积分因子的存在条件
薛静 指导教师:张飞羽
(河西学院数学与统计学院2013届2班44号. 甘肃张掖 734000)
摘 要 采用积分因子法将一阶微分方程转化为全微分方程是求解微分方程的一个重要手段, 本文给出寻求微分方程各类积分因子的一些方法, 化微分方程为恰当方程求解, 这样给解题带来很大方便.
关键词 积分因子; 恰当微分方程; 一阶常微分方程
中图分类号 O175
The Existence Conditions of Integrating Factor
Xuejing Instructor Zhang Feiyu
（No. 44, Class 2 of 2013, Specialty of Mathematics and Applied Mathematics,
Hexi University,Zhangye, Gansu,734000)
Abstract : Integrating factor method is used to converting the first-order differential equation to complete differential equation is an important means for solving differential equations, this paper gives some methods for seeking the differential equations of integral factor, the differential equation for the appropriate equation, so that to bring great convenience.
Key words: Integrating factor; Exact differential equation; First-order ordinary differential equations
一阶微分方程的求解是整个微分方程求解的基础, 一般的有两种处理方式:一是以变量可分离的方程为基础, 通过适当的变量代换把一阶微分方程化为可积型方程; 另外就是以全微分方程为基础, 采取积分因子法把一个一阶微分方程化为全微分方程求解. 然而寻找积分因子不是容易的事情, 一般的教科书只介绍了依据经验或者通过观察来寻找积分因子. 这里我们归纳并概括性的给出了几种积分因子的求法, 有助于深刻的理解积分因子的相关内容, 进一步学好常微分方程, 使得求解一阶微分方程的过程更简便.
1 恰当微分方程
1.1 恰当微分方程的概念 dy 我们可以将一阶方程=f (x , y ) 写成微分形式f (x , y ) dx -dy =0, 或更一般地把dx
x , y 平等看待, 写成下面具有对称形式的一阶微分方程
M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0, (1) 其中D 为单连通区域, x , y ∈D . 这里假设M (x , y ), N (x , y ) 在某些矩形域内是x , y 的连续函数, 且具有连续的一阶偏导数. 这样的形式有时便于探求微分方程的通解. 如果方程的左端恰好是某个二元函数μ(x , y ) 的全微分, 即 M (x , y ) dx +N (x , y ) dy ≡d μ(x , y ) ≡∂μ∂μdx +dy , ∂x ∂y (2) 则称为恰当微分方程. 容易验证, 方程的通解是μ(x , y ) =c , 这里c 是任意常数.
1.2 恰当微分方程的充要条件
必要条件 若方程(1)是恰当方程，则由(2) 得 ∂μ∂μ =M , =N . ∂x ∂y (3)
∂2μ∂M ∂2μ∂N ∂M ∂N 将(3) 式分别对y , x 求偏导数, 得到, 由于的连续性得： 和=, =∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x
∂2μ∂2μ. =∂y ∂x ∂x ∂y
∂M ∂N 即 (4) =. ∂y ∂x
因此, (4)式是(1)式为恰当微分方程的必要条件.
充分条件 我们从关系式
∂μ=M 出发, 把y 看作参数, 解这个微分方程, 可以得到 ∂x μ=⎰M (x , y ) dx +ϕ(y ) , (5) 这里ϕ(y ) 是y 的任意的可微函数, 我们现在来选择ϕ(y ) 使μ同时满足(3) 式, 即
∂μ∂d ϕ(y ) =M (x , y ) dx +=N , ∂y ∂y ⎰dy
由此, d ϕ(y ) ∂=N -⎰M (x , y ) dx . dy ∂y (6) 我们证明,(6) 式的右端与x 无关. 为此, 只需证明(6)式的右端对x 的偏导数恒等于零.
事实上
⎤∂N ∂⎡∂⎤∂⎡∂N -M (x , y ) dx =-M (x , y ) dx ⎥∂x ∂x ⎢∂y ⎰⎥∂x ⎢∂y ⎰⎣⎦⎣⎦
∂N ∂⎡∂⎤=-⎢⎰M (x , y ) dx ⎥ ∂x ∂y ⎣∂x ⎦
∂N ∂M =-=0. ∂x ∂y
在我们的假设条件下, 上述交换求导的顺序是允许的. 于是(6) 式右端的确只含有y , 积分之, 得到 ϕ(y ) =⎰⎢N -⎣⎡⎤∂M (x , y ) dx dy , ⎥⎰∂y ⎦
⎡
⎣⎤∂M (x , y ) dx ⎥dy . ∂y ⎰⎦(7) 将(7) 式代入(5) 式, 即求得 μ=⎰M (x , y ) dx +⎰⎢N -
因此, 恰当微分方程(1)的通解是
这里c 是任意常数. ⎡⎤∂M (x , y ) dx +N -M (x , y ) dx dy =c . ⎥⎰⎰⎢⎰∂y ⎣⎦
∂M ∂N =. ∂y ∂x (8) 综上所述, 方程(1)是恰当方程的充要条件是
2 积分因子
2.1 积分因子的概念
恰当微分方程通过积分可以求出它的通解. 所以能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程是求出它的通解的重要手段, 具有重要的意义. 积分因子就是为了解决这个问题而引进的概念.
如果存在连续可微的函数μ=μ(x , y ) ≠0, 使得
μ(x , y ) M (x , y ) dx +μ(x , y ) N (x , y ) dy =0,
为一恰当微分方程, 即存在函数v (x , y ) , 使
μMdx +μNdy ≡dv , (9) 则称μ(x , y ) 为微分方程(1)的积分因子. 这时v (x , y ) =c 是(9)式的通解.
2.2 积分因子存在的充要条件
显然由1.2中的论述可知, μ(x , y ) 是方程(1)的积分因子的充要条件是∂M ∂N =, ∂y ∂x 但从这个条件中求出μ, 事实上要求解一个偏微分方程, 比求解方程(1)本身更复杂. 因此, 需要寻求更简单的积分因子形式. 在下面着重讨论方程(1)具有一些特定积分因子的条
件.
