积分因子的存在条件
薛静 指导教师:张飞羽
(河西学院数学与统计学院2013届2班44号. 甘肃张掖 734000)
摘 要 采用积分因子法将一阶微分方程转化为全微分方程是求解微分方程的一个重要手段, 本文给出寻求微分方程各类积分因子的一些方法, 化微分方程为恰当方程求解, 这样给解题带来很大方便.
关键词 积分因子; 恰当微分方程; 一阶常微分方程
中图分类号 O175
The Existence Conditions of Integrating Factor
Xuejing Instructor Zhang Feiyu
(No. 44, Class 2 of 2013, Specialty of Mathematics and Applied Mathematics,
Hexi University,Zhangye, Gansu,734000)
Abstract : Integrating factor method is used to converting the first-order differential equation to complete differential equation is an important means for solving differential equations, this paper gives some methods for seeking the differential equations of integral factor, the differential equation for the appropriate equation, so that to bring great convenience.
Key words: Integrating factor; Exact differential equation; First-order ordinary differential equations
一阶微分方程的求解是整个微分方程求解的基础, 一般的有两种处理方式:一是以变量可分离的方程为基础, 通过适当的变量代换把一阶微分方程化为可积型方程; 另外就是以全微分方程为基础, 采取积分因子法把一个一阶微分方程化为全微分方程求解. 然而寻找积分因子不是容易的事情, 一般的教科书只介绍了依据经验或者通过观察来寻找积分因子. 这里我们归纳并概括性的给出了几种积分因子的求法, 有助于深刻的理解积分因子的相关内容, 进一步学好常微分方程, 使得求解一阶微分方程的过程更简便.
1 恰当微分方程
1.1 恰当微分方程的概念 dy 我们可以将一阶方程=f (x , y ) 写成微分形式f (x , y ) dx -dy =0, 或更一般地把dx
x , y 平等看待, 写成下面具有对称形式的一阶微分方程
M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0, (1) 其中D 为单连通区域, x , y ∈D . 这里假设M (x , y ), N (x , y ) 在某些矩形域内是x , y 的连续函数, 且具有连续的一阶偏导数. 这样的形式有时便于探求微分方程的通解. 如果方程的左端恰好是某个二元函数μ(x , y ) 的全微分, 即 M (x , y ) dx +N (x , y ) dy ≡d μ(x , y ) ≡∂μ∂μdx +dy , ∂x ∂y (2) 则称为恰当微分方程. 容易验证, 方程的通解是μ(x , y ) =c , 这里c 是任意常数.
1.2 恰当微分方程的充要条件
必要条件 若方程(1)是恰当方程,则由(2) 得 ∂μ∂μ =M , =N . ∂x ∂y (3)
∂2μ∂M ∂2μ∂N ∂M ∂N 将(3) 式分别对y , x 求偏导数, 得到, 由于的连续性得: 和=, =∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x
∂2μ∂2μ. =∂y ∂x ∂x ∂y
∂M ∂N 即 (4) =. ∂y ∂x
因此, (4)式是(1)式为恰当微分方程的必要条件.
充分条件 我们从关系式
∂μ=M 出发, 把y 看作参数, 解这个微分方程, 可以得到 ∂x μ=⎰M (x , y ) dx +ϕ(y ) , (5) 这里ϕ(y ) 是y 的任意的可微函数, 我们现在来选择ϕ(y ) 使μ同时满足(3) 式, 即
∂μ∂d ϕ(y ) =M (x , y ) dx +=N , ∂y ∂y ⎰dy
由此, d ϕ(y ) ∂=N -⎰M (x , y ) dx . dy ∂y (6) 我们证明,(6) 式的右端与x 无关. 为此, 只需证明(6)式的右端对x 的偏导数恒等于零.
