性的方法与格式 第二章 基本初等函数 2.1 指数函数 2.1.1指数与指数幂的运算 【知识要点】 1、根式的概念： 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0 【注意】 (1)n =a (2)当 n =a ，当 n =|a |=⎨ 2、分数指数幂 （1 ）正数的正分数指数幂的意义，规定：a （2）正数的正分数指数幂的意义：a _m n ⎧a , a ≥0 -a , a <0⎩ m n =a >0, m , n ∈N *, 且n >1) (a >0, m , n ∈N *, 且n >1) = 1a m n （3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3、实数指数幂的运算性质 （1）a r a s =a r +s (a >0, r , s ∈R ) （2）(a r ) s =a rs (a >0, r , s ∈R ) （3）(a b) =a b (a >0, b >0, r ∈R ) 【注意】 在化简过程中，偶数不能轻易约分；如[(1]≠11 【重点】分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质 【难点】根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂． 122 r r r 2.1.2指数函数及其性质 【知识要点】 1、指数函数的概念 一般地，函数y a x 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2 【重点】指数函数的的概念和性质． 【难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 2.2 对数函数 2.2.1对数与对数运算 【知识要点】 1、对数的概念 一般地，如果a =N ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x =log a N （ a — 底数， N — 真数，log a N — 对数式） 【注意】 （1）注意底数的限制，a>0且a ≠1； （2）真数N>0； （3）注意对数的书写格式． 2、两个重要对数 （1）常用对数：以10为底的对数, log 10N 记为lg N ； （2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , log e N 记为ln N ． 3、对数式与指数式的互化 x x =log a N ⇔a x =N 对数式 指数式 对数底数← a → 幂底数 对数← x → 指数 真数← N → 幂 【结论】 （1）负数和零没有对数 （2）log a a=1, loga 1=0，特别地，lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 （3）对数恒等式：a 4、如果a > 0，a ≠ 1，M > 0，N > 0 有 （1）log （=log a M +log a N a M ∙N ） 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 （1）log a log a N =N M =log a M -log a N N n 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 （3）log a M =n log a M （n ∈R ） 一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对数n 倍 【说明】 （1）简易语言表达:”积的对数=对数的和”…… （2）有时可逆向运用公式 （3）真数的取值必须是(0,＋∞) log a (M ±N )≠log a M ±log a N 5、换底公式 （4）特别注意：log a MN ≠log a M ⋅log a N log a b = log c b lg b =(a >0, a ≠1, c >0, c ≠1, b >0) log c a lg a n 1n ②log a b log b c log c d =log a d ③log a m b =log a b m log b a 利用换底公式推导下面的结论 ①log a b = 【重点】对数的概念，对数式与指数式的相互转化 【难点】对数概念的理解，换底公式的应用 2.2.2 对数函数及其性质 【知识要点】 1、 对数函数的概念 函数y =log a x (a>0，且a ≠1) 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 【注意】 （1 ）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y =log a y =log a x +2 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． （2）对数函数对底数的限制：a>0，且a ≠1 2、对数函数的图像与性质 对数函数y =log x (a>0，且a ≠1) 【重要结论】 在log b 中，当a ,b 同在(0,1) 或(1,+∞) 内时，有log b>0; a a 当a,b 不同在(0,1) 内，或不同在(1,+∞) 内时, 有log b<0. a 【口诀】底真同大于0（底真不同小于0）. （其中，底指底数，真指真数，大于0指log b 的值） a 3、如图，底数 a 对函数y =log a x 的影响. 规律：底大枝头低, 头低尾巴翘 4考点 Ⅰ、log a b, 当a,b 在1的同侧时, loga b >0；当a,b 在1的异侧时, loga b <0 Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大小，同底找对应的对数函数，底数不同真数也不同利用（1）的知识不能解决的插进1(=loga a) 进行传递. Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0，值域求法用单调性. Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用1=loga a ，用y=1去截图象得到对应的底数。 Ⅴ、y=ax (a>0且a ≠1) 与y=loga x(a>0且a ≠1) 互为反函数，图象关于y=x对称。 5 比较两个幂的形式的数大小的方法 (1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较, 可以利用指数函数的单调性来判断. (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较, 可以利用比商法来判断. (3)对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较, 则应通过中间值来判断. 常用1和0. 6 比较大小的方法 (1)利用函数单调性(同底数) ；(2)利用中间值（如:0,1.）；(3)变形后比较；(4)作差比较 【重点】掌握对数函数的图象与性质 【难点】对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用 2.3幂函数 【知识要点】 1、幂函数定义 一般地，形如y =x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． 2、幂函数性质归纳 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+ ∞）上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； （3）α<0 时，幂函数的图象在（0，+∞）上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 【重点】从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质 【难点】画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律 第三章 函数的应用 3.1函数与方程 3.1方程的根与函数的零点 【知识要点】 1、函数零点的概念 对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x 叫做函数的零点. （实质上是函数y=f(x)与x 轴交点的横坐标） 2、函数零点的意义 方程f(x)=0 有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y=f(x)有零点. 3、零点定理 函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间（a,b ）至少有一个零点c ，使得f( c)=0,此时c 也是方程 f(x)=0 的根. 4、函数零点的求法 求函数y=f(x)的零点： （1）（代数法）求方程f(x)=0 的实数根； （2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 5、二次函数的零点 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0). （1）△＞0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点． （2）△＝0，方程f(x)=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． （3）△＜0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． 【重点】零点的概念及存在性的判定 【难点】零点的确定 3.1.2用二分法求方程的近似解 【知识要点】 1、概念 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 2、用二分法求方程近似解的步骤 ⑴确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε； ⑵求区间(a,b)的中点c; ⑶计算f(c), ①若f(c)=0,则c 就是函数的零点； ②若f(a)f(c)<0,则令b=c（此时零点x 0∈(a,c)） ③若f(c)f(b)<0,则令a=c（此时零点x 0∈(c,b)） (4)判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<ε, 则得到零点近似值为a(或b); 否则重复⑵~⑷ 【重点】通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识 【难点】恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解 3.2几类不同增长的函数模型 【知识要点】 1、评价模型 给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况 2、几个增长函数模型 一次函数：y=ax+b(a>0) 指数函数：y=ax (a>1) 指数型函数： y=kax (k>0,a>1) 幂函数： y=xn （ n ∊N*) 对数函数：y=loga x(a>1) 二次函数：y=ax2+bx+c(a>0) 增长快慢：V(ax )>V(xn )>V(loga x) 解不等式 (1) log2x< 2x < x2 (2) log2x< x2 < 2x 3、分段函数的应用 注意端点不能重复取，求函数值先判断自变量所在的区间. 4、二次函数模型 y=ax2+bx+c(a≠0) 先求函数的定义域，在求函数的对称轴，看它在不在定义域内，在的话代进求出最值，不在的话，将定义域内离对称轴最近的点代进求最值. 5、一元二次方程ax 2+bx+c=0（a>0）的根的分布 【重点】将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 【难点】怎样选择数学模型分析解决实际问题．