∂M ∂N -∂y ∂x =ϕ(x ) , 且方命题1[1] 方程(1)有只与x 有关的积分因子的充要条件是N
ϕ(x ) dx 程的一个积分因子为μ=e ⎰.
∂M ∂N -∂y ∂x =ϕ(y ) , 且方命题2[1] 方程(1)有只与y 有关的积分因子的充要条件是-M
ϕ(y ) dy 程的一个积分因子为μ=e ⎰.
以上两结论一般参考书中常见, 其证明简单, 故略.
命题3 方程(1) 有形如μ(ax +by ) 的积分因子的充要条件是
1∂M ∂N (+) =f (ax +by ) , aN +bM ∂y ∂x
且方程的一个积分因子是μ=exp(⎰f (ax +by ) d (ax +by ) ) .
∂μ∂μ∂t ∂μ∂μ∂μ∂t ∂μ, 假设μ(ax +by ) 为==a , ==b ∂x ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂y ∂t
∂M ∂N 方程(1)的积分因子, 则由充要条件, 所以 =∂y ∂x
∂M ∂N ∂μ∂μ∂μ∂μ∂μ, μ⋅(-) =N -M =aN -bM =(aN -bM ) ⋅∂y ∂x ∂x ∂y ∂t ∂t ∂t
∂μ1∂M ∂N 1∂M ∂N 所以=⋅(-) ∂t , 当且仅当⋅(-) =f (t ) 时可以解出μaN -bM ∂y ∂x aN -bM ∂y ∂x 证明 令ax +by =t , 则
μ, 故方程M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0有形如μ(ax +by ) 的积分因子的充要条件是
1∂M ∂N ⋅(-) =f (ax +by ) . aN -bM ∂y ∂x
推论1 方程(1) 有形如μ(x +y ) 的积分因子的充要条件是
1∂M ∂N ⋅(-) =f (x +y ) , N -M ∂y ∂x
且积分因子为μ=exp(⎰f (x +y ) d (x +y )) .
推论2 方程(1) 有形如μ(x -y ) 的积分因子的充要条件是
1∂M ∂N ⋅(-) =f (x -y ) , N +M ∂y ∂x
且积分因子μ=exp(⎰f (x -y ) d (x -y ) .
命题4 方程(1) 有形如μ(x a y b ) 的积分因子的充要条件是
1∂M ∂N ⋅(-) =g (x a y b ) , a -1b -1x y (ayN -bxM ) ∂y ∂x
此时方程的一个积分因子是μ=exp(⎰g (x a y b ) d (x a y b )) .
证明 令x a y b =v , 则有
∂u ∂u ∂v ∂u ∂u ∂u ∂v ∂u , =⋅=ax a -1y b =⋅=bx a y b -1
∂x ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ∂y ∂v
假设μ(x a y b ) 是方程(1)的积分因子, 则
∂M ∂N ∂u ∂u ∂u ∂u , μ⋅(-) =N -M =(Nax a -1y b -Mbx a y b -1) =x a -1y b -1(Nay -Mbx ) ⋅∂y ∂x ∂x ∂y ∂v ∂v
∂u ∂M ∂N 即 =[x a -1y b -1(Nay -Mbx )]-1⋅(-) ∂v , u ∂y ∂x
∂M ∂N 当且仅当[x a -1y b -1(Nay -Mbx )]-1⋅(-) =g (v ) 时可以解出μ. 故方程(1) 有形如∂y ∂x
μ(x a y b ) 的积分因子的充要条件是
1∂M ∂N ⋅(-) =g (x a y b ) , a -1b -1x y (ayN -bxM ) ∂y ∂x
且μ=exp(⎰g (x a y b ) d (x a y b )) .
命题5 方程(1) 有形如μ(mx a +ny b ) 的积分因子的充要条件是
1∂M ∂N a b ⋅(-) =f (mx +ny ) , a -1b -1Namx -Mbny ∂y ∂x
且积分因子μ=exp(⎰f (mx a +ny b ) d (mx a +ny b )) .
证明 令mx a +ny b =t , 则
∂u ∂u ∂t ∂u ∂u ∂u ∂t ∂u , =⋅=amx a -1=⋅=bny b -1
∂x ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂y ∂t
假设μ(mx a +ny b ) 是方程(1) 的积分因子, 则
∂M ∂N ∂u ∂u ∂u μ⋅(-) =N -M =(Namx a -1-Mbny b -1) , ∂y ∂x ∂x ∂y ∂t
∂u ∂M ∂N =(Namx a -1-Mbny b -1) -1⋅(-) =f (t ) , u ∂y ∂x
可以解出μ, 得方程(1)有形如μ(mx a +ny b ) 的积分因子的充要条件是
1∂M ∂N a b ⋅(-) =f (mx +ny ) , a -1b -1Namx -Mbny ∂y ∂x
即可得积分因子μ=exp(⎰f (mx a +ny b ) d (mx a +ny b )) .
推论 方程(1) 有形如μ(x a +y b ) 的积分因子的充要条件是
1∂M ∂N a b ⋅(-) =f (x +y ), a -1b -1Nax -Mby ∂y ∂x
且积分因子μ=exp(⎰f (x a +y b ) d (x a +y b )) .
命题6[5] 方程(1) 有形如μ(mx a +hx a y b +ny b ) 的积分因子的充要条件是
1∂M ∂N ⋅(-) =φ(mx a +hx a y b +ny b ) , a -1b -1a -1b -1Namx -Mbny +hx y (ayN -bxM ) ∂y ∂x
且积分因子μ=exp(⎰φ(mx a +hx a y b +ny b ) d (mx a +hx a y b +ny b )) .
