《二重积分存在的条件》

第２９卷第３期黄冈师范学院学报Ｖ０１．２９Ｎｏ．３２００９年６月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕａｎｇｇａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＪｕｎ．２００９

二重积分的一个可积条件及性质

江芹，马晟

（黄冈师范学院数学与信息科学学院，湖北黄州４３８０００）

摘要本文主要研究了矩形区域上二重积分的一个可积条件及性质．

关键词二重积分；可积；分割；矩形区域

中图分类号０１７２．２文献标识码Ａ文章编号１００３．８０７８（２００９）０３－０００８４２２

Ｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｂｉｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｎｄｉｎｔｅｇｒａｌｐｒｏｐｅｒｔｙｏｆｄｏｕｂｌｅｉｎｔｅｇｒａｌ

ＪＩＡＮＧＱｉｎ，ＭＡＳｈｅｎｇ

（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ，ＨｕａｎｇｇａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｕａｎｇｚｈｏｕ４３８０００，Ｈｕｂｅｉ，Ｃｈｉｎａ）ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｔｈｅｐａｐｅｒ，ｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｂｉｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｎｄｉｎｔｅｇｒａｌｐｒｏｐｅｒｔｙａｌｅｏｂｔａｉｎｅｄｆｏｒｄｏｕｂｌｅｉｎｔｅｇｒａｌｉｎ—ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒｒｅｇｉｏｎ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓｄｏｕｂｌｅｉｎｔｅｇｒａｌ；ｉｎｔｅｇｒａｂｌｅ；ｃｕｔ；ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒｒｅｇｉｏｎ

１引言及主要结果

在文献［１］中，定理１０．５和定理１０．９分别讲述了函数ｆ在［ａ，ｂ］上的可积条件及其性质，即。在［ａ，ｂ］上只有有限个间断点的有界函数，在［ａ，ｂ］上是可积的．文献［２］中，定理２０．３和定理２０．２分别讲述了矩形区域上二重积分的可积条件。受到文献［１—４］的启示，我们考虑：矩形区域上二重积分是否也有类似于文献［１］的定理ｌＯ．５和定理１０．９的结论呢？在本文中，我们主要讨论了矩形区域上二重积分的一个可积条件及性质．其主要结果是：

定理ｌ设厂为定义在矩形区域Ｄ＝［口。，ｂ。］“口：，ｂ：］上只有有限个间断点的有界函数，．贝ｌＪｆ在Ｄ上可积．

注１定理１推广了文献［１］中的定理ｌＯ．５，得到二重积分的一个可积条件．

定理２若＾ｇ在矩形区域Ｄ＝［口。，ｂ。］×［ａ：，ｂ：］上可积，则詹在Ｄ上也可积．

注２定理２推广了文献［１］中的定理１０．９，得到了二重积分的的性质．

定理３若厂，占在矩形区域Ｄ＝［ａ。，ｂ，］“口：，ｂ：］上可积，则

ｓ（石，ｙ）２ｋｍ加ａｘ．ＤＩｆ（戈，ｙ），ｇ（菇，），）｝，ｓ（菇，ｙ）２（嚣酬“戈，ｙ），ｇ（ｘ，ｙ）Ｉ‘＃．ｒＪＥ工，ｌ，．Ｔ】Ｅ”

在Ｄ上也可积．

收稿日期：２００９－０２－１７．

作者简介：江芹，女，湖北武汉人，讲师，主要从事非线性分析的研究．基金项目：黄冈师范学院课程改革项目（姗８ｃｋ３５）资助．

万方数据

第３期江芹．等：二重积分的一个可积条件及性质・９・２定理的证明

２．１定理１的证明

证明设厂在区域Ｄ＝［口。，ｂ。］×［口：，ｂ：］上有ｋ个间断点，它们依次为（茗，，扎），（菇：，托），…（‰，儿），不妨设ａ】＜菇ｌ＜勉＜…＜孔＜ｂ】，ａ２＜Ｙｌ＜鲍＜…＜儿＜ｂ２．给正数占，令０＜艿＜厂———＝——一√磊历产ｊ万，其中Ｍ，ｍ分别为厂在区域Ｄ＝［口ｔ，ｂ１］×［口ｚ，ｂｚ］上的上确界与下确界，并记盯；＝Ｉｘｔ一８，ｘ‘＋６］×［乃一艿，乃＋艿］，ｉｊ＝１，２，…，ｋ．取６足够小，使得口１≤茗１一艿，茗Ｉ＋６≤ｂｌ；口２≤Ｙｌ一艿，儿＋艿≤ｂ２且盯；ｎ艿二＝中，驴≠ａ１１．

类：一类是含有间断点的小区间Ｏ＇ｑ７，其总面积不超过玎南；另一类是不含间断点的小区间盯；，在这些矿；上连续。由文献［２］的定理２０．３和定理２０．２（必要性），对任意的８＞ｏ，存在关于所有盯；上的现在在Ｄ上取分割ｒ，使得上述盯：是它所属的一部分小区间．于是ｒ所属的全部小区间有如下两一个分割１，－＝｛矿。，０＂２，…，１７＂。｝，使得∑∞；△以＜等，其中∞；为厂在以上的振幅

记Ｔ＝，＋，，它是Ｄ上的又一个分割．对于ｒ，有

∑∞；Ａｏ＂ｉ＝∑∞ｉ△盯；＋∑ｏ叽Ａｏ－‘≤（肘一ｍ）∑Ａｏ＂；＋孚

。矿事ｒ叮；＿

＜（肼一ｍ’币南万＋号＝Ｂ

根据文献［２］的定理２０．２（充分性），在Ｄ上可积．

２．２定理２的证明

证明由ｆ，ｇ在Ｄ＝［嘞，ｂ，］×［ａ：，ｂ：］上可积，从而有界，故可设

’Ａ２（舄足。ｌ以石，ｙ）Ｉ，Ｂ２（划ｓｕ）ｐ。。ｌｇ（石，，，）ｌ

．且Ａ＞ｐ，Ｂ＞０，否则ｆ，ｇ至少有一个恒为零值函数，则磨亦恒取零值，显然可积．

任给占＞ｏ，令占’＝鑫，占。＝刍对占’＞ｏ，由厂可积，必存在分割，，使得；出矶＜占’；同理对占＞ｏ，也存在分割ｚ，，使得其中∑∞犯砚＜口。，其中４，∞；分别为＾ｇ在矾，乃上的振幅。

