《复合函数的分解》

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高校理科研究

关于“复合函数的分解准则”

保山学院数学系

何冬梅

杨智明

［摘要］复合函数的合理分解，是复合函数求导的关键所在。对于复合函数的分解准则，笔者就教学实际，浅谈一下自己的看法。

［关键词］复合函数分解准则看法复合函数的合理分解，是复合函数求导的关键，在微积分中有着十

而对于复合函数的分解准则，笔者就教学过程中遇到的分重要的意义。

问题，从以下几点谈谈自己的看法。

一、单项式、多项式的定义单项式的定义：任意个字母和数字的积的形式的代数式，称为单项式。

多项式的定义：若干个单项式的和组成的式子，叫做多项式。从多项式的定义可知，每个字母的次数只能是正整数。二、一元复合函数的概念、分解准则设函数y=f(u),u ∈U ，u=φ(x),x∈X 且由x ∈X 确定的函数值u=φ(x)落在函数f(u)的定义域U 内，则y=f[φ(x)]称为复合函数。u 称为中间变量，u=φ(x)称为里层函数，y=f(u)称为外层函数。

评判分解合理与否的准则是，各层函数是否为基本初等函数或者多项式。

最初，笔者对以上分解准则毫不怀疑，由于布置练习题让学生做时，学生往往参照课本后边的参考答案，致使笔者很难及时发现学生出现的问题，于是干脆布置做课本P78-P79的第5题，只不过改做“分解下列复合函数”。在这过程中笔者发觉有好几题的分解得到的各层函数，“是多项式或基本初等函数”。比如例1对y=Ln(x+姨) 的并不一定

分解有两种分法：①y=Lnu，u=x+v，v=t，t=1+x2(即分成四层函数) ，这符②y=Lnu，u=x+v，v=1+x2(即分成三层函数) ，应当也合以上分解准则；对，甚至可说这种分解更合理、更直接，可从复合函数的求导这里来推断其正确性即

y ′=1u ′=1(1+1V ·V ′)=1(1+1V ·2X )

u u 2u 2

11=(1+)

x+姨姨-1

-1

1

1二元复合函数的概念三、

设Z=f(u,v)是u ，v 的二元函数，u ，v 又都是x ，y 的二元函数：u=φ(x，y) ，v=φ(x，y) ，那么通过中间变量u 、v 、Z 就成为x 、y 的二元复合函数，即

Z=f(u,v)=f[φ(x，y) ，φ(x，y)]例3：分解函数y=(1+2x2) sinx 令y=uv ，u=1+2x2，v=sinx

v

函数y=u就不是一个基本初等函数

3

例4：分解函数Z=(x-2y)

令u=(x-2y) 3，v=y-3x ，z=u

u 既不是基本初等函数，也不是多项式，很显然，例4是一个二元函数，例2、例3都是一元函数，但从例2、例3的分解过程来看，例2、例3的分解中都涉及到了二元函数。例2、例3、例4的分解，用以上准则就套不上。

笔者也由以下一段话受到启示：对复合函数的求导，关键是要弄清该函数是由哪些基本初等函数或简单函数(指由常数和基本初等函数经过有限次四则运算后得到的函数) 复合而成的。

因此，笔者认为，不管是一元函数、二元函数，还是多元函数的分解，其分解准则可以叙述为以下两种：一是分解得的各层函数是基本初等函数或简单函数(简单函数是指由常数和基本初等函数经过有限次四则运算后得到的简单得不能再简单的函数) ；二是分解得的各层函数是基本初等函数或多项式的形式。其中，多项式的形式，指的是数学表达式很象多项式但又不是真正的多项式，因为式子中的字母的次数可以为负数、分数，而多项式定义中的字母的次数只能是正整数。例如u 可

表示为uv -1；等式u=x+v的右边可看做是多项式的形式。

综上所述，对于复合函数的分解准则，以上两种叙述方式的分解才是较为合理的分解。并且分解过程一定要做到不漏、不重、熟练、准确。参考文献

张国楚等. 大学文科数学. 北京：高等教育出版社,2007.5［1］［2］四川大学数学系高等数学教研室编. 高系数学. 北京高等教育出版社,1989.2

［3］西北工业大学高等数学教研室编. 高等数学学习辅导问题、解法、常见错误剖析. 北京科学出版社,2007.6

［4］张顺燕. 数学的思想、方法和应用. 北京大学出版社,2001.1各种发散思维能力，使之融合于具体的教学之中。下面以图形发散为例，通过几个例子着重说明怎样在大学物理教学中进行单项的基本发散思维形态训练，为大学阶段后续课学习打好基础，做好铺垫。