证明 令mx a +hx a y b +ny b =t , 则
∂μ∂μ∂t ∂μ=⋅=(am x a -1+hax a -1y b ) ⋅∂x ∂t ∂x ∂t
∂μ∂μ∂t ∂μ=⋅=(nby b -1+hbx a y b -1) ⋅, ∂y ∂t ∂y ∂t
假设μ(mx a +hx a y b +ny b ) 是方程(1)的积分因子, 则
∂M ∂N ∂μ∂μ∂μ, μ⋅(-) =N -M =[N (amx a -1+hax a -1y b ) -M (nby b -1+hbx a y b -1)]⋅∂y ∂x ∂x ∂y ∂t
∂μ∂M ∂N =[N (amx a -1-Mnby b -1+hx a -1y b -1(nay -Mbx )]-1⋅(-) ∂t , ∂t ∂y ∂x
当且仅当[N max a -1-Mnby b -1+hx a -1y b -1(Nay -Mbx )]-1＝φ(t ) 时可以解出μ, 故方程(1) 有形如μ(mx a +hx a y b +ny b ) 的积分因子的充要条件是
1∂M ∂N a a b b ⋅(-) =φ(mx +hx y +ny ) , Namx a -1-Mnby b -1+hx a -1y b -1(ayN -bxM ) ∂y ∂x
且积分因子μ=exp(⎰φ(mx a +hx a y b +ny b ) d (mx a +hx a y b +ny b )) .
命题7[7] 若方程(1) 中M (x , y ) , N (x , y ) 在D 内连续且有连续偏导数
满足∂M ∂N , 且∂y ∂x ∂M ∂N , x , y ∈D , 则方程(1)存在形如μ(f (x ) g (y )) 的积分因子的充要条件为 ≠∂y ∂x
∂M ∂N -∂y ∂x (10) ≡φ(f (x ) g (y )), Ng -Mf dx dy
并且积分因子μ(x , y ) 由下式决定
(11) 中φ(z ) 由(10) 给出.
证明 必要性 设μ(x , y ) =φ(z ), z =f (x ) g (y ) 是方程(1) 的积分因子, 则
∂ϕM ∂ϕN =, (x , y ) ∈D . ∂y ∂x
d ϕdg ∂M d ϕdf ∂N f (x ) M +ϕ=g (y ) N +ϕ, dz dy ∂y dz dx ∂x
整理得
∂M ∂N -d ϕdf dg ∂M ∂N 1d ϕ∂y ∂x (Ng -Mf ) =ϕ(-) =, dz dx dy ∂y ∂x ϕdz Ng -Mf dx dy μ(x , y ) =e ⎰ϕ(z ) dz , z =f (x ) g (y ) . (11)
∂M ∂N -'ϕ(z ) ∂y ∂x 取φ(z ) =, 得=φ(z ), z =f (x ) g (y ) . 易得(11). ϕNg -Mf dx dy
∂M ∂N -φ(z ) dz ∂y ∂x 充分性 若, z =f (x ) g (y ), 则 =φ(z ), z =f (x ) g (y ) 令μ(x , y ) =e ⎰Ng -Mf dx dy
∂(μM )∂μ∂M =M +μ∂y ∂y ∂y
φ(z ) dz φ(z ) dz ∂M ∂z =e ⎰φ(z ) M +e ⎰
∂y ∂y
φ(z ) dz ⎡dg ∂M ⎤=e ⎰φ(z ) fM +, ⎢⎥dy ∂y ⎦⎣
φ(z ) dz ⎡∂(μN )df ∂N ⎤=e ⎰φ(z ) gN +, ⎢⎥∂x dx ∂x ⎦⎣
⎛∂(μM )∂(μN )⎰φ(z ) dz ⎡dg df ⎫⎛∂M ∂N ⎫⎤ ⎪⎪所以-=e φ(z ) Mf -Ng + -⎢⎥=0, ⎪ ⎪∂y ∂x dy dx ⎭⎝∂y ∂x ⎭⎦⎝⎣
故μMdx +μNdy =0为全微分方程, 从而(11) 为积分因子.
例1 求解方程(6xy 2+x 2) dy -y (3y 2-x ) dx =0.
2解 M =-y (3y -x ) , N =62x y +2则x ,
∂M ∂N -=-15y 2-x . ∂y ∂x
取f (x ) =x 2, g (y ) =y , 则有
∂M ∂N -1∂y ∂x =-2. x y Ng -Mf dx dy
1由定理知方程有积分因子μ(x , y ) =2, x y
从而可求得其解是xye 3y 2
x =C .
致谢 本论文是在张飞羽老师的悉心指导下完成的, 在此论文完成之际, 谨向张老师表示由衷的感谢.
参 考 文 献
[1] 王高雄. 常微分方程[M].北京：高等教育出版社, 1987.
[2] 同济大学数学教研室. 高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2002:282-283.
[3] 丁同仁, 李承秉. 常微分方程教程[M].北京:高等教育出版社, 2002.
[4] 刘志权. 常微分方程讲义[M].西安：陕西师范大学出版社, 1981.
[5] 刘会民, 王新. 有关一阶微分方程积分因子的计算[J].辽宁师范大学学报:自然科学
版, 2003,26(3):237-340.
[6] 王高雄, 朱思铭, 周之铭, 王寿松, 李艳会. 常微分方程（第三版）［M ］. 北京：高等教育出版
社, 2006.
[7] 温启军, 张丽静. 关于积分因子的讨论. 长春大学学报[J].2006,23(5):32-33.
[8] 陈吉美. 积分因子及其应用. 湖南工业大学学报[J].2010,29(12):102-103.
[9] 王金诚. 浅析积分因子的求法. 中国科技信息[J].2007,21(20) :15-16.
[10] 胡淑荣, 岳培鹏. 用积分因子求一阶常微分方程的讨论. 昆明冶金高等专科学院学报[J].
2001.3:61-62.
[11] 李延波. 伯努利微分方程的积分因子解法. 内江科技[J]. 2011,8(1) :90-91.