令Ｔ＝，＋，，则对于Ｄ＝［ａ。，ｂ。］×［％，ｂ：］上分割ｒ所属的小区间以，有。

钟＝，

≤，、掣ｐ、、ｓ，ｕｐ、１人菇１，），１）ｇ（菇ｌ，Ｙ１）－ｆ（戈２，ｙ２）ｇ（ｘ２，Ｙ２）Ｉ［Ｉｇ（石ｌ，，，１）Ｉ｜以茗ｌ，ｙ１）一灭％，鲍）ｊ＋Ｉ尺屯，扎）Ｉ｜ｇ（茗１，，，１）一ｇ（ｘｚ，儿）Ｉ］

≤曰４＋Ａ，４．

从而有

；吆Ｉ／ｔｏ－Ｉ≤∑８竹Ｉ△仃Ｉ＋∑‰４盯Ｉ≤Ｂ∑以盯ｉ＋Ａ∑衅△听＜如’＋Ａｓ。＝８．

这样就证明了唐在Ｄ上也可积．

２．３定理３的证明

证明由ｆ，ｇ在Ｄ＝［口。，ｂ。］“ａ：，６：］上可积，根据文献［２］中二重积分的性质１和性质２可知∥±ｇ在Ｄ上也可积，由此Ｉｆ＋ｇｌ在Ｄ上也可积（根据性质５）．又

ｓ（Ⅵ）：地幽土出五叫墨型Ｌ４业址ｓ（戈，），）：厶羔辽Ｌ±五鱼＿吐Ｊ去厶曼丛Ｌ二显咄万方数据（下转第１２页）

・１２・黄冈师范学院学报第２９卷列周期ｒ的特点如下：一

当Ｊ｜｝为偶数时，Ｔ＝４（ｋ＋１）；

当ｋ为奇数时，Ｔ＝２（ｋ＋１）．

证明当Ｐ＝ｑ（ｐ，ｑ∈Ｚ）时，如表１：

表１，Ｉ取不同值时Ｇ及ｐ只的值

由表ｌ可以看出Ｇ。＝ｐＦ川，｛ｐＦ．｝中的第ｎ＋ｌ项为｛Ｇ。｝中的第１１，项，且｛ｐＦ。｝中的奇数项的数为｛Ｇ。｝中的偶数项数，偶数项数为奇数项数，所以

广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列｛ｑ｝，当ｐ＝ｑ时，关于模Ｃ。（ｋ＞２）的模数列周期的特点如下：

当ｋ为偶数时，Ｔ＝４（ｋ＋１）；

当ｋ为奇数时，Ｔ＝２（ｋ＋１）．

推论２得证．

参考文献：

［１］袁明豪．Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列的模数列的周期性［Ｊ］．数学的实践与认识，２００７，３７（３）：１１９—１２２．

［２］吴振奎．斐波那契数列［Ｍ］．沈阳：辽宁教育出版社，１９８７，６．

［３］ＸｉＧａｏｗｅｎ，ｕｕＭａｉｘｕｅ．Ｔｈｅ８ａＩ粥ｓｕｍｆｏｒｍｕｌａｆｏｒＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＦｉｂｏｎａｃｃｉＮｕｍｌ弛ｒｓ［Ｊ］．ＣｈｉｎｅｓｅＱｕａｒｔｅｒｌｙＪｏｕｒｎａｌＯｆＭａｔｈ－

ｅｍａｔｌｃｓ，２００７，２２（２）：２５８—２６５．

［４］孙淑玲．组合数列引论［Ｍ］．合肥：中国科学技术大学出版社，２００４．

责任编辑张所滨

（上接第９页）

根据文献［２］中二重积分的性质１、性质２得，Ｓ（髫，Ｙ），ｓ（石，，，）在Ｄ上可积．证毕．

参考文献：

［１］华东师范大学数学系．数学分析（上册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９１．

［２］华东师范大学数学系．数学分析（下册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９１．

［３］菲赫金哥尔茨．微积分学教程［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９９８．

［４］林源渠，方企勤．数学分析解题指南［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００２．责任编辑张所滨

万方数据

二重积分的一个可积条件及性质

作者：

作者单位：

刊名：

英文刊名：

年，卷(期)：

被引用次数：江芹， 马晟， JIANG Qin， MA Sheng黄冈师范学院,数学与信息科学学院,湖北,黄州,438000黄冈师范学院学报JOURNAL OF HUANGGANG NORMAL UNIVERSITY2009，29(3)0次

参考文献(4条)

1. 华东师范大学数学系 数学分析 1991

2. 华东师范大学数学系 数学分析 1991

3. 菲赫金哥尔茨 微积分学教程 1998

4. 林源渠. 方企勤 数学分析解题指南 2002

相似文献(7条)

1.期刊论文 刘德厚 二重积分的概念刍议 -科技信息(学术版)2008,""(24)

二重积分是数学分析和高等数学研究的重要内容之一,二重积分的定义中对被积函数要求的条件过高,适当降低条件也是可以的.

2.期刊论文 强永霞 关于迪里黑里公式证明的一个注记 -温州大学学报2003,16(1)

本文从著名的吉米多维奇著<数学分析习题集>中的迪里黑里公式证明出发,通过构造一个反例,指出其中的不严谨之处,并且指出了一个补救的方法.为此,我们使用了零测度集、几乎处处连续等工具和Lebesgue关于Riemann可积函数的特征刻划等较艰深的结果.

3.期刊论文 张立圃. ZHANG Li-pu 利用初等数学的方法证明Schwarz不等式 -雁北师范学院学报2007,23(2) 该文主要讨论利用初等数学的知识证明Schwarz不等式的几种方法.

4.期刊论文 宋燕 一类具有全局中心的可积非Hamilton系统的Abel积分 -辽宁师专学报(自然科学版)2002,4(3) 文章讨论一类具有全局中心的可积非Hamilton系统在n次多项式扰动下的系统的Abel积分零点个数估计问题,我们将利用格林公式,通过计算二重积分来计算Abel积分,最后得到的结论是:该系统的Abel积分的零点个数的上界为2[(n+1)/(2)].