例如，在机械振动中，简谐振动是最简单，最基本的振动。任何复杂的振动都可看作几个简谐振动叠加的结果，所以简谐振动是这一章的重点[3]。几乎所有版本的《大学物理》教材都以水平放置的弹簧振子为例来讨论简谐振动的特征。那么，在教学中为培养同学们的发散性思维，可以把水平放置的弹簧振子加以引申，变为如图2的几种情形。

我们可以证明，以上3种情形都在做简谐振动。4、结论

通过对刚入学的大学生以上几个方面能力的培养，使他们在各方面能力都有所提高。

参考文献［1］赵近芳. 大学物理学［M ］. 北京：北京邮电大学出版社，2007:4-16［2］王燕生. 工科大学物理［M ］. 沈阳：东北大学出版社，1995：30-38［3］张三慧. 大学物理学［M ］. 北京：清华大学出版社，2010:171-

180

1

而x+V并不是多项式，这与准则不符。在这里的第①种分解倒显得有点牵强。

例2对y=arctan2x 的分解如下：

令y=arctanu ，u=v ,v=2x,t=1-x 2

而这里的v 并不是多项式或基本初等函数，然而这种分解却是合

理的，这究竟是怎么回事？（上接第523页）

依据上述智力结构，在大学物理教学中，要开发学生的智力，就要在教学中把思维运作、内容和结果三方面有机地结合起来。具体到发散性思维训练，就是把图1中的发散性加工运作与4种内容和6种结果

如图形发散性加工、行为发散性结合产生24种不同的单项训练形式，

加工等。

1图2

在吉尔福特理论的指导下，在大学物理教学中开展发散性思维的训练，也就是从基础入手，结合物理学科的知识内容，分项训练学生的

复合函数的导数

求分段函数的导数

1⎧2⎪x sin , x ≠0例 求函数f (x ) =⎨的导数 x ⎪⎩0, x =0

分析：当x =0时因为f '(0) 存在，所以应当用导数定义求f '(0) ，当x ≠0时，f (x ) 的关系式是初等函数x sin 21，可以按各种求导法同求它的导数． x

解：当x =0时，f '(0) =lim

当

f '(x ) =(x 2s 1) '=(x 2) 's x f (x ) -f (0) =lim ∆x →0∆x →0x x ≠0时1111111+x 2() '=2x s +i x 2(-2c s ) n =2x s i -c n x x x x x x x

x →x 0x 2sin 1=lim x sin 1=0 ∆x →0x x ，o i i n o 说明：如果一个函数g (x ) 在点x 0连续，则有g (x 0) =lim g (x ) ，但如果我们不能断定f (x ) 的导数

f '(x ) 是否在点x 0=0连续，不能认为f '(0) =lim f (x ) ． x →0

指出函数的复合关系

例 指出下列函数的复合关系．

1．y =(a +bx n ) m ；2．y =ln e x +2；

23．y =3log 2(x -2x +3) ；4．y =sin(x +) 。 1

x

分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．

解：函数的复合关系分别是

1．y =u , u =a +bx ；

2．y =ln u , u =3v , v =e x +2；

3．y =3, u =log 2v , v =x -2x +3；

4．y =u , u =sin v , v =x +3m n u 21. x

说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致

陷入解题误区，达不到预期的效果．

求函数的导数

例 求下列函数的导数．

1．y =(2x -x +) ；2．y =31

x 41

-2x 2；

3．y =sin (2x +2π

3) ；4．y =x +x 2。

分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．

解：1．解法一：设u =2x -x +1, y =u 4，则 x

11313232''y '=y ⋅u =4u ⋅(6x -1-) =4(2x -x +) (6x --1). x u x 22x x x 3

4'3'⎡⎛31⎫⎤11⎛⎫⎛⎫33解法二：y '=⎢ 2x -x +⎪⎥=4 2x -x +⎪⋅ 2x -x +⎪ x ⎭⎥x ⎭⎝x ⎭⎝⎢⎣⎝⎦

=4 2x -x +

-1

2⎛⎝31⎫⎛21⎫⎪ 6x -1-2⎪. x ⎭⎝x ⎭2．解法一：设y '=u , u =1-2x 2，则

⎛1-3⎫2⎪ ''y '=y ⋅u =-u x u x 2⎪⋅(-4x )⎝⎭

312-2(-4x ) =-1-2x 2 ()

=2x 1-2x

＝2(32-2)2x (1-2x ) -2x 2.

