《复合函数的分解》

科技信息

高校理科研究

关于“复合函数的分解准则”

保山学院数学系

何冬梅

杨智明

［摘要］复合函数的合理分解，是复合函数求导的关键所在。对于复合函数的分解准则，笔者就教学实际，浅谈一下自己的看法。

［关键词］复合函数分解准则看法复合函数的合理分解，是复合函数求导的关键，在微积分中有着十

而对于复合函数的分解准则，笔者就教学过程中遇到的分重要的意义。

问题，从以下几点谈谈自己的看法。

一、单项式、多项式的定义单项式的定义：任意个字母和数字的积的形式的代数式，称为单项式。

多项式的定义：若干个单项式的和组成的式子，叫做多项式。从多项式的定义可知，每个字母的次数只能是正整数。二、一元复合函数的概念、分解准则设函数y=f(u),u ∈U ，u=φ(x),x∈X 且由x ∈X 确定的函数值u=φ(x)落在函数f(u)的定义域U 内，则y=f[φ(x)]称为复合函数。u 称为中间变量，u=φ(x)称为里层函数，y=f(u)称为外层函数。

评判分解合理与否的准则是，各层函数是否为基本初等函数或者多项式。

最初，笔者对以上分解准则毫不怀疑，由于布置练习题让学生做时，学生往往参照课本后边的参考答案，致使笔者很难及时发现学生出现的问题，于是干脆布置做课本P78-P79的第5题，只不过改做“分解下列复合函数”。在这过程中笔者发觉有好几题的分解得到的各层函数，“是多项式或基本初等函数”。比如例1对y=Ln(x+姨) 的并不一定

分解有两种分法：①y=Lnu，u=x+v，v=t，t=1+x2(即分成四层函数) ，这符②y=Lnu，u=x+v，v=1+x2(即分成三层函数) ，应当也合以上分解准则；对，甚至可说这种分解更合理、更直接，可从复合函数的求导这里来推断其正确性即

y ′=1u ′=1(1+1V ·V ′)=1(1+1V ·2X )

u u 2u 2

11=(1+)

x+姨姨-1

-1

1

1二元复合函数的概念三、

设Z=f(u,v)是u ，v 的二元函数，u ，v 又都是x ，y 的二元函数：u=φ(x，y) ，v=φ(x，y) ，那么通过中间变量u 、v 、Z 就成为x 、y 的二元复合函数，即

Z=f(u,v)=f[φ(x，y) ，φ(x，y)]例3：分解函数y=(1+2x2) sinx 令y=uv ，u=1+2x2，v=sinx

v

函数y=u就不是一个基本初等函数

3

例4：分解函数Z=(x-2y)

令u=(x-2y) 3，v=y-3x ，z=u

u 既不是基本初等函数，也不是多项式，很显然，例4是一个二元函数，例2、例3都是一元函数，但从例2、例3的分解过程来看，例2、例3的分解中都涉及到了二元函数。例2、例3、例4的分解，用以上准则就套不上。

笔者也由以下一段话受到启示：对复合函数的求导，关键是要弄清该函数是由哪些基本初等函数或简单函数(指由常数和基本初等函数经过有限次四则运算后得到的函数) 复合而成的。

因此，笔者认为，不管是一元函数、二元函数，还是多元函数的分解，其分解准则可以叙述为以下两种：一是分解得的各层函数是基本初等函数或简单函数(简单函数是指由常数和基本初等函数经过有限次四则运算后得到的简单得不能再简单的函数) ；二是分解得的各层函数是基本初等函数或多项式的形式。其中，多项式的形式，指的是数学表达式很象多项式但又不是真正的多项式，因为式子中的字母的次数可以为负数、分数，而多项式定义中的字母的次数只能是正整数。例如u 可

表示为uv -1；等式u=x+v的右边可看做是多项式的形式。

综上所述，对于复合函数的分解准则，以上两种叙述方式的分解才是较为合理的分解。并且分解过程一定要做到不漏、不重、熟练、准确。参考文献

张国楚等. 大学文科数学. 北京：高等教育出版社,2007.5［1］［2］四川大学数学系高等数学教研室编. 高系数学. 北京高等教育出版社,1989.2

［3］西北工业大学高等数学教研室编. 高等数学学习辅导问题、解法、常见错误剖析. 北京科学出版社,2007.6

［4］张顺燕. 数学的思想、方法和应用. 北京大学出版社,2001.1各种发散思维能力，使之融合于具体的教学之中。下面以图形发散为例，通过几个例子着重说明怎样在大学物理教学中进行单项的基本发散思维形态训练，为大学阶段后续课学习打好基础，做好铺垫。