5.期刊论文 钟建林 含参变量的有限n重积分的分析性质 -广西教育学院学报2005,""(4)

从含参变量的有限积分函数I(x)=∫dcf(x,y)dy的定义及共在区间[a,b]上的分析性质(连续性、可微性与可积性)出发,拓广到含参变量的有限

n(n≥2)重积分函数的定义及其分析性质,分别推导出含参变量的有限二重积分函数及含参变量的有限n重积分函数的连续性、可微性与可积性定理与公式.

6.期刊论文 杨彩萍 二重积分中值定理中间点的进一步讨论 -中国民航学院学报2000,18(1)

众所周知,二重积分中值定理一般表述为:"设D为平面上有界闭区域,f(x,y)在D上连续,g(x,y)在D上可积且不变号,则至少存在一点(ξη)∈D,使得∫∫Df(x,y)g(x,y)dxdy=f(ξ,η)∫∫Dg(x,y)dxdy."进一步证明了中间点(ζ,η)可选为D的内点,其结论与方法完全可推广到一般多重积分中值定理.

7.学位论文 宋燕 一类平面可积三次非Hamilton系统的Abel积分的零点个数估计 2000

确定Abel积分的零点个数的上界是当今分岔理论研究的热门课题之一,这一问题和确定某些系统在多项式扰动下的极限环个数密切相关.由于这是Hilbert第十六问题的一种特殊情况,所以把它叫做弱化的Hilbert第十六问题.以往关于弱Hilbert第十六问题所得的结果大部分集中在对Hamilton系统扰动的研究上,见文献[3][4][5][6]等,而对可积的但非Hamilton 系统的研究不多.本文主要讨论平面可积三次非Hamilton系统在n次多项式扰动下的系统的Abel积分的零点个数估计问题.我们将利用格林公式,通过计算二重积分来计算Abel积分,最后得到的结论是:系统(A)的Abel积分的零点个数的上确界为n;系统(B)的Abel积分的零点个数的上界为2[n+1/2]

本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_hgsfxyxb200903003.aspx

授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：ae2cb9b0-3c25-4abb-9a23-9dce016a9e44

下载时间：2010年8月10日

二重积分的应用

(陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021)

摘要:二重积分对于工程技术有着十分重要的作用(对于建筑设计，不仅要求外观设计漂亮，有时还需要计算它们的容积(比如体育馆的比赛大厅、影视院的观众厅等(因为容积大小直接影响声音传播的效果与空气质量等(另外由于核算成本，计算所需原材料，还要计算建筑物的表面积(而有些公共设施建筑物的顶部是曲顶，那么如何计算这些建筑物的容积,如何计算这些建筑物顶部的表面积,都需要用到数学中的二重积分。二重积分在建筑设计中的应用，将诸多实际问题抽象为数学问题，使问题简单易懂。同时二重积分在建筑设计中的应用可以与数学建模、数学实践进行有机结合。

关键词:二重积分，应用，体积

The Application of Double Integral

ABSTRACT:The double integral plays an important role in engineering. For the architectural design, requires not only the

appearance design is beautiful, sometimes need to calculate their volume. For example, the stadium in the game hall, film and

Television Institute audience hall. Because the volume size directly affects the sound propagation effect and air quality and so on. In addition to the cost calculation, calculation the raw materials required for the building, but also to calculate the surface area. While some of the top public facilities building is a top volume, then how to calculate these buildings? How to calculate the surface area of the top of the building? Need to use mathematics in double integrals. Application of double integral in architectural design, many practical problems to mathematical problems, make the problem easy to understand. At the same time the application of double

integral in architectural design can be combined with mathematical modeling, mathematical practice.

KEYWORDS:Double integral, applications, volume

一( 二重积分的应用

(1)在力学上的应用

1)质量(薄板)

,,Sxy假设薄板在平面上覆盖区域，设在点的密度为 (质量,单位体积)。把分成(,)xy(,)xy

____

,(,)xy(,)xyRRR,,？RRAR()小矩形，在上找一点，那么的质量近似于 ，整个薄板kkkk12kkkk

n__

的质量近似于 mxyAR,,(,)(),kkk,1k

mxydA,,(,)实际质量科通过分割的小矩形对角线长趋近与零时，计算上式的极限得到。,1, ,,S

1

2)质心

如果分别是位于平面上点的质量，关于轴和轴的总力ymm,,？(,),(,),(,)xyxyxy？x1n1122nn

nn

矩是 MxmMym,,,,,ykkxkk,,11kk

nn

xmym,,kkkk____MMyk,1xk,1,,y,,x此外，质心(平衡点)的坐标为 (,)xynnmmmm,,kkk,1k,1

S考虑一个密度为变量的薄板在平面上覆盖区域，对薄板进行分割，假设每个的质量近R,(,)xyk

__

处，最后，当分割的小矩形对角线趋近与零时取极限，导出公式似的集中在(,)xykn,1,2,,？

xxydA,(,)yxydA,(,),,,,__MMysxs ,,,,yxmm(,)xydA(,)xydA,,,,,,SS

(2)转动惯量

12Emv,从物理学上，我们知道，一个质量是、速度是且沿直线运动的物体，其动能是mvk2(1)。假如物体不是沿直线运动，而是以角速度绕着一条轴运动，它的速度是，其中，是它,vr,,r

1222Erm,,rm()的圆形路线的半径。当代入(1)时，得到。表达式叫做质点的转动惯量(惯性k2

J矩)，记作。

12EJ,,因而，对于一个旋转的质点(2) k2

由(1)和(2)可知:对于一个做圆周运动的物体，转动惯量在其中扮演的角色与质量在直线运动

的物体扮演的角色类似。

Lmmm,,？rrr,,？n对于一个在平面内包含了质量分别是，距离直线分别为的个物体系12k12n

n22n2L统，这个系统关于的转动惯量定义为Jmrmrmr,，，？ ,2, ,mr,kk1122nn,k1

换而言之我们，我们把每一部分加起来。

2

SS现在，我们考虑密度是，覆盖位于面内的区域的薄板，如果我们类似图二把分块，xy,(,)xy

求出每一小块的转动惯量的近似值，加起来，求极限，可以推出关于轴轴和轴的转动惯量yRxzk

22JyxydAJxxydA,,(,),(,),,(也叫第二力矩)的公式分别为，xy,,,,SS

22JxyxydAJJ,，,，()(,), zxy,,S

二( 二重积分的具体运用

(1)体积问题

由二重积分的几何意义知:若，二重积分表示以为曲顶，以,为底的曲顶fxy(,)0,zfxy,(,)