⎛1解法二：y '= 2⎝-2x '⎫⎡⎪=⎢1-2x 2⎪⎭⎣()-12'⎤⎥ ⎦

3-'12=-(1-2x ) 2⋅1-2x 2

2

3-12=-(1-2x ) 2⋅(-4x ) 2 ()

=2x (1-2x )

2x =. 22(1-2x ) -2x

3．解法一：设y =u , u =sin v , v =2x +22-32π

3，则

'''y 'x =y u ⋅u v ⋅v x =2u ⋅cos v ⋅2

π⎫π⎫⎛⎛ =2sin 2x +⎪⋅cos 2x +⎪⋅2 3⎭3⎭⎝⎝

2π⎫⎛ =2sin 4x +⎪. 3⎝⎭

''⎡2⎛⎡⎤π⎫⎤ππ⎛⎫⎛⎫解法二：y '=⎢sin 2x +⎪⎥=2sin 2x +⎪⋅⎢sin 2x +⎪⎥ 3⎭⎦3⎭⎣⎝3⎭⎦⎝⎝⎣

'π⎫π⎫⎛π⎫⎛⎛ =2sin 2x +⎪⋅cos 2x +⎪⋅ 2x +⎪3⎭3⎭⎝3⎭⎝⎝

π⎫π⎫⎛⎛ =2sin 2x +⎪⋅cos 2x +⎪⋅2 3⎭3⎭⎝⎝

2π⎫⎛ =2sin 4x +⎪. 3⎝⎭

4．解法一：y =x +x =2x +x . 设y =u , u =x 2+x 4，则 2412

1-1

''y 'u 2⋅(2x +4x 3) x =y u ⋅u x =2

1-124 =(x +x ) 2⋅(2x +4x 3) 2

x +2x 3x (1+2x 2) 1+2x 2

===. 2422x +x x +x +x

解法二：y '=(x +x 2) '=x '⋅+x 2+x (+x 2) '

=+x +2x 2

+x 2=1+2x 2+x 2.

说明：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量，不可机械照搬某种固定的模式，否则会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运算．学生易犯错误是混淆变量或忘记中间变量对自变量求导．

求复合函数的导数

例 求下列函数的导数（其中f (x ) 是可导函数）

1．y =f ⎪；2．y =f (x 2+1).

分析：对于抽象函数的求导，一方面要从其形式上把握其结构特征，另一方面要充分运用复合关系的求导法则。先设出中间变量，再根据复合函数的导数运算法则进行求导运算。一般地，假设中间变量以直接可对所设变量求导，不需要再次假设，如果所设中间变量可直接求导，就不必再选中间变量。

解：1．解法一：设y =f (u ), u =⎛1⎫⎝x ⎭1，则 x

1⎛1⎫⎛1⎫'''y '=y ⋅u =f (u ) ⋅-=-f ⎪. ⎪x u x 22x x ⎝⎭⎝x ⎭

''⎡⎛1⎫⎤1⎫⎛1⎫1⎛1⎫⎛解法二：y '=⎢f ⎪⎥=f ' ⎪⋅ ⎪=-2f ' ⎪. x ⎝x ⎭⎝x ⎭⎝x ⎭⎣⎝x ⎭⎦

2．解法一：设y =f (u ), u =v , v =x 2+1，则

1-1

''''y 'v 2⋅2x x =y u ⋅u u ⋅v x =f (u ) ⋅2

11 =f '(x x 2+1) ⋅⋅2x 2x 2+1

=x

x 2+1f '(x 2+1).

解法二：y '=f (x +1) =f '(x +1) ⋅(x +1) '

22-1

2[=[f (

=]'1x +1) ]⋅(x +1) 2222-1222⋅(x 2+1) ' =f '(x +1) ⋅(x +1) ⋅2x . x

x 2+1f '(x 2+1).