事实上
⎤∂N ∂⎡∂⎤∂⎡∂N -M (x , y ) dx =-M (x , y ) dx ⎥∂x ∂x ⎢∂y ⎰⎥∂x ⎢∂y ⎰⎣⎦⎣⎦
∂N ∂⎡∂⎤=-⎢⎰M (x , y ) dx ⎥ ∂x ∂y ⎣∂x ⎦
∂N ∂M =-=0. ∂x ∂y
在我们的假设条件下, 上述交换求导的顺序是允许的. 于是(6) 式右端的确只含有y , 积分之, 得到 ϕ(y ) =⎰⎢N -⎣⎡⎤∂M (x , y ) dx dy , ⎥⎰∂y ⎦
⎡
⎣⎤∂M (x , y ) dx ⎥dy . ∂y ⎰⎦(7) 将(7) 式代入(5) 式, 即求得 μ=⎰M (x , y ) dx +⎰⎢N -
因此, 恰当微分方程(1)的通解是
这里c 是任意常数. ⎡⎤∂M (x , y ) dx +N -M (x , y ) dx dy =c . ⎥⎰⎰⎢⎰∂y ⎣⎦
∂M ∂N =. ∂y ∂x (8) 综上所述, 方程(1)是恰当方程的充要条件是
2 积分因子
2.1 积分因子的概念
恰当微分方程通过积分可以求出它的通解. 所以能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程是求出它的通解的重要手段, 具有重要的意义. 积分因子就是为了解决这个问题而引进的概念.
如果存在连续可微的函数μ=μ(x , y ) ≠0, 使得
μ(x , y ) M (x , y ) dx +μ(x , y ) N (x , y ) dy =0,
为一恰当微分方程, 即存在函数v (x , y ) , 使
μMdx +μNdy ≡dv , (9) 则称μ(x , y ) 为微分方程(1)的积分因子. 这时v (x , y ) =c 是(9)式的通解.
2.2 积分因子存在的充要条件
显然由1.2中的论述可知, μ(x , y ) 是方程(1)的积分因子的充要条件是∂M ∂N =, ∂y ∂x 但从这个条件中求出μ, 事实上要求解一个偏微分方程, 比求解方程(1)本身更复杂. 因此, 需要寻求更简单的积分因子形式. 在下面着重讨论方程(1)具有一些特定积分因子的条
件.
∂M ∂N -∂y ∂x =ϕ(x ) , 且方命题1[1] 方程(1)有只与x 有关的积分因子的充要条件是N
ϕ(x ) dx 程的一个积分因子为μ=e ⎰.
∂M ∂N -∂y ∂x =ϕ(y ) , 且方命题2[1] 方程(1)有只与y 有关的积分因子的充要条件是-M
ϕ(y ) dy 程的一个积分因子为μ=e ⎰.
以上两结论一般参考书中常见, 其证明简单, 故略.
命题3 方程(1) 有形如μ(ax +by ) 的积分因子的充要条件是
1∂M ∂N (+) =f (ax +by ) , aN +bM ∂y ∂x
且方程的一个积分因子是μ=exp(⎰f (ax +by ) d (ax +by ) ) .
∂μ∂μ∂t ∂μ∂μ∂μ∂t ∂μ, 假设μ(ax +by ) 为==a , ==b ∂x ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂y ∂t
∂M ∂N 方程(1)的积分因子, 则由充要条件, 所以 =∂y ∂x
∂M ∂N ∂μ∂μ∂μ∂μ∂μ, μ⋅(-) =N -M =aN -bM =(aN -bM ) ⋅∂y ∂x ∂x ∂y ∂t ∂t ∂t
∂μ1∂M ∂N 1∂M ∂N 所以=⋅(-) ∂t , 当且仅当⋅(-) =f (t ) 时可以解出μaN -bM ∂y ∂x aN -bM ∂y ∂x 证明 令ax +by =t , 则
μ, 故方程M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0有形如μ(ax +by ) 的积分因子的充要条件是
1∂M ∂N ⋅(-) =f (ax +by ) . aN -bM ∂y ∂x
推论1 方程(1) 有形如μ(x +y ) 的积分因子的充要条件是
1∂M ∂N ⋅(-) =f (x +y ) , N -M ∂y ∂x
且积分因子为μ=exp(⎰f (x +y ) d (x +y )) .