n

柱体的体积(即因此，建筑物的容积问题可以使用数学中二Vffxyd,,,lim(,)(,),,,,,ii,,i,,,1,iD

重积分来解决(

1)求曲顶建筑物的容积(

例.计算国家大剧院的容积

2222如果把国家大剧院的顶部看成球面的一部分(把大剧院的中心部位作为坐标原xyza，，,4

222的一部分，因此，国家大剧院的容积问题，可以粗略点)，大剧院的下面部分看成是柱面xya，,2

2222222的看成一个二重积分题(即:求由球体和圆柱体及面上方所围xoyxyza，，,4xya，,2成的公共部分的体积(

通过以上分析，可以把大剧院的容积问题抽象成一个数学问题，也就是二重积分问题，从而建立数

学模型求出结果(,3,

22222Vaxydxdy,，,44由球的对称性知，其中, 为xoy面上圆周y在第yax,,2,,D

,0,,02,,ra一卦限的区域，在极坐标系下，, 可表示为，(所以，大剧院的容积(粗略,2

,2a2232222,,,Varrdrd,，44,(822)a的)为 ,,44darrdr, ,,,,3D00

2)求两圆形管道相交部位的体积

这个问题可以抽象成两个等半径(或不等半径)的圆柱体相交所围成的立体体积问题(,4,

某学校在建学生宿舍楼时，需要安装下水管道，下水管道拐弯处需要设计两个管道相交，现有半径

为a的圆形管道材料，试计算两管道在拐弯处所形成的体积(体积的大小直接影响水的流量)(

222222xza，,此问题可以抽象成求圆柱体和所围立体的体积因此，两管道在拐弯处所xya，,

形成的的体积为

22aax,1622322,,8dxaxdy,aVaxdxdy,,8 ，，,,,,3D00

3

(2)表面积问题

为了解决建筑设计中曲顶建筑物的表面积问题，下面引入曲面面积公式(二重积分中曲面面积公式为:

2,,zz2 1()()Adxdy,，，,,,,xyDxy

1)曲顶建筑物的表面积问题(

计算伊斯兰教堂(主楼)顶部的面积(

22假如伊斯兰教堂(主楼)顶部是以旋转抛物面为顶的曲面，那么这个问题就是数学zxy,,,1

中的曲面面积问题(,5,

22设顶部是以旋转抛物面被平面所截得曲面，由于它的对称性，该抛物面的面积xoyzxy,,,1

是它在第一卦限部分面积的,倍(由曲面面积公式得伊斯兰教堂(主楼)顶部的面积为:

,122,,zz2222,，，41(4)(4)xydxdy ,，414rrdrd,41()()Sdxdy,，，,,,,,,,,xyDD00

,,,(551) 6

三(总结

我们知道数学在建筑设计中的应用，可以利用二重积分求解曲顶建筑物的容积和表面积计算的问题(理解“数学来源于实践，服务于实践”的含义(进一步展示数学作为一门公共基础课如何与专业课进行有机的结合，数学作为一门工具性学科对于社会实践，科学技术、工程问题所起到的作用。

参考文献

,1, 范玉军(高等数学(上册)(工科类专业),,,(北京:人民邮电出版社，,,,,，,(

,2, 西安建筑科技大学等七校合编(房屋建筑学,,,(北京:中国建筑工业出版社，,,,,.

,3, 彭德正(信息技术与课程整合实施过程中的误区及对策,,,(教育科研论坛，,,,,(

,4, 马震安(信息技术与课程整合热下的冷思考,,(中小学电教(教师版)，,,,,(

,5, 应之宁(浙江省信息技术辅助高中数学教学的现状分析与对策,,,(中学数学,,,,.

4

二重积分的计算(一)

内容要点

一、在直角坐标系下二重积分的计算

对X型区域：{(x,y)|axb,1(x)y2(x)}，有

f(x,y)dxdy

D

b

a

dx

2(x)

1(x)

f(x,y)dy (2.2)

对Y型区域：{(x,y)|cyd,1(y)x2(y)}，有



D

f(x,y)dxdydy

c

d

2(y)

1(y)

f(x,y)dx. (2.3)

二、交换二次积分次序的步骤

（1）对于给定的二重积分dx

ab

2(x)

1(x)

f(x,y)dy, 先根据其积分限

axb,1(x)y2(x),

画出积分区域D（图9-2-13）；

（2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分区域D的积分限

cyd,1(y)x2(y),

（3）写出结果

a

b

dx

2(x)

1(x)

f(x,y)dydy

c

d

2(y)

1(y)

f(x,y)dx.

三、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算

利用被积函数的奇偶性及积分区域D的对称性，常会大大化简二重积分的计算. 在例5中我们就应用了对称性来解决所给问题. 如同在处理关于原点对称的区间上的奇（偶）函数的定积分一样，在利用这一方法时，要同时兼顾到被积函数f(x,y)的奇偶性和积分区域D的对称性两方面.

例题选讲

在直角坐标系下二重积分的计算

例1（E01）计算

xyd,其中D是由直线y1,x2及yx所围成的闭区域.

D

解一 如图，将积分区域视为X—型,



D

xyd



1

2x

xydydx1



2

1

y2

xdx21

x



2x3

1

x4x2x1

dx1.

418228

2

解二 将积分区域视为Y—型,

xyd

D

22

1

xydxdyy



2

1

x2

ydy

2y

2



2

1

2y4y31

2ydyy1.

2818

2

例2 计算

y

D

x2y2d, 其中D是由直线yx、x1和y1所围成的闭区域.

解 如图,D既是X—型,又是Y—型.若视为X—型,则

1

11122223/2

(1xy)dx 原积分yxydydx

1xx31112131(|x|31)dx(x1)dx.

31302



1







若视为Y—型，则



D

yx2y2d





y1

1y

1



x2y2dxdy,



其中关于x的积分计算比较麻烦，故合理选择积分次序对重积分的计算非常重要.

例3（E02））计算二重积分

xyd,其中D是由抛物线y

D

2

x及直线yx2所围成

的闭区域.

解 如图,D既是X—型，也是Y—型.但易见选择前者计算较麻烦，需将积分区域划分为两部分来计算，故选择后者.