说明：理解概念应准确全面，对抽象函数的概念认识不足，显示了一种思维上的惰性，导致判断复合关系不准确，没有起到假设中间变量的作用。其次应重视f '(ϕ(x )) 与[f (ϕ(x )) ]的区别，前者是对中间变量ϕ(x ) 的求导，后者表示对自变量x 的求导． '

1． 对于f(2x1)2x1,设2x1t， 则由f(2x1)2x1， 将t代入，可得f(t)t， 由t的任意性可得f(x)x。 2．对于f(2x1)(2x1)2，

设2x1t，

将t代入，可得f(t)t2， 由t的任意性可得f(x)x2。 3.

f(2x1)(2x1)23(2x1)2，

设2x1t，将t代入， 可得f(t)t23t2，

由t的任意性可得f(x)x23x2。

4． 对于f(x2)2x2，设x2

t，

将t代入，可得f(t)2t， 由t的任意性可得f(x)2x。

1． 已知f(2x)x2

，求f(x)的解析式。

解：由题意f(2x)x2

，设2xt，

则xtt22，x2

4

，

2xt，x2

t2

将4

代入

(t)t2

可得f4，由t的任意性可得

f(x)x2

4

。

2． 已知f(11

x

)

1x，求f(x)的解析式。 解：由题意f(1x)11x，设1

xt，

则x11t，1xt

t1

，

将上述结果代入f(1x)1

1x，

可得f(t)t

t1

，

由t的任意性可得f(x)x

x1

。

3．已知f(2x1)x21，求f(x)的解析式。

解：由题意f(2x1)x21， 设2x1t，

xt1t2 则2

2t52，x14

，

代入f(2x1)x21，

可得f(t)t22t5

4

，

由

t

的任意性可得

f(x)x22x54

。

4

已知f4)x8，求f(x2)。

4t，

则x(t4)2

，x8t2

8t24，

将上述结果代入f4)x8， 可得f(t)t2

8t24，

由t的任意性可得f(x)x2

8x24，

所以f(x2)x48x2

24。

练习：

1． 已知f(x1)x23x2，求f(x)。

2．

已知f1)xf(x)。

3． 已知f(2x1)x21，求f(x)。

4． 已知f(1

)x

x1x2

，求f(x)。

延伸拓展： 1． 已知2f(x)

f(x)3x，求

f(x)。

解：由题意2f(x)f(x)3x2， ① 用x替代上述式子的x得

2f(x)f(x)3x2 ② 由①、②组成的方程组



2f(x)f(x)3x2

2f(x)f(x)3x2

消去f(x)化简变形可得

f(x)3x

23

。 所以，f(x)3x23

。 2.

已

知

函

数

yf(x)

满足

f(x)

1

x

f(， )x求f(x)。

解：由题意f(x)2f(1x

)x，① 用

1

x

替代上述式子的x得 f(1x)2f(x)1

x

， ② 由①、②组成的方程组



f(x)2f(1)x

x

f(1x

)2f(x)1x消去f(1x

)可得

f(x)4f(x)

2

x

x， 化简变形可得

f(x)x32

3x

，

所以，f(x)x2

33x

练习：

已知函数yf(x)满足

2f(x)f(1x)x2

x

，求f(x)。

1． 对于f (2x +1) =2x +1, 设2x +1=t ， 则由f (2x +1) =2x +1， 将t 代入，可得f (t ) =t ， 由t 的任意性可得f (x ) =x 。 2．对于f (2x +1) =(2x +1) +2，

设2x +1=t ，

将t 代入，可得f (t ) =t +2， 由t 的任意性可得f (x ) =x +2。 3.