§7.2定积分存在的条件
一 定积分存在的充分必要条件
定义1 设函数f (x )在[a , b ]有界，在[a , b ]插入分点
a =x 0 把[a , b ]分成n 个小区间[x i -1, x i ](i =1,2,..., n )，记 { m =inf {f (x )x ∈[x i M i =sup f (x )x ∈[x i -1, x i ]i -1i }, x ]} ∆x i =x i -x i -1 作和式 S =∑M i ∆x i i =1 n -n S =∑m i ∆x i -i =1 分别成为对于这一分法的达布上和达布下和。 要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难的。下面即将出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值。 定理1（定积分存在的第一充分必要条件） 函数f (x ) 在[a , b ]上可积的充分必要条件是lim S =lim S 。 λ→0λ→0- -⎛⎫注：定理1也可叙述为函数f (x ) 在[a , b ]上可积的充分必要条件是lim S -S ⎪=0。 λ→0⎝-⎭- 例：证明 ⎧1, x 为有理数， f (x )=⎨⎩-1，x 为无理数 在[-1，1]不可积，但f (x )可积。 定义2 记ωi =M i -m i ，称之为f (x ) 在∆x i 上的幅度，则有 S -S =∑ωi ∆x i 。 -i =1-n 注：定理1也可叙述为函数f (x ) 在[a , b ]上可积的充分必要条件是lim λ→0∑ω∆x i i =1n i =0。 定理2 （定积分存在的第二充分必要条件） 函数f (x ) 在[a , b ]上可积的充分必要条件是对任意的两个正数ε及σ>0，可找到δ>0，使当任一分法满足λ=max {∆x i }<δ时，对应于幅度ωi ' ≥ε的那些区间的 长度∆x i ' ≥ε之和∑∆x i ' i ' <σ。 注：定理揭示了可积函数的本质，表明可积函数不连续的范围不能太广。 二 可积函数类 定理3 若函数f (x ) 为[a , b ]上的连续函数，则f (x ) 在[a , b ]上可积。 定理4 若f (x ) 是区间[a , b ]上只有有限个第一类不连续点的有界函数，则f (x ) 在[a , b ]上可积。 定理5 若f (x ) 是区间[a , b ]上的单调函数，则f (x ) 在[a , b ]上可积。 注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。 0, x =0⎧⎪1例：试用两种方法证明函数f (x ) =11在区间[0, 1]上可积。 ,
２００５年９月 襄樊学院学报 Ｓｅｐｔ．，２００５ 第２６卷第５期 Journal of Xiangfan University Vol.26 No.5
二重极限存在的一个充分必要条件
王爱国
¶àÔªº¯ÊýµÄ¼«ÏÞÊǶà±äÁ¿·ÖÎöѧµÄ»ù´¡¸ÅÄî
¶þÖؼ«ÏÞ²¢¸ø³öÁËÅжϸü«ÏÞ´æÔÚµÄÒ»¸öʵÓÃ
µÄ³äÒªÌõ¼þ.
关键词
中图分类号
一致性
1009-2854(2005)05-0010-02
０ 引言
二重极限相对于一元函数极限二重极限存在性的研究造成了困难
因此给
这里通过对二重极限定义的分析
而在M0是否有定义无关紧要
(x,y)≠(a,b))时
表示两点M与M
0间的距离
就称常数Ａ为函数f(M)在M0的二重极限
或f(M)→A(M→M)
|x−a|<δ,|y−b|<δ,且
注定义１中
该定义对本文的讨论不会产生影响
即f在以M0为聚点的某集合有定义[2]． 因为
如果∀ε>0.∃δ>0,当0<|x
|<δ时
都有|f(x
,kx)−A|<ε
第26卷第5期 襄樊学院学报 2005年第5期
所谓全面极限的问题转化成沿直线的简单的极限问题． 本文给出以下结论
必要性
0<|x
|<δ时
∴∀ε>0,∃δ>0,当|x|<δ,|y|<δ且(x,y)≠(0,0)时于是 当
必有|
αx|<αδ≤δ
由定义2可知函数f(x,y)在点(0,0)沿直线y=αx关于α∈[0,1]一致趋于A;
同理函数f(x,y)在点(0,0)沿直线x=βy关于β∈[0,1]也一致趋于A; 充分性f(x,y) 一致趋于
A
∀α∈[0,1],
|f(x,αx)−A|<ε 同理∀β∈[0,1], |f(βy,y)−A|<ε 令δ
=min{δ1,δ2}∀α∈[0,1],|f
(x,αx)−A|<ε
∀β∈[0,1],|f
(βy,y)−A|<ε 当|x|<δ,|y
|<δ×ÜÓÐα∈[0,1]或β∈[0,1]使y=αx或x=
β
y
1
式
只要动点M
M→(0
,0)
则必有
limf(M)=A
Ö±ÏßΪ
θ
=α
由定理2立即可得
∀θ∈[0,2π]|f(rcosθ,rsinθ)−A|<ε
推论
对于形如limf(x,y)的二重极限x→a
的情形.
参考文献
y→b
便可化为limf(u+a,v+b)=limg(u,v),即为定理2
u→0v→0
u→0v→0
下
Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ， Ｘｉａｎｇｆａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｘｉａｎｇｆａｎ ４４１０５３，Ｃｈｉｎａ
11
二重极限存在的一个充分必要条件
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
王爱国， WANG Ai-guo
襄樊学院,数学系,湖北,襄樊,441053襄樊学院学报
JOURNAL OF XIANGFAN UNIVERSITY2005，26(5)0次
参考文献(2条)
1.陈传璋.金福临 数学分析 1983
2.г M 菲赫金哥尔茨.叶彦谦 微积分学教程 1959
相似文献(9条)
1.期刊论文 蒋利华.徐安农.张秀军.李安坤.JIANG Li-hua.XU An-nong.ZHANG Xiu-jun.LI An-kun 二重极限存在性的理论研究 -安徽理工大学学报（自然科学版）2005,25(4)
讨论了函数二重极限的存在性理论,在原有经典理论的基础上,对文献[1]提出的理论给予了详细的证明,为此给出了判断函数二重极限存在性的一个有用的方法,且把判断一元函数极限存在性的夹逼原理推广到判断函数二重极限的存在上,并给出了证明及应用;从而使得函数二重极限的存在性理论有了进一步的发展.