例如，在机械振动中，简谐振动是最简单，最基本的振动。任何复杂的振动都可看作几个简谐振动叠加的结果，所以简谐振动是这一章的重点[3]。几乎所有版本的《大学物理》教材都以水平放置的弹簧振子为例来讨论简谐振动的特征。那么，在教学中为培养同学们的发散性思维，可以把水平放置的弹簧振子加以引申，变为如图2的几种情形。

我们可以证明，以上3种情形都在做简谐振动。4、结论

通过对刚入学的大学生以上几个方面能力的培养，使他们在各方面能力都有所提高。

参考文献［1］赵近芳. 大学物理学［M ］. 北京：北京邮电大学出版社，2007:4-16［2］王燕生. 工科大学物理［M ］. 沈阳：东北大学出版社，1995：30-38［3］张三慧. 大学物理学［M ］. 北京：清华大学出版社，2010:171-

180

1

而x+V并不是多项式，这与准则不符。在这里的第①种分解倒显得有点牵强。

例2对y=arctan2x 的分解如下：

令y=arctanu ，u=v ,v=2x,t=1-x 2

而这里的v 并不是多项式或基本初等函数，然而这种分解却是合

理的，这究竟是怎么回事？（上接第523页）

依据上述智力结构，在大学物理教学中，要开发学生的智力，就要在教学中把思维运作、内容和结果三方面有机地结合起来。具体到发散性思维训练，就是把图1中的发散性加工运作与4种内容和6种结果

如图形发散性加工、行为发散性结合产生24种不同的单项训练形式，

加工等。

1图2

在吉尔福特理论的指导下，在大学物理教学中开展发散性思维的训练，也就是从基础入手，结合物理学科的知识内容，分项训练学生的

关于“复合函数的分解准则” 科技信息高校理科研究

关于"复合函数硇分秘准则''

保山学院数学系何冬梅杨智明

[摘要]复合函数的合理分解,是复合函数求导的关键所在.对于复合函数的分解准则,笔者就教学实际,浅谈一下自己的看法.

【关键词]复合函数分解准则看法

复合函数的合理分解,是复合函数求导的关键,在微积分中有着十 分重要的意义.而对于复合函数的分解准则,笔者就教学过程中遇到的 问题,从以下几点谈谈自己的看法.

一

,单项式,多项式的定义

单项式的定义:任意个字母和数字的积的形式的代数式,称为单项 式.

多项式的定义:若干个单项式的和组成的式子,叫做多项式. 从多项式的定义可知,每个字母的次数只能是正整数.

二,一元复合函数的概念,分解准则

设函数y=f(u),u?U,u:'P(x),xEX且由x?x确定的函数值u='P(x) 落在函数u)的定义域u内,则y=f【'p(x)】称为复合函数.u称为中间变 量,u='P(x)称为里层函数,y=f(u)称为外层函数.

评判分解合理与否的准则是,各层函数是否为基本初等函数或者 多项式.

最初,笔者对以上分解准则毫不怀疑,由于布置练习题让学生做 时,学生往往参照课本后边的参考答案,致使笔者很难及时发现学生出 现的问题,于是干脆布置做课本P78-P79的第5题,只不过改做"分解 下列复合函数".在这过程中笔者发觉有好几题的分解得到的各层函数, 并不一定"是多项式或基本初等函数".比如例l对y=Ln(x+)的

分解有两种分法:?y=hIu,H=X+V,V-----t,t=1+x2(即分成四层函数),这符 合以上分解准则;?y=Lnu,u=x+v,v=1+x2(1~]1分成三层函数),应当也 对,甚至可说这种分解更合理,更直接,可从复合函数的求导这里来推 断其正确性即

y=

}=}(1+V,?V)=}(1+争,,-?2x)

:———,f1+——L,

x+,/,,/i

L

而x+v并不是多项式,这与准则不符.在这里的第?种分解倒显 得有点牵强.

例2对y=al-ctan的分解如下:

令yaretanu,u~-v,V=2x,t:1一x2

而这里的并不是多项式或基本初等函数,然而这种分解却是合 t

理的,这究竟是怎么回事?