D

xyd



1

2y2

y2

x2

xydxdy

12



2

1

ydy

2y2

2

y2



2

1

[y(y2)2y5]dy

1y443y652

y2y5. 243618

例4（E03）计算

y

edxdy, 其中D由yx,y1及y轴所围. D

2

解 画出区域D的图形.将D表成X—型区域,得D:0x1,xy1,



D

edxdy

y2



1

dxeydy.

x

1

2

因eydy的原函数不能用初等函数表示.所以我们要变换积分次序. 将D表成Y—型区域,得D:0y1,0xy,



2



D

eydxdy

2



1

dy

y

eydx

2



y2

eyxdy0

0

1



1

yeydy

2

11y21

ed(y2)(e1). 202



例5（E04）计算

2

|yx|dxdy,其中D为1x1,0y1. D

解

1

|yx

D

2

|dxdy(x2y)dxdy(yx2）dxdy

D1

D2

dx(xy)dydx2(yx2)dy

11

x2

2

11

01x

1114111

xdxx2x4dx. 1212215

例6 计算二重积分形.

解 如图，因为D是矩形区域,且exyexey,所以

e

D

xy

dxdy, 其中区域D是由x0,x1,y0, y1所围成的矩

e

D

xy

1x1yy12dxdyedxedy(ex10)(e0)(e1).

00



例7（E05）求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.

解 成的立体的体积. x2y2R2及x2z2R2.利用立体关于坐标平面的对称性,只要算出它在第一卦限部分的体积V1,然后再乘以8即可.如图.易见所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为

D{(x,y)0yR2x2,0xR},

它的顶是柱面zR2x2.于是, V1



D

R2x2d



R

R2x2



R2x2dydx





R

R2x2y

o

R2x2

dx





R

(R2x2)dx

23

R, 3

故所求体积为V8V116R3/3.

交换二次积分次序的步骤

例8 交换二次积分



1

dx

1x

f(x,y)dy的积分次序.

解 题设二次积分的积分限:0x1,0y1x, 可改写为:0y1,0x1y, 所以

例9（E06）交换二次积分



1

dxf(x,y)dydy

1x



11y

f(x,y)dx.

dx

1x

x2

f(x,y)dy的积分次序.

解 题设二次积分的积分限:0x1,x2yx, 可改写为:0y1,yxy, 所以



1

dx

x

x2

f(x,y)dydy



y

1y

y

f(x,y)dx.

例10（E07）证明



所以

a

dyeb(xa)f(x)dx(ax)eb(xa)f(x)dx

a

其中a、b均为常数, 且a0.

证 等式左端二次积分的积分限:0ya,0xy可改写为0xa,xya

a

y

a

a

a



dy

e

b(xa)

f(x)dx



dx

x

e

b(xa)

f(x)dy



e

b(xa)



f(x)dydx

x



a



a

(ax)eb(xa)f(x)dx.

例11（E08）交换二次积分



1

dx

2xx2

f(x,y)dydx

1

22x

f(x,y)dy

的积分次序.

解 题设二次积分的积分限:

0x1,0y2xx2



0y2x1x2,

可改写为 0y1,1y2x2y 所以 原式

例12 交换二次积分

dy

12y

1y2

f(x,y)dx.

2a2ax

dx02axx2f(x,y)dy(a0)的积分次序.

解 题设二次积分的积分限:0x2a,2axx2y2ax由 y2

x y2ax

2a

y xaa2y2

原式

例13 计算积分 I

0

a

dy

aa2y2

2

y2a

f(x,y)dx



a

dy

2a

aa2y2

f(x,y)dx



2a

dy

2a

y22a

f(x,y)dx.



1/21yy/x

dyedxdy1/41/21/2



yy/x

edx. y

解 



yxedx

不能用初等函数表示,先改变积分次序. 题设二次积分的积分限:

11

y,241

y1,2

可改写为

1

xy2 yxy

1

x1,x2yx，所以 2I



1dx2

1x

x2

yexdy



1

12

31

x(eex)dxee.

82

利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算

例14（E09） 计算围成.

解 令g(x,y)xyf(x2y2),因为D关于y轴对称,且g(x,y)g(x,y), 故

222

D其中积分区域由曲线与y1所yxy[1xf(xy)]dxdy,

D



D

xyf(xy)dxdy0

I

22



D

ydxdy



1

1

dx

1

x

ydy2

1

2



4

(1x4)dx. 15

1

例15 计算I

22

其中D:4xy4. (xy1)dxdy,

D

解法一 先对y积分,积分区域D:

1x1

22, 2xy2x

故I



1

1

dx

2x2

2

1

(xy1)dyxy1x2122



1

2x2

dx

1x2



12

42. 4x2dx(1x2)3/2

1132

1

解法二 先对x积分，积分区域D:

2y2



14y2x14y2, 22

故I



2

2

dy



1

4y221

4y22

(xy1)dx2.

解法三 利用对称性,

I

xydxdydxdy.

D

D

因为积分域D关于x轴对称，且函数f(x,y)xy关于x是奇函数,所以

xydxdy0.

D

又

dxdy2. 故I2.

D

例16（E10）计算

x

D

2

y2dxdy, 其中区域D:|x||y|1.

解 因为D关于x轴和y轴对称，且f(x,y)x2y2,关于x或关于y为偶函数

I4



D1

x2y2dxdy4dx

0

11x

x2y2dy

43



1

x2(1x)3dx

1. 45

注: 若直接在D上求二重积分，则要繁琐很多.

例17 证明不等式 1



D

(cosy2sinx2)dxdy2, 其中D:0x1,0y1.

证 因为D关于xy对称，所以



DD

cosx2dxdy

2



D

cosy2dxdy，故

(cosy

D

2

sinx2)dxdy

(cosx

sinx2)dxdy

又由于cosx2sinx22sin(x2

1



4

)及0x21而D的面积为 1. 由二重积分性质,有



D

(cosy2sinx2)dxdy2.

练习

1. 变换下列二次积分的次序：dx

10

x2x1

f(x,y)dy.

2. 计算

D

x2y2

d,其中D是由直线x2,yx及双曲线xy1所围成的区域.