2.期刊论文 葛洵 二重极限lim(x,y)→(0,0)(x+y)sin1/xsin1/y的存在性 -宁德师专学报(自然科学版)2002,14(4)
根据不同教材关于二重极限的不同定义,讨论了lim(x,y)→(0,0)(x+y)sin1/xsin1/y的存在性,指出由于定义的不同,这一问题有着两个结论完全相反的答案.
3.期刊论文 何国柱.HE Guo-zhu 判断二重极限不存在时一个值得注意的问题 -湖北成人教育学院学报2008,14(1)
对于型如limx→x0y→y0(f(x,y))/(g(x,y))的极限,在判断其不存在时,若用沿曲线f(x,y)-g(x,y)=0趋近于(x0,y0)来讨论,可能会出现错误,只有证明了(x0,y0)不是孤立点后才不会出错.
4.期刊论文 齐春玲 二元函数极限的存在性及求法 -河南农业2007,""(10)
本文运用二元函数极限的概念及相关知识,对二元函数极限的存在性问题进行了讨论,并给出了二重极限的几种求法.
5.期刊论文 孙千高.SUN Qian-gao 二元函数极限的存在性 -青海大学学报（自然科学版）2005,23(2)
给出了二元函数极限存在与否判定的若干命题,并用实例加以证明.
6.期刊论文 阎家灏.YAN Jia-hao 用极坐标变换确定二重极限的技巧及实例 -兰州工业高等专科学校学报2006,13(4)
判定二元函数f(x,y)的未定式二重极限的存在性是一个比较困难的问题.用极坐标变换,就能确定一些未定式的二重极限的存在性.就代换的类型进行了研究,依据代换后φ(r)ψ(r,θ)的不同形式,得到了一些确定二重极限的有用方法,并探究出一些新的实例.
7.期刊论文 阎家灏.YAN Jia-hao 用代换法求解二重极限的类型和实例 -兰州工业高等专科学校学报2007,14(1)
对于二元函数的二重极限,重点是极限的存在性及其求解方法.由于二重极限较为复杂,判定极限的存在及求解,往往因题而异.依据变量(x,y)的不同变化趋势和函数f(x,y)的不同类型,探索得出了一些新的变量代换及应用.采用恰当的变量代换的求解方法后,对复杂的二重极限计算,就能简便、快捷地获得结果.
8.期刊论文 罗俊芝 能否用极坐标方法求二重极限 -高等数学研究2007,10(2)
对在二重极限存在性的讨论中能否使用极坐标的方法给予澄清.即,只要在替换过程中充分注意到变量趋于既定点的方式是任意的,也就是替换后在极径趋于0的同时极角是任意的,使用极坐标的方法是可以的,否则容易导致错误.
9.期刊论文 叶志勇.韩茂安.YE Zhiyong.HAN Maoan 一类奇摄动系统奇异极限环的不变环面分支 -数学年刊A辑2006,27(4)
对一类奇异摄动系统中由奇异极限环产生的不变环面分支进行了研究并利用不变环面的分支理论,讨论了由快系统的二重极限环和三重环分支出的不变环面的存在性.
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_xfxyxb200505003.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：de2e0054-1060-4410-ab63-9dcc00ffca45
下载时间：2010年8月8日
第２９卷第３期黄冈师范学院学报Ｖ０１．２９Ｎｏ．３２００９年６月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕａｎｇｇａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＪｕｎ．２００９
二重积分的一个可积条件及性质
江芹，马晟
（黄冈师范学院数学与信息科学学院，湖北黄州４３８０００）
摘要本文主要研究了矩形区域上二重积分的一个可积条件及性质．
关键词二重积分；可积；分割；矩形区域
中图分类号０１７２．２文献标识码Ａ文章编号１００３．８０７８（２００９）０３－０００８４２２
Ｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｂｉｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｎｄｉｎｔｅｇｒａｌｐｒｏｐｅｒｔｙｏｆｄｏｕｂｌｅｉｎｔｅｇｒａｌ
ＪＩＡＮＧＱｉｎ，ＭＡＳｈｅｎｇ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ，ＨｕａｎｇｇａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｕａｎｇｚｈｏｕ４３８０００，Ｈｕｂｅｉ，Ｃｈｉｎａ）ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｔｈｅｐａｐｅｒ，ｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｂｉｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｎｄｉｎｔｅｇｒａｌｐｒｏｐｅｒｔｙａｌｅｏｂｔａｉｎｅｄｆｏｒｄｏｕｂｌｅｉｎｔｅｇｒａｌｉｎ—ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒｒｅｇｉｏｎ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓｄｏｕｂｌｅｉｎｔｅｇｒａｌ；ｉｎｔｅｇｒａｂｌｅ；ｃｕｔ；ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒｒｅｇｉｏｎ
１引言及主要结果
在文献［１］中，定理１０．５和定理１０．９分别讲述了函数ｆ在［ａ，ｂ］上的可积条件及其性质，即。在［ａ，ｂ］上只有有限个间断点的有界函数，在［ａ，ｂ］上是可积的．文献［２］中，定理２０．３和定理２０．２分别讲述了矩形区域上二重积分的可积条件。受到文献［１—４］的启示，我们考虑：矩形区域上二重积分是否也有类似于文献［１］的定理ｌＯ．５和定理１０．９的结论呢？在本文中，我们主要讨论了矩形区域上二重积分的一个可积条件及性质．其主要结果是：
定理ｌ设厂为定义在矩形区域Ｄ＝［口。，ｂ。］“口：，ｂ：］上只有有限个间断点的有界函数，．贝ｌＪｆ在Ｄ上可积．
注１定理１推广了文献［１］中的定理ｌＯ．５，得到二重积分的一个可积条件．
定理２若＾ｇ在矩形区域Ｄ＝［口。，ｂ。］×［ａ：，ｂ：］上可积，则詹在Ｄ上也可积．
注２定理２推广了文献［１］中的定理１０．９，得到了二重积分的的性质．
定理３若厂，占在矩形区域Ｄ＝［ａ。，ｂ，］“口：，ｂ：］上可积，则
ｓ（石，ｙ）２ｋｍ加ａｘ．ＤＩｆ（戈，ｙ），ｇ（菇，），）｝，ｓ（菇，ｙ）２（嚣酬“戈，ｙ），ｇ（ｘ，ｙ）Ｉ‘＃．ｒＪＥ工，ｌ，．Ｔ】Ｅ”
在Ｄ上也可积．
收稿日期：２００９－０２－１７．
作者简介：江芹，女，湖北武汉人，讲师，主要从事非线性分析的研究．基金项目：黄冈师范学院课程改革项目（姗８ｃｋ３５）资助．
万方数据
第３期江芹．等：二重积分的一个可积条件及性质・９・２定理的证明
２．１定理１的证明
证明设厂在区域Ｄ＝［口。，ｂ。］×［口：，ｂ：］上有ｋ个间断点，它们依次为（茗，，扎），（菇：，托），…（‰，儿），不妨设ａ】＜菇ｌ＜勉＜…＜孔＜ｂ】，ａ２＜Ｙｌ＜鲍＜…＜儿＜ｂ２．给正数占，令０＜艿＜厂———＝——一√磊历产ｊ万，其中Ｍ，ｍ分别为厂在区域Ｄ＝［口ｔ，ｂ１］×［口ｚ，ｂｚ］上的上确界与下确界，并记盯；＝Ｉｘｔ一８，ｘ‘＋６］×［乃一艿，乃＋艿］，ｉｊ＝１，２，…，ｋ．取６足够小，使得口１≤茗１一艿，茗Ｉ＋６≤ｂｌ；口２≤Ｙｌ一艿，儿＋艿≤ｂ２且盯；ｎ艿二＝中，驴≠ａ１１．
类：一类是含有间断点的小区间Ｏ＇ｑ７，其总面积不超过玎南；另一类是不含间断点的小区间盯；，在这些矿；上连续。由文献［２］的定理２０．３和定理２０．２（必要性），对任意的８＞ｏ，存在关于所有盯；上的现在在Ｄ上取分割ｒ，使得上述盯：是它所属的一部分小区间．于是ｒ所属的全部小区间有如下两一个分割１，－＝｛矿。，０＂２，…，１７＂。｝，使得∑∞；△以＜等，其中∞；为厂在以上的振幅
记Ｔ＝，＋，，它是Ｄ上的又一个分割．对于ｒ，有
∑∞；Ａｏ＂ｉ＝∑∞ｉ△盯；＋∑ｏ叽Ａｏ－‘≤（肘一ｍ）∑Ａｏ＂；＋孚
。矿事ｒ叮；＿
＜（肼一ｍ’币南万＋号＝Ｂ
根据文献［２］的定理２０．２（充分性），在Ｄ上可积．
２．２定理２的证明
证明由ｆ，ｇ在Ｄ＝［嘞，ｂ，］×［ａ：，ｂ：］上可积，从而有界，故可设
’Ａ２（舄足。ｌ以石，ｙ）Ｉ，Ｂ２（划ｓｕ）ｐ。。ｌｇ（石，，，）ｌ
．且Ａ＞ｐ，Ｂ＞０，否则ｆ，ｇ至少有一个恒为零值函数，则磨亦恒取零值，显然可积．
任给占＞ｏ，令占’＝鑫，占。＝刍对占’＞ｏ，由厂可积，必存在分割，，使得；出矶＜占’；同理对占＞ｏ，也存在分割ｚ，，使得其中∑∞犯砚＜口。，其中４，∞；分别为＾ｇ在矾，乃上的振幅。
令Ｔ＝，＋，，则对于Ｄ＝［ａ。，ｂ。］×［％，ｂ：］上分割ｒ所属的小区间以，有。
钟＝，
≤，、掣ｐ、、ｓ，ｕｐ、１人菇１，），１）ｇ（菇ｌ，Ｙ１）－ｆ（戈２，ｙ２）ｇ（ｘ２，Ｙ２）Ｉ［Ｉｇ（石ｌ，，，１）Ｉ｜以茗ｌ，ｙ１）一灭％，鲍）ｊ＋Ｉ尺屯，扎）Ｉ｜ｇ（茗１，，，１）一ｇ（ｘｚ，儿）Ｉ］
≤曰４＋Ａ，４．
从而有
；吆Ｉ／ｔｏ－Ｉ≤∑８竹Ｉ△仃Ｉ＋∑‰４盯Ｉ≤Ｂ∑以盯ｉ＋Ａ∑衅△听＜如’＋Ａｓ。＝８．
这样就证明了唐在Ｄ上也可积．
２．３定理３的证明
证明由ｆ，ｇ在Ｄ＝［口。，ｂ。］“ａ：，６：］上可积，根据文献［２］中二重积分的性质１和性质２可知∥±ｇ在Ｄ上也可积，由此Ｉｆ＋ｇｌ在Ｄ上也可积（根据性质５）．又
ｓ（Ⅵ）：地幽土出五叫墨型Ｌ４业址ｓ（戈，），）：厶羔辽Ｌ±五鱼＿吐Ｊ去厶曼丛Ｌ二显咄万方数据（下转第１２页）
・１２・黄冈师范学院学报第２９卷列周期ｒ的特点如下：一
当Ｊ｜｝为偶数时，Ｔ＝４（ｋ＋１）；
当ｋ为奇数时，Ｔ＝２（ｋ＋１）．
证明当Ｐ＝ｑ（ｐ，ｑ∈Ｚ）时，如表１：
表１，Ｉ取不同值时Ｇ及ｐ只的值
由表ｌ可以看出Ｇ。＝ｐＦ川，｛ｐＦ．｝中的第ｎ＋ｌ项为｛Ｇ。｝中的第１１，项，且｛ｐＦ。｝中的奇数项的数为｛Ｇ。｝中的偶数项数，偶数项数为奇数项数，所以