推论2 方程(1) 有形如μ(x -y ) 的积分因子的充要条件是
1∂M ∂N ⋅(-) =f (x -y ) , N +M ∂y ∂x
且积分因子μ=exp(⎰f (x -y ) d (x -y ) .
命题4 方程(1) 有形如μ(x a y b ) 的积分因子的充要条件是
1∂M ∂N ⋅(-) =g (x a y b ) , a -1b -1x y (ayN -bxM ) ∂y ∂x
此时方程的一个积分因子是μ=exp(⎰g (x a y b ) d (x a y b )) .
证明 令x a y b =v , 则有
∂u ∂u ∂v ∂u ∂u ∂u ∂v ∂u , =⋅=ax a -1y b =⋅=bx a y b -1
∂x ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ∂y ∂v
假设μ(x a y b ) 是方程(1)的积分因子, 则
∂M ∂N ∂u ∂u ∂u ∂u , μ⋅(-) =N -M =(Nax a -1y b -Mbx a y b -1) =x a -1y b -1(Nay -Mbx ) ⋅∂y ∂x ∂x ∂y ∂v ∂v
∂u ∂M ∂N 即 =[x a -1y b -1(Nay -Mbx )]-1⋅(-) ∂v , u ∂y ∂x
∂M ∂N 当且仅当[x a -1y b -1(Nay -Mbx )]-1⋅(-) =g (v ) 时可以解出μ. 故方程(1) 有形如∂y ∂x
μ(x a y b ) 的积分因子的充要条件是
1∂M ∂N ⋅(-) =g (x a y b ) , a -1b -1x y (ayN -bxM ) ∂y ∂x
且μ=exp(⎰g (x a y b ) d (x a y b )) .
命题5 方程(1) 有形如μ(mx a +ny b ) 的积分因子的充要条件是
1∂M ∂N a b ⋅(-) =f (mx +ny ) , a -1b -1Namx -Mbny ∂y ∂x
且积分因子μ=exp(⎰f (mx a +ny b ) d (mx a +ny b )) .
证明 令mx a +ny b =t , 则
∂u ∂u ∂t ∂u ∂u ∂u ∂t ∂u , =⋅=amx a -1=⋅=bny b -1
∂x ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂y ∂t
假设μ(mx a +ny b ) 是方程(1) 的积分因子, 则
∂M ∂N ∂u ∂u ∂u μ⋅(-) =N -M =(Namx a -1-Mbny b -1) , ∂y ∂x ∂x ∂y ∂t
∂u ∂M ∂N =(Namx a -1-Mbny b -1) -1⋅(-) =f (t ) , u ∂y ∂x
可以解出μ, 得方程(1)有形如μ(mx a +ny b ) 的积分因子的充要条件是
1∂M ∂N a b ⋅(-) =f (mx +ny ) , a -1b -1Namx -Mbny ∂y ∂x
即可得积分因子μ=exp(⎰f (mx a +ny b ) d (mx a +ny b )) .
推论 方程(1) 有形如μ(x a +y b ) 的积分因子的充要条件是
1∂M ∂N a b ⋅(-) =f (x +y ), a -1b -1Nax -Mby ∂y ∂x
且积分因子μ=exp(⎰f (x a +y b ) d (x a +y b )) .
命题6[5] 方程(1) 有形如μ(mx a +hx a y b +ny b ) 的积分因子的充要条件是
1∂M ∂N ⋅(-) =φ(mx a +hx a y b +ny b ) , a -1b -1a -1b -1Namx -Mbny +hx y (ayN -bxM ) ∂y ∂x
且积分因子μ=exp(⎰φ(mx a +hx a y b +ny b ) d (mx a +hx a y b +ny b )) .