f (2x -1) =(2x -1) 2+3(2x -1) +2，

设2x -1=t ，将t 代入， 可得f (t ) =t 2

+3t +2，

由t 的任意性可得f (x ) =x 2

+3x +2。

4． 对于f (x 2) =2x 2，设x 2

=t ，

将t 代入，可得f (t ) =2t ， 由t 的任意性可得f (x ) =2x 。 1． 已知f (2x ) =x 2

，求f (x ) 的解析式。

解：由题意f (2x ) =x 2

，设2x =t ，

则x =t 2，x 2

=t 24，

2x =t ，x 2

=t 2

将4

代入

(t ) =t 2

可得f 4，由t 的任意性可得

f (x ) =x 2

4

。

2． 已知f (11

x

) =

1+x ，求f (x ) 的解析式。 解：由题意f (1x ) =11+x ，设1

x =t ，

则x =1

t ，1t 1+x =

t +1

， 将上述结果代入f (1x ) =1

1+x ，

可得f (t ) =t

t +1

，

由t 的任意性可得f (x ) =x

x +1

。

3．已知f (2x +1) =x 2

+1，求f (x ) 的解析式。

解：由题意f (2x +1) =x 2

+1， 设2x +1=t ，

则x =t -12

t 2-2t +52

，x +1=4，

代入f (2x +1) =x 2

+1，

可得f (t ) =t 2-2t +5

4

，

由

t

的任意性可得

f (x ) =x 2-2x +54

。

4

已知f 4) =x +8，求f (x 2

) 。

4=t ，

则x =(t -4) 2

，x +8=t 2

-8t +24，

将上述结果代入f 4) =x +8， 可得f (t ) =t 2-8t +24，

由t 的任意性可得f (x ) =x 2

-8x +24，

所以f (x 2) =x 4-8x 2

+24。

练习：

1． 已知f (x +1) =x 2

-3x +2，求f (x ) 。

2．

已知f 1) =x +f (x ) 。

3． 已知f (2x +1) =x 2+1，求f (x ) 。

4． 已知f (1

) =x

x 1-x 2

，求f (x ) 。

延伸拓展： 1． 已知2f (x +)

f -(x =) 3x +，求

f (x ) 。

解：由题意2f (x ) +f (-x ) =3x +2， ① 用-x 替代上述式子的x 得

2f (-x ) +f (x ) =-3x +2 ② 由①、②组成的方程组

⎧⎨

2f (x ) +f (-x ) =3x +2

⎩

2f (-x ) +f (x ) =-3x +2 消去f (-x ) 化简变形可得

f (x ) =3x +23

。

所以，f (x ) =3x +23

。 2.

已

知

函

数

y =f (x )

满

足

f (x =)

1

x

f +(， ) x 求f (x ) 。

解：由题意f (x ) =2f (1x

) +x ，① 用

1

x

替代上述式子的x 得 f (1x ) =2f (x ) +1

x

， ② 由①、②组成的方程组

⎧⎪⎪f (x ) =2f (1) +x ⎨

x

⎪11 ⎪⎩f (x

) =2f (x ) +x 消去f (1x

) 可得

f (x ) =4f (x ) +

2

x

+x ， 化简变形可得

f (x ) =-x 3-2

3x

，

所以，f (x ) =-x 2

3-3x

练习：

已知函数y =f (x ) 满足

2f (x ) +f (1x ) =x +2

x

，求f (x ) 。

解读复合函数的单调性

【中图分类号】g633.6 【文献标识码】a 【文章编号】2095-3089（2013）01-0163-02

复合函数y=f[g（x ）]的单调性问题是高中数学函数部分的一个难点。原因在于它是由两个简单函数u=g（x ）与f （u ）复合而成，所以其单调性也与这两个简单函数的单调性紧密相联。由于复合函数的单调性不仅能考查学生对函数定义域、值域的理解及求法，还常常通过对函数其它基本性质（如奇偶性，周期性等）与不等式有机结合起来考查学生的分析问题、解决问题能力，因此有关复合函数的单调性问题是近几年高考的重点题型之一。

复合函数就其出现的形式而言不外乎两种：一是具体型复合函数；二是抽象型复合函数。本文就复合函数这两种形式对其单调性问题给予粗浅的分析。

复合函数y=f[g（x ）]的单调性规律：“同增异减”。即f （u ）与u=g（x ）若具有相同的单调性，则f[g（x ）]为增；若具有不同的单调性，则f[g（x ）]为减。但究竟为什么是这样呢？多数学生却不知所以然。下面通过一个引例首先解决这个问题：

例1 讨论函数y=（）的单调性

解析：令t=x2-2x-1，则y=（）t ，因此原函数是由y=（）t 及t=x2-2x-1=（x-1）2-2复合而成，中间量为t 。∵y=（）t 在上为减函数：

具体来说：首先，当x ∈（1，+∞）时，随x 增大→t 增大（图1）；