三,二元复合函数的概念

设Z=f(u,v)gu,v的二元函数,u,v又都是x,Y的二元函数:u='P(x,y),

V----(x,y),那么通过中间变量u,v,z就成为x.y的二元复合函数,即 z=f(u,v】=f【'P(x,y),(x,y)】

例3:分解函数y=(1+2x2)m

令y,u=l+2x2,v=sinx

函数y=u就不是一个基本初等函数

例4:分解函数z=~x-2.

yy—

y-Sx

令u=(x一2y)3,v=y一3x,Z----U

既不是基本初等函数,也不是多项式,很显然,例4是一个二元 V

函数,例2,例3都是一元函数,但从例2,例3的分解过程来看,例2,例 3的分解中都涉及到了二元函数.例2,例3,例4的分解,用以上准则就 套不上.

笔者也由以下一段话受到启示:对复合函数的求导,关键是要弄清 该函数是由哪些基本初等函数或简单函数(指由常数和基本初等函数 经过有限次四则运算后得到的函数)复合而成的.

因此,笔者认为,不管是一元函数,二元函数,还是多元函数的分 解,其分解准则可以叙述为以下两种:一是分解得的各层函数是基本初 等函数或简单函数f简单函数是指由常数和基本初等函数经过有限次四 则运算后得到的简单得不能再简单的函数);二是分解得的各层函数是 基本初等函数或多项式的形式.其中,多项式的形式,指的是数学表达 式很象多项式但叉不是真正的多项式,因为式子中的字母的次数可以 为负数,分数,而多项式定义中的字母的次数只能是正整数.例如可 V

上

表示为u,广一;等式u:x+v.的右边可看做是多项式的形式. 综上所述,对于复合函数的分解准则,以上两种叙述方式的分解才 是较为合理的分解.并且分解过程一定要做到不漏,不重,熟练,准确. 参考文献

[1]张国楚等.大学文科数学.北京:高等教育出版社,2007.5 [2]四川大学数学系高等数学教研室编.高系数学.北京高等教育出 版社.1989.2

[3]西北工业大学高等数学教研室编.高等数学学习辅导问题,解法, 常见错误剖析.北京科学出版社,2007.6.

.数学的思想,方法和应用.北京大学出版社,2001.1 [4]张顺燕

(上接第11l页)

依据上述智力结构,在大学物理教学中,要开发学生的智力,就要 在教学中把思维运作,内容和结果三方面有机地结合起来.具体到发散 性思维训练,就是把图1中的发散性加工运作与4种内容和6种结果

结合产生24种不同的单项训练形式,如图形发散性加工,行为发散性 加工等.

l图2.

在吉尔福特理论的指导下,在大学物理教学中开展发散性思维的 训练,也就是从基础人手,结合物理学科的知识内容,分项训练学生的 一

112,

各种发散思维能力,使之融合于具体的教学之中.下面以图形发散为 例,通过几个例子着重说明怎样在大学物理教学中进行单项的基本发 散思维形态训练,为大学阶段后续课学习打好基础,做好铺垫. 例如,在机械振动中,简谐振动是最简单,最基本的振动.任何复杂 的振动都可看作几个简谐振动叠加的结果,所以简谐振动是这一章的 重点.几乎所有版本的《大学物理》教材都以水平放置的弹簧振子为例 来讨论简谐振动的特征.那么,在教学中为培养同学们的发散性思维, 可以把水平放置的弹簧振子加以引申,变为如图2的几种情形. 我们可以证明,以上3种情形都在做简谐振动.

4,结论

通过对刚入学的大学生以上几个方面能力的培养,使他们在各方 面能力都有所提高.

参考文献

[1]赵近芳.大学物理学[M].北京:北京邮电大学出版社.2007:4—16 [2]主燕生.工科大学物理[M].沈阳:东北大学出版社.1995:30—38 [3]张三慧.大学物理学[M].北京:清华大学出版社,2010:171—180

第17卷第1期

1997年2月数学研究与评论JOU RNAL O F M A TH E M A T I CAL R ESEA RCH AND EXPO S IT I ON

Ξ. 17N o . 1V o l Feb . 1997关于整函数在复合意义之下的因子分解

李　玉　华

(云南师范大学数学系, 昆明650092)

关键词　整函数, 因子分解.