1

1

3. 计算二次积分dxsiny2dy.

x

二重积分

工学院10机制本三班 姓名：程利彬 学号：100610018

（一） 二重积分的定义

一、定义：

设z=f（x ，y ）为区域D 上的有界函数．

1 把区域D 任意分成n 个小区域，其面积为（k=1，2，···， n ）．

2 在每个小区域

作和

怎么划分，中任取一点 怎样取，当n 3 无论

径且小区域的最大直0时，和式的极限如果存在，则此极限值叫做函数f （x ，y ）

d ．即d =在区域D 上的二重积分，记作

（，）

式中，x 与y 称为积分变量；f （x ，y ）称为被积函数；D 称为积分区域；d 称为面积元素；f （x ，y ）d 称为被积表达式．

二、关于二重积分的几点说明：

1 如果被积函数f （x ，y ）在闭区域D 上的二重积分存在，则称f （x ，y ）在D 上可积．f （x ，y ）在闭区域D 上连续时，

f （x ，y ）在D 上一定可积．以后总假定f （x

，y ）在D 上连续．

二重积分与被积函数和积分区域有关，与积分变量的表示法无关，即

3. 二重积分d 的几何意义是：当f （x ，y ）时，二d = 重积分就表示曲顶柱体的体积；当f （x ，y ）时，二重积分就表示曲顶柱体的体积的负值；当f （x ，y ）有正有负时，二重积分就等于这些部分区域上的曲顶柱体体积的代数和．

（二）二重积分的性质

性质1

被积函数的常数因子可以提到积分符号的外面去，即

= k

性质2

有限个函数代数和的二重积分等于各函数的二重积分的代数和．

性质3

如果把积分区域D

分成两个闭子集和，即D=+, 则

性质4

如果在D 上f （x ，y

）

性质5

如果在D 上，则

这个性质的几何意义表示曲顶柱体的积极的数值介于分别以被积函数的最小值和最大值为高，以D 为底的两个平顶柱体体积的数值之间．

性质6（中值定理）

如果函数

这个性质的几何意义表示在区域D 上以曲面f （x ，y ）为顶的曲顶柱体的体积等于以被积函数在D 上的某一函数值为高，D 为底的平顶柱体的体积．

性质7

如果积分区域的面积为S ，则

．

这个性质的几何意义表示高为1的平顶柱体的体积在数值上正好等于该柱体的底面积．

（三） 二重积分的应用

在二重积分的应用中，由许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理。如果所要计算的某个量对于闭区域D 具有可加性（就是说，当闭区域D 分成许多小闭区域时，所求量U 相应地分成许多部分量，且U 等于部分量之和），并且在闭区域D 内任取一个直径很小的闭区域d σ时，相应的部分量可近似地表示为f （x

，y ）d σ的形式，其中（x ，y ）在d σ内。这个f （x ，y ）d σ称为所求量U 的元素而记作dU ，以它为被积表达式，在闭区域D 上积分：

，

这就是所求量的积分表达式。

曲面的面积

设曲面S 由方程

z = f（x ，y ）

给出，D 为曲面S 在xoy 面上的投影区域，函数f （x ，y ）在D 上具有连续偏导数fx （x ，y ）和fy （x ，y ）。我们要计算曲面S 的面积A 。

在闭区域D 上任取一直径很小的闭区域d σ（这小闭区域的面积也记作d σ）。在d σ上取一点P （x ，y ），对应地曲面S 上有一点M （x ，y ，f （x ，y ）），点M 在xoy 面上的投影即点P 。点M 处曲面S 的切平面设为T 。以小闭区域d σ的边界为准线作母线平行于z 轴的柱面，这柱面在曲面S 上截下一小片曲面，在切平面T 上截下一小片平面。由于d σ的直径很小，切平面T 上的那一小片平面的面积dA 可以近似代替相应的那一小片面积的面积。设点M 处曲面S 上的法线于z 轴所成的角为γ，则

。

因为

所以

， 。

这就是曲面S 的面积元素，以它为被积表达式在闭区域D 上积分，得

。 上式也可写为

这就是计算曲面面积的公式。 。

7.1二重积分的概念

教学目的

了解二重积分的概念与性质(

教学重点

二重积分的引例和定义(

教学难点

二重积分的定义(

教学过程

1.导入

二重积分是多元函数积分学的一个重要内容(在一元函数积分学中我们讨论了定积分，定积分就是一种特殊和式的极限，如果将定积分的基本思想和方法应用到定义在平面区域的二元函数上，就可以得到二重积分的概念(

2.讲授新课

2.1二重积分的概念

2.1.1引例——求曲顶柱体体积

z,f(x,y)曲顶柱体的概念及示意图，顶面方程为二元连续函数( ,0

下面讨论如何定义并计算曲顶柱体的体积( V

曲顶柱体，由于其顶部的高度是变化的，因此它的体积不能用平顶柱体体积公式(体积 , 底面积 × 高)计算(但我们可以象讨论曲边梯形面积那样，采用“分割、取近似、作和、取极限”的步骤来解决曲顶柱体的体积问题(

n,D,D用任意曲线网将区域分成个小闭区域,, D12

,D,,,Dn„,,小闭区域的面积记作 (= 1,2,„,)， iiin

,D,Vn设以为底的细曲顶柱体的体积为(= 1,2,„,)， iii

则原曲顶柱体的体积为

n

V,,V ,i,1i

,D(,,,)f(,,,)f(,,,),,在上任取一点，以为高的细平顶柱体的体积可近似iiiiiiii

,V当作细曲顶柱体的体积: i

f(,,,),,,Vn? (= 1,2,„,) iiiii

n从而所求曲顶柱体体积近似地等于这个细平顶柱体体积之和:

1

nn

V,,Vf(,,,),, ? ,,iiii,1i,1i

各个小区域的直径的最大值记为λ，如果当λ?时上式右端和式的极限存在，那么就0

定义此极限为所求曲顶柱体的体积，即 V

n

V,limf(,,,),, ,iii,,0i,1

上述问题是一个几何问题，我们将所求的量最终归结为一种和式的极限(另外，还有许

多物理、几何、经济学上的量也都可以归结为这种和式的极限，因此有必要在普遍意义下研

究这种形式的极限(于是我们先抽象出二重积分的定义( 2.1.2二重积分的定义

定义7(1 设是有界闭区域上的有界函数，将闭区域任意划分成n个小f(x,y)DD

,D,,,D,Dn闭区域,D,,D,„,，记小闭区域的面积为(1,2,„,)(在每个上= iiiin12

n

f(,,,),,(,,,)f(,,,),,n任取一点，作乘积(1,2,„,)，再作和(如果不= i,iiiiiiiii,1

,D(,,,)论对区域怎样划分，也不论在上怎样选取，当所有小区域的直径的最大值Diii

n

f(,,,),,λ?时，和的极限存在，那么称此极限为函数f(x,y)在闭区域上的二D0,iiii,1

重积分，记作，即 f(x,y)d,,,D

n

f(x,y)d,,limf(,,,),, ,iii,,,,0i,1D

xf(x,y)f(x,y)d,其中称为被积函数， 称为被积表达式，称为面积元素，、称为yd,积分变量，称为积分区域( D

f(x,y)注 1 函数在有界闭区域上连续时二重积分必定存在( Df(x,y)d,,,D

f(x,y)注2 曲顶柱体的体积就是其高度函数在底面上的二重积分，即D

( V,f(x,y)d,,,D

f(x,y)这就是时二重积分的几何意义( f(x,y)d,,0,,D

注3 如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分区域时，可把面积元素D

dxdy记作，把二重积分记作( f(x,y)dxdyd,,,D

学生思考:试说出定积分定义与二重积分定义的异同(

2

例 一球冠所在的球的半径为，球冠的高为、底圆半径为a(试用二重积分将球冠Rh

的体积表示出来(

2222zx，y，[z,(h,R)],R解 如图，设球心在轴上，球面方程为，球冠看作是球体被平面所截的上部分立体，其顶部就是 xOy

z

222h二元函数所表示的上半 z,h,R，R,x,y

a222ox，y球面的一部分，其底部是圆域，由 aD,y

R二重积分的几何意义，得

222 V,(h,R，R,x,y)d,,,xD

2.2二重积分的性质

由于二重积分定义与定积分定义是同一类型和式的极限，因此它们有类似的性质(现将主要性质叙述于下(

,设是xOy平面上的有界闭区域，为的面积，那么有 DD

性质1 常数因子可以提到积分号外面，即

f(x,y)d, k,kf(x,y)d,,,,,DD

性质2 函数和或差的积分等于各函数积分的和或差，即

,,f(x,y),g(x,y)d,,f(x,y)d,,g(x,y)d,,,,,,,DDD

DD性质3 如果积分区域分割成与两部分，则有 D12

f(x,y)d,,f(x,y)d,，f(x,y)d,,,,,,,DDDI2

f(x,y),1性质4 如果在上，则 D

1d,,d,,,,,,,DD

f(x,y)(,,,)性质5 如果函数在上连续，则在上至少存在一点使得下式成立 DD

f(x,y)d,,f(,,,),,,D

学生思考:试比较定积分与二重积分的性质(

3.小结

在解决曲顶柱体体积的基础上引入二重积分定义，并简介二重积分主要性质( 4.布置作业(略)

3

7.2二重积分的计算(一) 教学目的

熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算方法( 教学重点

直角坐标系下二重积分的计算公式与运用( 教学难点

化二次积分时方法的选择及积分上、下限的确定( 教学过程

1. 复习与导入

复习二重积分定义及性质1、2、3(

类似于定积分，直接按定义来计算二重积分是不切实际的(现介绍将二重积分转化为二

次积分进行计算的方法(

2. 讲授新课

利用直角坐标计算二重积分

考虑积分区域的两种基本图形(

(?) 设积分区域可用不等式 D

axy(x)y(x) ， y,,,,b12

ay(x)y(x)来表示，其中、在[,]上连续( b12

首先假定f(x,y)(由二重积分几何意义知，的值等于以为底、以Df(x,y)d,,0,,Dz,f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积(我们用定积 分来计算这个曲顶柱体体积(

ax 过区间[,]上任一点的截面的面积为 b

yx()2 Sxfxydy()(,),,yx()1

再由定积分“平行截面面积为已知的立体的体积” 的求法，得到曲顶柱体的体积

bby(x)2，，,, VS(x)dxf(x,y)dy dx,,,,,aay(x)，，1

于是

by(x)2, (7.2.1) f(x,y)d,dxf(x,y)dy,,,,ay(x)1D

f(x,y)二重积分即化成二次积分(在上面讨论中事先假定了，但实际上公式(7.2.1),0

的成立并不受此限制(

4

(?) 类似地，如果积分区域可以用不等式

x,c x(y)x(y)y,,,d,12

c来表示，其中x(y)、x(y)在[,]上连续， d12

则二重积分可以化成二次积分 f(x,y)d,,,D

dx(y)2 (7.2.2) f(x,y)d,,dyf(x,y)dx,,,,cx(y)1D

注1 在用公式(7.2.1)或(7.2.2)计算二重积分时， 关键是确定定积分的上、下限，这往往需要画出区域， D借助直观图思考(

注2 以上两种积分区域都满足条件:过的内部、 DD

x且平行于轴或轴的直线与的边界曲线相交不多于两 Dy

点(如果不满足此条件，可将分成若干部分，使其每 DD

一部分都符合这个条件，再利用二重积分性质3解决二重 积分的计算问题(

2y,x 例1 将二重积分化为二次积分，其中积分区域由抛物线与直Df(x,y)d,,,D

线所围成( y,x

y解 求得抛物线与直线的交点为(0,0)(1,1)、，

yx,

2xx画出如图所示，它可表示为:， xDy,,,1,0

2yx,利用公式(7.2.1)得

xO1x fxyddxfxydy(,)(,),, 2,,,,0xD

x也可表示为 ， ，则由公式(7.2.2)得 Dy,,y1,y0,

1y ,dyf(x,y)dxf(x,y)d,,,,,0yD

学生练习:将二重积分化为二次积分，其中为 Df(x,y)d,,,D

xy,2x (1)直线 、 及轴所围成( x,1

222x，yxr (2)半圆域:， ( ,,0

sinyx2y,xd,例2 计算，其中由抛物线与直线围成( Dy,x,,xD

5

y解 求得抛物线与直线的交点为、， (0,0)(1,1)yx,

画出如图所示，它可表示为 D

2yx,xxx， y1,,0,,

O则由公式(7.2.1)得 x

x21x1yxyx，，sinxysinsin d,,dxdy,,dx,,,,,,,00xxxx2，，Dx

1111 ,,,,,,,,(1)sin(1)cossinxxdxxxx,0022

1 ,,(1sin1)