证明 令mx a +hx a y b +ny b =t , 则
∂μ∂μ∂t ∂μ=⋅=(am x a -1+hax a -1y b ) ⋅∂x ∂t ∂x ∂t
∂μ∂μ∂t ∂μ=⋅=(nby b -1+hbx a y b -1) ⋅, ∂y ∂t ∂y ∂t
假设μ(mx a +hx a y b +ny b ) 是方程(1)的积分因子, 则
∂M ∂N ∂μ∂μ∂μ, μ⋅(-) =N -M =[N (amx a -1+hax a -1y b ) -M (nby b -1+hbx a y b -1)]⋅∂y ∂x ∂x ∂y ∂t
∂μ∂M ∂N =[N (amx a -1-Mnby b -1+hx a -1y b -1(nay -Mbx )]-1⋅(-) ∂t , ∂t ∂y ∂x
当且仅当[N max a -1-Mnby b -1+hx a -1y b -1(Nay -Mbx )]-1=φ(t ) 时可以解出μ, 故方程(1) 有形如μ(mx a +hx a y b +ny b ) 的积分因子的充要条件是
1∂M ∂N a a b b ⋅(-) =φ(mx +hx y +ny ) , Namx a -1-Mnby b -1+hx a -1y b -1(ayN -bxM ) ∂y ∂x
且积分因子μ=exp(⎰φ(mx a +hx a y b +ny b ) d (mx a +hx a y b +ny b )) .
命题7[7] 若方程(1) 中M (x , y ) , N (x , y ) 在D 内连续且有连续偏导数
满足∂M ∂N , 且∂y ∂x ∂M ∂N , x , y ∈D , 则方程(1)存在形如μ(f (x ) g (y )) 的积分因子的充要条件为 ≠∂y ∂x
∂M ∂N -∂y ∂x (10) ≡φ(f (x ) g (y )), Ng -Mf dx dy
并且积分因子μ(x , y ) 由下式决定
(11) 中φ(z ) 由(10) 给出.
证明 必要性 设μ(x , y ) =φ(z ), z =f (x ) g (y ) 是方程(1) 的积分因子, 则
∂ϕM ∂ϕN =, (x , y ) ∈D . ∂y ∂x
d ϕdg ∂M d ϕdf ∂N f (x ) M +ϕ=g (y ) N +ϕ, dz dy ∂y dz dx ∂x
整理得
∂M ∂N -d ϕdf dg ∂M ∂N 1d ϕ∂y ∂x (Ng -Mf ) =ϕ(-) =, dz dx dy ∂y ∂x ϕdz Ng -Mf dx dy μ(x , y ) =e ⎰ϕ(z ) dz , z =f (x ) g (y ) . (11)
∂M ∂N -'ϕ(z ) ∂y ∂x 取φ(z ) =, 得=φ(z ), z =f (x ) g (y ) . 易得(11). ϕNg -Mf dx dy
∂M ∂N -φ(z ) dz ∂y ∂x 充分性 若, z =f (x ) g (y ), 则 =φ(z ), z =f (x ) g (y ) 令μ(x , y ) =e ⎰Ng -Mf dx dy
∂(μM )∂μ∂M =M +μ∂y ∂y ∂y
φ(z ) dz φ(z ) dz ∂M ∂z =e ⎰φ(z ) M +e ⎰
∂y ∂y
φ(z ) dz ⎡dg ∂M ⎤=e ⎰φ(z ) fM +, ⎢⎥dy ∂y ⎦⎣
φ(z ) dz ⎡∂(μN )df ∂N ⎤=e ⎰φ(z ) gN +, ⎢⎥∂x dx ∂x ⎦⎣
⎛∂(μM )∂(μN )⎰φ(z ) dz ⎡dg df ⎫⎛∂M ∂N ⎫⎤ ⎪⎪所以-=e φ(z ) Mf -Ng + -⎢⎥=0, ⎪ ⎪∂y ∂x dy dx ⎭⎝∂y ∂x ⎭⎦⎝⎣
故μMdx +μNdy =0为全微分方程, 从而(11) 为积分因子.
例1 求解方程(6xy 2+x 2) dy -y (3y 2-x ) dx =0.