分类号　AM S (1991) 30D 20 CCL O 174. 52

如存在亚纯函数f 与g , 使亚纯函数F =f . g , 则称F 具有左因子f 和右因子g , f . g 为

. 如在F 的任意分解中, 当其左(右) 因子不是分式线性变换时, 其右(左) 因子必F 的一个分解

为分式线性变换, 则称F 为右(左) 素的. 如F 既为左素, 又为右素, 则称F 为素的.

[1]1977年H . U rabe 与C . C . Yang 证明了:

定理A 　设c j (1≤j ≤m ) 与Αj (1≤j ≤m ) 为两组非零有穷复数, m ≥2. 若(i ) 　当m =2时,

R ; Αk -Αl

i Η(ii ) 　ϖΗ) , 使Α0∈[0, 2Πj ∈{z :R e (e z ) ≥0}(j =1, 2, …, m ) .

m R , 当m ≥3时, 对任意判别的j , k , l (1≤j , k , l ≤m ) 都有 R , ΑΑ2k

则F (z ) =∑j =1c j e Αj z 及其各阶导数均为素的.

本文将定理A 改进为:

定理1　设c j (z ) (j =1, …, m +1) 为一组多项式, 前m (≥2) 个均不蜕化为零, Αj (j =1, …,

m

m ) 为一组复数, 满足定理A 中条件(i ) 及(ii ) , 置F (z ) =∑j =1c j (z ) e Αj z +c m +1(z ) , 则F (n ) (z ) (n =0, ±1, ±2, …) 都为素的.

Χz +b 推论　若p (z ) 是次数为奇数的多项式, Χ及b 为复常数, 则co s z e +p (z ) 是素的.

以上推论说明[2]中的一个预测是正确的.

为了证明这个定理, 应用与[1]中类似的方法, 我们建立了下述两个引理:引理1　设Q 1(z ) 与Q 2(z ) 为不蜕化为零的有理函数, Α, Β, a 及b 为非零有穷复数, {z n }为无界数列, 若li m Q 1(z n ) e n =a , li m Q 2(z n ) e n =b , 则n →∞n →∞

m ∈R . Α引理2　设c j (z ) (j =1, …, m +1) 如定理1所述, Αj (j =1, …, m ) 为m 个判别有穷复数, Αz Βz

F (z ) =∑c (z ) e j

j =1Αj z +c m +1(z ) (m ≥2) , 则以下两种情况至少有一种发生:

(z ) =0均至多只有有穷个解; (1) 　对Πa ∈C , 方程组F (z ) =a 与F ′

Ξ1994年2月6日收到.

∈R 或者∈R . ΑΑk k -Αl

利用引理2, 与定理A 的证明类似, 即可证明定理1. 在本文中, 还得到如下结果:(2) 　存在判别的j , k , l (1≤j , k , l ≤m ) 使

定理2　f (z ) =co s z e 与g (z ) =co s 要证定理2, 主要依据以下几条引理:

[3]co s z +z z e ∞co s z -z 都是素的.

引理3　设f (z ) 为整函数, 若无界数列{a n }使∪{z :f (z ) =a n }位于一条直线上, 则f (z ) n =1只能为多项式且其次数不超过2.

[4]引理4　设F 为非周期整函数, 则F 为素的当且仅当F 为E 2素(这里E 2素是指将因子限制在整函数范围内时, 函数为素的) .

由零分布状况不难看出, 定理2中的f , g 及f g 均为非周期的. f 与g 为素的, 但f g 不为素的, 从而也说明[5]中一个预测的回答为否定的.

参　考　文　献

δdaiM ath . , 29(1977) , 167-178. [1]　H . U rade , C . C . Yang , Ko

[2]　F . Gro ss , C . C . Yang , T ran . Am er . M ath . Soc . , 192(1974) , 347-355.

[3]　A . Edrei , T ran . Am er . M ath . Soc . , 78(1955) , 276-293.

[4]　F . Gro ss , Indian J . Pu re and A pp l . M ath . , 2(1971) , 561-571.

[5]　C . C . Yang , 宋国栋、何育赞, 数学进展, 20(1991) , 142-151.