2 如果利用公式(7.2.2)，则有

1yyxyxsinsin d,,dydx2,,,,0yxxD

sinx由于的原函数不是初等函数，所以这时的积分无法计算( x

22y,x例3 计算，其中由抛物线与直线y,x,2围成( D2xyd,,,D

(4,2)(1,1),解 求得抛物线与直线的交点为、，它可表示为

2yx y，2， ,12,,y,,

由公式(7.2.2)得

2y，22y，222222,, 2xyd,,dy2xydx,yxdy 2y,,,,,,1y,1D

624326(44)15 ,y，y，y,ydy,,,135

,xxD如果用公式(7.2.1)，就必须用直线将区域分成:，Dyx,1,,1

xxxD和:，两部分，由 1y14,x,20,,,,,2

二重积分的性质得

222 2xyd,,2xyd,，2xyd,,,,,,,DDD12

1x4x22 ,dx2xydy，dx2xydy,,,,,,0x12x

显然，这种做法比用公式(7.2.2)麻烦(

以上两例说明，在二重积分的计算中，积分次序的选取是十分重要的，选取时应兼顾以

下两个方面:

6

? 使每一次积分都能容易计算;

? 使积分区域尽量不分块或少分块(

22x，y例4 计算，其中:， ( Dyd,1y,,022,,xy，,1D

解 如图所示，它可表示为 D

12x， ,1y1,,0,,1,x

由公式(7.2.1)可得

22111,x1,x111222，，yddxydyydx,,, ,,,(1)xdx,,,,,,，，,0,,1011223D

学生练习: 对例4利用公式 (7.2.2)再作计算( 3.小结

在直角坐标系下计算二重积分的方法( 4.布置作业(略)

7

7.2二重积分的计算(二) 教学目的

掌握极坐标系下二重积分的计算方法(

教学重点

极坐标系下二重积分的计算公式及运用(

教学难点

在化为二次积分时积分上、下限的确定(

教学过程

1(复习与导入

复习直角坐标系下二重积分的计算公式(

如果有界闭区域的边界曲线用极坐标方程表示比较简单，且被积函数f(x,y)用极坐D

标表示也比较简单时，利用极坐标来计算二重积分可能更方便( 2. 讲授新课

利用极坐标计算二重积分

以下直接给出有关结论(

x当极坐标系的极点、极轴分别与直角坐标系的原点、轴正半轴重合时，引入极坐标

变换:

y,rsin,， x,rcos,

则被积函数f(x,y),f(rcos,,rsin,)，面积元素，从而有 d,,rdrd,

f(x,y)dxdy,f(rcos,,rsin,)rdrd,,,,,DD

上式右边的二重积分的计算仍是化为二次积分来计算(下面对三种情形的积分区域给出极坐标下二重积分的计算公式(

(?) 极点在积分区域的外部(这时可以用不等式 DD

r,r(,)r(,),， ,,,,,12

来表示，则极坐标系中的二重积分可化为如下的二次积分:

,r(,)2 (7.2.3) f(rcos,,rsin,)rdrd,,d,f(rcos,,rsin,)rdr,,,,r(),,1D

(?) 极点在积分区域的边界上( 这时可用不等式 DD

r,r(,),， ,,,,0,

来表示，则极坐标系中的二重积分可化为如下的二次积分:

8

,,r() (7.2.4) frrrdrddfrrrdr(cos,sin)(cos,sin),,,,,,,,,,,,0D

(?) 极点在积分区域的内部(这时积分区域 DDrr,,，，

r,r(,)由曲线 围成，极点在的内部，可表示为: DDD

Or， r(,),0,,0,,2,x则极坐标系中的二重积分可化为如下的二次积分:

2(),,r (7.2.5) frrrdrddfrrrdr(cos,sin)(cos,sin),,,,,,,,,,,00D

注意，以上所涉及的方程r,r(,)、r,r(,)及都是曲线的极坐标方程，所r,r(,)12

以当积分区域的边界曲线是以直角坐标方程的形式给出时，应该先将曲线方程化为极坐D

x标方程(把方程中的、分别换成 后化简即可)，再选择适当的公式来计算yrcos,、rsin,

二重积分(

2222x，y例1 计算二重积分，其中为圆环域的一部分:， D(x，y)dxdy41,,,,D

x， ( y,0,0

2222x，y,1x，y,4解 积分区域如图所示，作极坐标变换，化圆和的极坐标D

方程为和，可表示为: r,1r,2D

,r，， 12,,,,0,2

则由公式(7.2.3)有

,222232 ()xydxdyrrdrddrdr，,,,,,,,,,,01DD

24,,1515，，r22,d,,d,,, ,,,,00448，，1

注意，在计算熟练后，可直接有

,,22,15152222()()drrdr,drrdr, ),, ,,,,,,0101248

学生练习:将化为极坐标形式的二次积分，其中是 Df(x,y)d,,,D

222x，y(1) 圆域:a; ,

222x，y(2) 上半圆域:a， ; y,,0

222x，yxa(3) 右半圆域:，; ,,0

9

222x，y,ax(4) 扇形域:由、及轴所围成的在第一象限内的区域( y,x

222x，yx例2 计算，其中为半圆域:，( Dxydxdy4,,0,,D

22x，y,4解 积分区域如图所示，圆的极坐标方程为，则可表示为:Dr,2D

,,r，，于是由公式(7.2.4)得 ,2,,,0,,22

222 ,rcos,,rsin,,rdrd,xydxdy,,,,DD

,2242 ,d,cos,sin,,rdr,,,,02

2,5r，，22 cossin,,,d,,,,,,5，，20

,326422 ,,,,,cossind,,,5152

22xy222,,x，y例3 计算，其中为圆域:( aedxdyD,,,D

222x，y,ar,a解 积分区域如图所示，圆的极坐标方程为，则可表示为:DD

r,a，2，于是由公式(7.2.5)得: ,,,00,,

222rxy,,, edxdy,erdrd,,,,,DD

2,a2,r,d,erdr ,,00

a2,21，，,red,,,,,,0 2，，0

2,a,e,,(1)

2,x此题如果采用直角坐标来计算，则会遇到积分，它不能用初等函数来表示，因edx,

而无法计算，由此可见利用极坐标计算二重积分的优越性(

22x，y另外，由上述例题可以看到，当二重积分的被积函数含有，积分区域为圆域或

圆域的一部分时，利用极坐标计算往往比较简单(

3.小结

在极坐标系下计算二重积分的方法，根据积分区域的三种情形有不同的计算公式(

4.布置作业(略)

10

11