广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列｛ｑ｝，当ｐ＝ｑ时，关于模Ｃ。（ｋ＞２）的模数列周期的特点如下：
当ｋ为偶数时，Ｔ＝４（ｋ＋１）；
当ｋ为奇数时，Ｔ＝２（ｋ＋１）．
推论２得证．
参考文献：
［１］袁明豪．Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列的模数列的周期性［Ｊ］．数学的实践与认识，２００７，３７（３）：１１９—１２２．
［２］吴振奎．斐波那契数列［Ｍ］．沈阳：辽宁教育出版社，１９８７，６．
［３］ＸｉＧａｏｗｅｎ，ｕｕＭａｉｘｕｅ．Ｔｈｅ８ａＩ粥ｓｕｍｆｏｒｍｕｌａｆｏｒＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＦｉｂｏｎａｃｃｉＮｕｍｌ弛ｒｓ［Ｊ］．ＣｈｉｎｅｓｅＱｕａｒｔｅｒｌｙＪｏｕｒｎａｌＯｆＭａｔｈ－
ｅｍａｔｌｃｓ，２００７，２２（２）：２５８—２６５．
［４］孙淑玲．组合数列引论［Ｍ］．合肥：中国科学技术大学出版社，２００４．
责任编辑张所滨
（上接第９页）
根据文献［２］中二重积分的性质１、性质２得，Ｓ（髫，Ｙ），ｓ（石，，，）在Ｄ上可积．证毕．
参考文献：
［１］华东师范大学数学系．数学分析（上册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９１．
［２］华东师范大学数学系．数学分析（下册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９１．
［３］菲赫金哥尔茨．微积分学教程［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９９８．
［４］林源渠，方企勤．数学分析解题指南［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００２．责任编辑张所滨
万方数据
二重积分的一个可积条件及性质
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：江芹， 马晟， JIANG Qin， MA Sheng黄冈师范学院,数学与信息科学学院,湖北,黄州,438000黄冈师范学院学报JOURNAL OF HUANGGANG NORMAL UNIVERSITY2009，29(3)0次
参考文献(4条)
1. 华东师范大学数学系 数学分析 1991
2. 华东师范大学数学系 数学分析 1991
3. 菲赫金哥尔茨 微积分学教程 1998
4. 林源渠. 方企勤 数学分析解题指南 2002
相似文献(7条)
1.期刊论文 刘德厚 二重积分的概念刍议 -科技信息(学术版)2008,""(24)
二重积分是数学分析和高等数学研究的重要内容之一,二重积分的定义中对被积函数要求的条件过高,适当降低条件也是可以的.
2.期刊论文 强永霞 关于迪里黑里公式证明的一个注记 -温州大学学报2003,16(1)
本文从著名的吉米多维奇著<数学分析习题集>中的迪里黑里公式证明出发,通过构造一个反例,指出其中的不严谨之处,并且指出了一个补救的方法.为此,我们使用了零测度集、几乎处处连续等工具和Lebesgue关于Riemann可积函数的特征刻划等较艰深的结果.
3.期刊论文 张立圃. ZHANG Li-pu 利用初等数学的方法证明Schwarz不等式 -雁北师范学院学报2007,23(2) 该文主要讨论利用初等数学的知识证明Schwarz不等式的几种方法.
4.期刊论文 宋燕 一类具有全局中心的可积非Hamilton系统的Abel积分 -辽宁师专学报(自然科学版)2002,4(3) 文章讨论一类具有全局中心的可积非Hamilton系统在n次多项式扰动下的系统的Abel积分零点个数估计问题,我们将利用格林公式,通过计算二重积分来计算Abel积分,最后得到的结论是:该系统的Abel积分的零点个数的上界为2[(n+1)/(2)].
5.期刊论文 钟建林 含参变量的有限n重积分的分析性质 -广西教育学院学报2005,""(4)
从含参变量的有限积分函数I(x)=∫dcf(x,y)dy的定义及共在区间[a,b]上的分析性质(连续性、可微性与可积性)出发,拓广到含参变量的有限
n(n≥2)重积分函数的定义及其分析性质,分别推导出含参变量的有限二重积分函数及含参变量的有限n重积分函数的连续性、可微性与可积性定理与公式.
6.期刊论文 杨彩萍 二重积分中值定理中间点的进一步讨论 -中国民航学院学报2000,18(1)
众所周知,二重积分中值定理一般表述为:"设D为平面上有界闭区域,f(x,y)在D上连续,g(x,y)在D上可积且不变号,则至少存在一点(ξη)∈D,使得∫∫Df(x,y)g(x,y)dxdy=f(ξ,η)∫∫Dg(x,y)dxdy."进一步证明了中间点(ζ,η)可选为D的内点,其结论与方法完全可推广到一般多重积分中值定理.