微积分运算中的重要基础 ———分解复合函数

杨 婷

()贵州广播电视大学 , 贵州 贵阳 550004

摘 要 : 高等数学作为基础课历来是很多学生学习上的拦路虎 , 如何教好 、如何学好高等数

学是一个很重要的课题 。本文对微积分运算中 , 分解复合函数的作用进行了分析 , 强调了其

基础和重要性 , 以引起教师和学生的重视 。

关键词 : 分解 ; 基本初等函数 ; 复合函数 ; 换元积分

中图分类号 : O172 文献标识号 : A 文章编号 : 1673 - 9507 ( 2007 ) 01 - 0081 - 02

(对很多经济类和理工类的学生来说 , 高等数学 微积 , 经常会错误百出 。为此 , 我在教学中从一开始就要求学 意性

) 分 的学习存在较多困难 , 而困难之一就是运算 , 诸如极 生遵循“从外到内 , 逐层分解 ”的原则进行练习 。 限运算 、求导数运算 、求微分运 算 、求积分运算等等 , 特 y = ln sin x可分解 例 1 y = lnv v = s in u 别是积分运算 , 其综合性较强 , 而数学本身又具有较强的 2 u 2 x逻辑性 、前后知识的连贯性 , 没有之前导数运算良好的基 u = x y = e可分解 y = eu = xZ 础 , 可以说是寸步难行 。根据我多年的教学经验分析 , 学 这样做的益处是训练了学生思维的有序性 , 同时为之后 生头疼导数运算和积分运算 , 实际上是难在求复合函数的 的运算打好基础 。

导数和针对复合函数的换元积分 , 其主要原因还是没有掌 二 、分解应用于复合函数求导 握好复合函数 。 在复合函数的求导时 , 一般用的是“锁链法则 ”, 即对复 我们知道 , 微积分讨论的函数主要是初等函数 , 常见 ( ( ) ) 合函数 y = f g x , 首先引入中间变量 u, 将函数分解为 y 的是复合函数 。任何一个初等函数都可以看作由基本初等

( ) ( ) = f u , u = g x , 然后求导函数经过四则运算或复合步骤而得 , 讨论一个初等函数就

必须把它分解 , 看它由哪些基本初等函数构成 , 然后利用 d y d y d u = ? 我们已掌握的基本初等函数的性质 、公式 , 得到问题的求 d x d u d x 解 。这样看来 , 将一个较为复杂的函数通过引入中间变量 d y 2 2 ( ) 例 2 已知 y = cosx+ 1求导数= , 拆成一串 基 本 初 等 函 数 或 基 本 初 等 函 数 的 四 则 运 算 形 式 d x ———分解复合函数的确是一个十分重要的基础 。 2 2 解 :首先进行复合函数分解 y = u u = cosv v = x + 1 一 、如何分解复合函数 dyd y d u d v = ? ? 由“锁链法则 ”得 ( ) ( ) ( ( ) ) 一般地 , 如果 y = f u , u = g x , 则 y = f g x 称为dx d u d x d x ( ) ( ) f u和 g x 这两个函数的复合函数 。而函数常见的形式是 y 2 2 ( ) ( )d u d cosv d 2x+ 1 = ? ? ( ( ) ) = f g x , 需要进行分解找出其中的复合关系 。比 如 y = du d v d x ln s in x, 可分解为 y = ln u, 其中 u = sinx。 在具体解题引 入 ( ) = 2 u? - s in v?4x 中 间 变 量 时 , 很 多 学 生 的 思 路 是 发 散 2 ( )= - 4 xs in2 x+ 1 的 , 想到那里 , 设到那里 , 有时甚至从中间随便找一个函数设 从此例中我们看到 , 复合函数求导的第一步就是分解 , 出变量 。例如 , y = ln s in x很多学生是这样做的 :令 u = x, 则 没有正确的分解 , 正确的求导就无从谈起 。求导熟练后 , 不必 v = s in u, y = ln v, 这样做当然也没有错 , 达到了分解的目的 , 每一个中间变量全部设 出 来 , 而 是 遵 循“从 外 到 内 , 逐 层 分

但是对衔接以后的运算却起不到很好的作用 , 并且由于其随解 , 逐层求导 , 然后乘积 ”的十六字原则 , 边分解边求导 , 分解

一步 , 求一个导数 。这样 , 上例可以作如下解 : ′ 2 2 ′ 2 ) ( ( ) ) ) ( ( ( y= 2 cos x+ 1? cos x+ 1 = 2cos x+ 1 ? - s in x 2 2 ′ 2 ( ) ) ( ) ( )x+ 1 ? x+ 1= - 2x s in2 x+ 1

收稿日期 : 2006 - 11 - 20

作者简介 : 杨婷 ( 1964111 ,) , 女 , 贵州广播电视大学 , 数学系副教授 。研究方向 : 数学教育 。

?81?

安顺学院学报 2007年第 1 期

从解题过程我们可以看到 , 分解运算贯穿整个的复合函 , 也常常用到复合函数的分解 。不论用什么 法解题的过程中

数求导过程 , 要达到正确 、熟练地应用十六字原则求导 , 分解 方法 , 分解是必不可少的步骤 , 凑微分法尽管没有设出中间 显然是必不可少的重要基础 。 变量 , 但首先也还是要分解 , 实际上对分解的要求更高 , 很多

学生拿到积分的题目一筹莫展 , 我认为原因之一就是复合函 三 、分解应用于换元积分法 数分解没有掌握 。 分解运算不只在复合函数求导中举足轻重 , 在换元积分 四 、分解复合函数时需要注意的几个问题 : 中同样有着十分重要的作用 , 特别在第一换元法中 。 11掌握基本初等函数是正确分解的重要前提 。 基本初 我们知道 , 对复合函数的积分 , 通常采用第一换元积分

等函数是构成初等函数的基本元素 , 讨论任何一 法 , 即

′个函数必须以基本初等函数为基础 。因此 , 分解的前提是掌 φ( ) φ( ) 设 x = u, 则 du = x d x, 代入积分得

握基本初等函数 , 包括它的名称和书写形式 。

φ( )(()) ( ) ( )( x 其 + C = F I = f u? du= F x + C 例如 y = a rc ta n x - 1 , 分解为 y = a rcu u = tan v v =? x - 1显然是错误的 , 其原因是对基本初等函数不了解 , y = ) ( ) ( ) )中 F ′u= f u ) ( a rcu不是函数 , 更不是基本初等函数 。y = a rc tan x - 1 正确 而要能正确地应用换元积分法求解积分 , 关键还是要准 的分解应该为 y = a rc ta nu u = x - 1。 ′φ( ) ) ( ) (φ确地分析出被积函数 f x ?x 中的复合关系 , 即能 21应分析出所有的复合关系 , 不要遗漏 。 正确地分解复合函数 。 2 sinxu 2 例 如将 y = e分解为 y = e, u = s in x显然是不对的 , 2 2 因为 u = = s inx不是基本初等函数 , 漏掉了一层复合 。正确 x例 3 求积分 d x u 2 ? 3 的分解应该是 y = e, u = s inv, v = x。遗漏某一层复合将会 x- 1 导致之后一系列运算的错误 。 2 x12 ?xdx, 其中复合函数 分析 : dx = 36不要进行不必要的分解 , 将问题复杂化 。 ? 3 3 ? xx- 1 - 1

1 1 3 ′ 2 ( ) 可分解为 f x= , u = x- 1, 而 u= 3 x( ) f x = 3 u x- 1 2 2 例如 u = 应 分 解 为 y = u , u =+ 1 xa rccos 2 正好是另一函数 x(只是相差常数 ) 。 3 2 2 2 解 :设 u = x- 1 则 du = 3xd x a rccosv, v = T, T = x + 1, 不少学生还将 T = x + 1分解为 代入原积分得 2 2 T = T+ T, T= x , T= 1, 纯粹是多余 。因为只需要分解为 1 2 1 2 xdx = ?3 基本初等函数或基本初等函数的四则运算即可 , 再分解反而 x- 1

把问题复杂化了 , 不便于问题的求解 。 1 1 2 2 3 x - 1 + C d u = u + C = =?3 3 3 综上所述 , 复合函数的分解在微积分的运算中确实是不 u

容忽视的基础 , 是一个十分重要的基本功 , 教师教学中应该 熟练后 , 可不必设出变量 , 用凑微分法进行计算 : 2 引起足够重视 , 学生也应加强练习 , 只有打好基础 , 练好基本x 1 13dx = d x ? ? 3 3 功 , 顺利的学好高等数学才成为可能 。 3 xx- 1 - 1

2 1 3 )( = d x- 1 3 ?3 x参考文献 : 21 - [ 1 ]柳重堪 ?高等数学 [ M ] 1 中央广播电视大学 出版社 , 1999 2 3 x- 1 + C = 年 。 3