7.学位论文 宋燕 一类平面可积三次非Hamilton系统的Abel积分的零点个数估计 2000
确定Abel积分的零点个数的上界是当今分岔理论研究的热门课题之一,这一问题和确定某些系统在多项式扰动下的极限环个数密切相关.由于这是Hilbert第十六问题的一种特殊情况,所以把它叫做弱化的Hilbert第十六问题.以往关于弱Hilbert第十六问题所得的结果大部分集中在对Hamilton系统扰动的研究上,见文献[3][4][5][6]等,而对可积的但非Hamilton 系统的研究不多.本文主要讨论平面可积三次非Hamilton系统在n次多项式扰动下的系统的Abel积分的零点个数估计问题.我们将利用格林公式,通过计算二重积分来计算Abel积分,最后得到的结论是:系统(A)的Abel积分的零点个数的上确界为n;系统(B)的Abel积分的零点个数的上界为2[n+1/2]
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_hgsfxyxb200903003.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：ae2cb9b0-3c25-4abb-9a23-9dce016a9e44
下载时间：2010年8月10日
第14卷 第3期 邯郸师专学报 2004年9月 V ol. 14 No.3 Journal of Handan Teachers College Sept. 2004
积分因子的存在条件及求法
阎淑芳
(邢台学院 数学系，河北 邢台 054001)
摘 要：找积分因子是解一阶常微分方程的一种重要方法，这里主要分析说明了积分因子的存在条件及积分因子的求解方法．
关键词：积分因子；全微分方程；常微分方程
中图分类号：O175 文献标识码：A 文章编号：1008-3332(2004)03-0003-04
一阶微分方程的对称形式为：M(x，y)dx+N(x，y)dy=0……(1)其求解方法是根据类型确定求解方法，其中一类是全微分方程．所谓全微分方程就是方程(1)的左端恰为某个函
∂M ∂N =，当此条件不满足时方程(1) ∂x ∂y
就不是全微分方程，因此如果有一个恰当的函数μ(x，y) ≠0，使方程(1)的两端乘以μ(x，y) 数的全微分．我们知道(1)为全微分方程的充要条件是后所得的方程μ(x，y)M(x，y)dx+μ(x，y)N(x，y)dy=0(2)为全微分方程，则函数μ(x， y ) 为方程(1)的积分因子．
1 积分因子存在的条件
微分方程μ(x，y)M(x，y)dx+μ(x，y)N(x，y)dy=0为全微分方程的充要条件是
∂[µ(x , y ) M (x , y )]∂[µ(x , y ) N (x , y )]= ∂x ∂y
既 µ(x , y ) ∂M (x , y ) +M (x , y ) ∂µ(x , y ) =µ(x , y ) ∂N (x , y ) +N (x , y ) ∂µ(x , y ) ∂y ∂x ∂x ∂x 另记μ(x，y)=μ，M(x，y)=M，N(x，y)=N．上式整理即为： 1∂µ∂µ∂M ∂N (N −M ) =− (3) µ∂x ∂y ∂y ∂x
∴μ(x，y) 为方程(1)的积分因子的充要条件是μ(x，y) 为方程(3)的解．
2 积分因子的求法
由“1”可知寻找积分因子相当于求解一个偏微分方程，一般情况下比较困难，但它给我们提供了寻求积分因子的一种途径．
————————————
收稿日期：2004-03-17
作者简介：阎淑芳(1964—) ，女，河北威县人，邢台学院数学系副教授.
3
2004年 邯郸师专学报 第3期 ———————————————————————————————————————
定理1 方程(1)存在只与x 有关的积分因子充要条件是
1∂M ∂N (−) =Φ(X ) N ∂y ∂x
证明
① 必要性
若方程(1)存在只与x 有关的积分因子μ(x)，则
∂µ=0 ∂y 代入(3)得
1∂µ1∂M ∂N =(−) (4) µ∂χN ∂y ∂x
左端只依赖于x 而与y 无关，所以右端也只依赖于x 而与y 无关，既
1∂M ∂N (−) =Φ(x ) N ∂y ∂x
② 充分性
若 1∂M ∂N (−) =Φ(x ) N ∂y ∂x
则由(4)知分离变量得
1∂µ=Φ(x ), µ(x ) =e ∫Φ(x ) dx µ∂x
定理2 方程(1)存在只与y 有关的积分因子充要条件是
1∂M ∂N () =Ψ(y ), 且µ(y ) =e ∫ψ(y ) dy −M ∂y ∂x
证明 与定理1类似，略．
定理3 μ(x，y)=μ[ω(x，y)]为方程(1)的积分因子的充要条件是分式 (∂M ∂N ∂ω∂ω−) /(N −M ) =Φ[ω(x , y )] ∂y ∂x ∂x ∂y
且μ(x，y)=e ∫Φ(ω) d ω≡f (ω) =f [ω(x , y )](这里Φ[ω(x , y )]为ω(x，y) 的复合函数) ．
证明 若μ(x，y)=μ(ω(x，y)) 为方程(1)的积分因子，代入(3)整理得 N
4 ∂M ∂N d µ∂ωd µ∂ω−M =(−) µ[ω(x , y )] d ω∂x d ω∂y ∂y ∂x
２００４年 阎淑芳：积分因子的存在条件及求法 第３期 ———————————————————————————————————————
5
2004年 邯郸师专学报 第3期 ———————————————————————————————————————
其中Φ(x,y)=∫Φ(U 0) dU 0, U 0=U 0(x , y )
利用这定理可得另一更普遍的求积分因子的方法，将方程(1)写成
(M 1dx +N 1dy )+(M 2dx +N 2dy )=0 (或更多项)
已知各括号内已求得积分因子
µ1(x , y )(M 1dx +N 1dy ) =dU 1(x , y )
µ2(x , y )(M 2dx +N 2dy ) =dU 2(x , y )
由定理4的结论，两个括号还各有更一般的积分因子µ(x , y ) =µ1Φ(U 1) 及ρ(x , y ) =µ2Φ(U 2) ，其中Φ1及Φ2是任意可微单元函数，可以设法寻求适当的Φ1及Φ2，使成立等式µ1Φ（=µ（x , y ）=ρ(x,y)=µ2Φ(U 2) 即为原始方程的积分因子． 1U 1）
例 求解微分方程(x y −2y ) dx +x dy =0 324
(x 3ydx +x 4dy ) −2y 2dx =0 11前一组有积分因子3和通积分xy=C；后一组有积分因子2和通积分x=C．我们要x y
11寻找可微函数Φ1与Φ2使3Φ1(xy ) =2Φ2(x ) x y
11这只要取Φ1(xy ) =, Φ(x ) = 225(xy ) x
1所以原方程的积分因子为µ=52 x y
12用它乘原方程得d (xy ) −dx =0 (xy ) 2x 5解
2x 2
不难求出方程的通解为y= 42Cx +1
其中C 为任意常数；另有特解x=0，和y=0．
6