除了第一换元积分法外 , 在第二换元积分法和分部积分

Ana lyz in g an im por tan t e lem en ts—ana lyz in g com poun d fun c t ion

of d ifferen t ia l an d in tegra l ca lcu la t in g

Ya n g Tin g

( )Gu izhou R ad io and TV U n ive rsity, Gu iyang 550004 , Gu izhou, Ch ina

A b stra c t:A dvanced m a them a tic s is a ba sic cu rricu lum , u sua lly, wh ich is a ha rd nu t to c rack fo r m any studen ts1 It is an impo rtan t p rob lem to how to teach the advanced m a them a tic s we ll and study it we ll1Th is p ap e r an2 a lyzed the p u rpo se of ana lyzing compound func tion in d iffe ren tia l and in tegra l ca lcu la ting, and stre ssed its funda2 m en ta lity and impo rtance to m ake teache rs and studen ts a ttach impo rtance to it1

Key word s: ana lyzing; ba sic e lem en ta ry func tion; compound func tion; tran sfo rm in tegra ls1

()责任编辑 : 王德红 ?82?

微积分运算中的重要基础——分解复合函

数

第9卷第1期

2007年3月

安顺学院

JOURNALOFANSHUNCOLLEGE vo1.9No.1

MaI".2o07

徽积分运算中的重要基础

杨婷

分解复合函数

(贵州广播电视大学,贵州贵阳550004) 摘要:高等数学作为基础课历来是很多学生学习上的拦路虎,如何教好,如何学好

高等数

学是一个很重要的课题.本文对微积分运算中,分解复合函数的作用进行了分析,

强调了其

基础和重要性,以引起教师和学生的重视.

关键词:分解;基本初等函数;复合函数;换元积分 中图分类号:O172文献标识号:A文章编号:1673—9507(2007)01—0081—02

对很多经济类和理工类的学生来说,高等效学(微积 分)的学习存在较多困难,而困难之一就是运算,诸如极 限运算,求导数运算,求微分运算,求积分运算等等,特 别是积分运算,其综合性较强,而数学本身又具有较强的 逻辑性,前后知识的连贯性,没有之前导数运算良好的基 础,可以说是寸步难行.根据我多年的教学经验分析,学 生头疼导数运算和积分运算,实际上是难在求复合函数的 导数和针对复合函数的换元积分,其主要原因还是没有掌

握好复合函数.

我们知道,微积分讨论的函数主要是初等函数,常见 的是复合函数.任何一个初等函数都可以看作由基本初等 函数经过四则运算或复合步骤而得,讨论一个初等函数就 必须把它分解,看它由哪些基本初等函数构成,然后利用 我们已掌握的基本初等函数的性质,公式,得到问题的求 解.这样看来,将一个较为复杂的函数通过引入中间变量 拆成一串基本初等函数或基本初等函数的四则运算形式 ——

分解复合函数的确是一个十分重要的基础.

一

,如何分解复合函数

一

般地,如果y=f("),"=g(),则Y=f(g())称

为f(")和g()这两个函数的复合函数.而函数常见的形式 是Y=f(g()),需要进行分解找出其中的复合关系.比如Y =

lnsinx,可分解为Y=lnu,其中"=sinx.

在具体解题引入中间变量时,很多学生的思路是发散 的,想到那里,设到那里,有时甚至从中问随便找一个函数设 出变量.例如,Y:lnsin很多学生是这样做的:令": ?z,则:sinu,Y=lnv,这样做当然也没有错,达到了分解 的目的,但是对衔接以后的运算却起不到很好的作用,并且 由于其随意性,经常会错误百出.为此,我在教学中从一开始 就要求学生遵循"从外到内,逐层分解"的原则进行练习. 例1Y=lnsin可分解Y=lnv口=sinu

":Y='可分解Y="=X2z

这样做的益处是训练了学生思维的有序性,同时为之后 的运算打好基础.

二,分解应用于复合函数求导

在复合函数的求导时,一般用的是"锁链法则",即对复 合函数y=f(g(ar)),首先引入中间变量l',将函数分解为Y =f("),"=g(),然后求导

坐:.

d.rdudx

例2已知y=COS2(+1)求导数塞=,

解:首先进行复合函数分解Y=""=COST)口= +1

Ca"锁链法则",履d坐

.ra,z

=

a?a挛x

?

a

孛xlI

d(")dcos'vd(2x+1)一''———一

=

2u?(一sinv)?4x

=一

4xsin2(+1)

从此例中我们看到,复合函数求导的第一步就是分解, 没有正确的分解,正确的求导就无从谈起.求导熟练后,不必 每一个中间变量全部设出来,而是遵循"从外到内,逐层分 解,逐层求导,然后乘积"的十六字原则,边分解边求导,分解 一

步,求一个导数.这样,上例可以作如下解:

=

2cos(+1)?('"05(+1)):2cos(+1)?(一

sin.r.(+1))?(+1)'=一2xsin2(+1)

收稿日期:2006—1l一20

作者简介:杨婷(1964.11,),女,贵州广播电视大学,数学系副教授.研究方向:数学教

育.

?

81?

安顺学院2007年第1期

从解题过程我们可以看到,分解运算贯穿整个的复合函 数求导过程,要达到正确,熟练地应用十六字原则求导,分解 显然是必不可少的重要基础.

三,分解应用于换元积分法

分解运算不只在复合函数求导中举足轻重,在换元积分 中同样有着十分重要的作用,特别在第一换元法中. 我们知道,对复合函数的积分,通常采用第一换元积分 法.即

设()=",则du=()出,代人积分得

f=lf(")?du=F()+C=F(()+C)(其

中)F(")=f())

而要能正确地应用换元积分法求解积分,关键还是要准 确地分析出被积函数f(())?(.17)中的复合关系,即能 正确地分解复合函数.

例3求积分j出

分析:』dz=』与'zdz,其中复合函

数,()=_可分解为,()=1

,"=.17

3—

1,而

03—1qu

":3正好是另一函数(只是相差常数).

解:设"=一1则du=3z出代人原积分得

f..=兰2_出:3

,,t3—1

爿"=号+c==+c

熟练后,可不必设出变量,用凑微分法进行计算: 』彘出=爿与出

:

f—.一(3一1)3J

2

法解题的过程中,也常常用到复合函数的分解.不论用什么 方法,分解是必不可少的步骤,凑微分法尽管没有设出中间 变量,但首先也还是要分解,实际上对分解的要求更高,很多 学生拿到积分的题目一筹莫展,我认为原因之一就是复合函 数分解没有掌握.

四,分解复合函数时需要注意的几个问题:

1.掌握基本初等函数是正确分解的重要前提. 基本初等函数是构成初等函数的基本元素,讨论任何一 个函数必须以基本初等函数为基础.因此,分解的前提是掌 握基本初等函数,包括它的名称和书写形式. 例如y=arctan(一1),分解为y=aFCU"= tanv=一1显然是错误的,其原因是对基本初等函数 不了解,y=aFCU不是函数,更不是基本初等函数.Y: arctan(一1)正确的分解应该为y=arctanu"=一1. 2.应分析出所有的复合关系,不要遗漏.

,

例如将Y=esi'分解为Y=e","=sinx显然是不对 的,因为"==sinx不是基本初等函数,漏掉了一层复合. 正确的分解应该是Y:e",":sinv,=.遗漏某一层复

合将会导致之后一系列运算的错误.

36不要进行不必要的分解,将问题复杂化.

例如":(.,/,)应分解为Y=",":

ar~~0573,=~/T,T=+1,不少学生还将丁=+1分

解为T=丁l+丁2,丁l=,丁2=1,纯粹是多余.因为只需

要分解为基本初等函数或基本初等函数的四则运算即可,再

分解反而把问题复杂化了,不便于问题的求解.

综上所述,复合函数的分解在微积分的运算中确实是不

容忽视的基础,是一个十分重要的基本功,教师教学中应该

引起足够重视,学生也应加强练习,只有打好基础,练好基本

功,顺利的学好高等数学才成为可能.

:

?+C参考文献:j一'一…

除了第一换元积分法外,在第二换元积分法和分部积分[1]柳重堪'高等数学[M].中

央广播电视大学出版社,1999g-.

Analyzinganimportantelements--analyzingcompoundfunction ofdifferentialandintegralcalculating

YangTing

(GuizhouRadioandTVUniversity,Guiyang550004,Guizhou,China) Abstract:Advancedmathematicsisabasiccurriculum,usually,whichisahardnuttocrackfor

manystu—

dents.Itisanimportantproblemtohowtoteachtheadvancedmathematicswellandstudyitwel

1.Thispaper

analyzedthepurposeofanalyzingcompoundfunctionindifferentialandintegralcalculating,

andstresseditsfun—

damentalityandimportancetomaketeachersandstudentsattachimportancetoit. Keywords:analyzing;basicelementaryfunction;compoundfunction;transformintegrals.

?

82?

(责任编辑:王德红)