2解 M =-y (3y -x ) , N =62x y +2则x ,
∂M ∂N -=-15y 2-x . ∂y ∂x
取f (x ) =x 2, g (y ) =y , 则有
∂M ∂N -1∂y ∂x =-2. x y Ng -Mf dx dy
1由定理知方程有积分因子μ(x , y ) =2, x y
从而可求得其解是xye 3y 2
x =C .
致谢 本论文是在张飞羽老师的悉心指导下完成的, 在此论文完成之际, 谨向张老师表示由衷的感谢.
参 考 文 献
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[2] 同济大学数学教研室. 高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2002:282-283.
[3] 丁同仁, 李承秉. 常微分方程教程[M].北京:高等教育出版社, 2002.
[4] 刘志权. 常微分方程讲义[M].西安:陕西师范大学出版社, 1981.
[5] 刘会民, 王新. 有关一阶微分方程积分因子的计算[J].辽宁师范大学学报:自然科学
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[7] 温启军, 张丽静. 关于积分因子的讨论. 长春大学学报[J].2006,23(5):32-33.
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[9] 王金诚. 浅析积分因子的求法. 中国科技信息[J].2007,21(20) :15-16.
[10] 胡淑荣, 岳培鹏. 用积分因子求一阶常微分方程的讨论. 昆明冶金高等专科学院学报[J].
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[11] 李延波. 伯努利微分方程的积分因子解法. 内江科技[J]. 2011,8(1) :90-91.
§7.2定积分存在的条件
一 定积分存在的充分必要条件
定义1 设函数f (x )在[a , b ]有界,在[a , b ]插入分点
a =x 0 把[a , b ]分成n 个小区间[x i -1, x i ](i =1,2,..., n ),记 { m =inf {f (x )x ∈[x i M i =sup f (x )x ∈[x i -1, x i ]i -1i }, x ]} ∆x i =x i -x i -1 作和式 S =∑M i ∆x i i =1 n -n S =∑m i ∆x i -i =1 分别成为对于这一分法的达布上和达布下和。 要判断一个函数是否可积,由定义,可直接考察积分和是否能无限接近某一常数,但由于积分和的复杂性和那个常数不可预知,因此这是极其困难的。下面即将出的可积准则只与被积函数本身有关,而不涉及定积分的值。 定理1(定积分存在的第一充分必要条件) 函数f (x ) 在[a , b ]上可积的充分必要条件是lim S =lim S 。 λ→0λ→0- -⎛⎫注:定理1也可叙述为函数f (x ) 在[a , b ]上可积的充分必要条件是lim S -S ⎪=0。 λ→0⎝-⎭- 例:证明 ⎧1, x 为有理数, f (x )=⎨⎩-1,x 为无理数 在[-1,1]不可积,但f (x )可积。 定义2 记ωi =M i -m i ,称之为f (x ) 在∆x i 上的幅度,则有 S -S =∑ωi ∆x i 。 -i =1-n 注:定理1也可叙述为函数f (x ) 在[a , b ]上可积的充分必要条件是lim λ→0∑ω∆x i i =1n i =0。 定理2 (定积分存在的第二充分必要条件) 函数f (x ) 在[a , b ]上可积的充分必要条件是对任意的两个正数ε及σ>0,可找到δ>0,使当任一分法满足λ=max {∆x i }<δ时,对应于幅度ωi ' ≥ε的那些区间的 长度∆x i ' ≥ε之和∑∆x i ' i ' <σ。 注:定理揭示了可积函数的本质,表明可积函数不连续的范围不能太广。 二 可积函数类 定理3 若函数f (x ) 为[a , b ]上的连续函数,则f (x ) 在[a , b ]上可积。 定理4 若f (x ) 是区间[a , b ]上只有有限个第一类不连续点的有界函数,则f (x ) 在[a , b ]上可积。 定理5 若f (x ) 是区间[a , b ]上的单调函数,则f (x ) 在[a , b ]上可积。 注意:单调函数即使有无限多个间断点,也仍然可积。 0, x =0⎧⎪1例:试用两种方法证明函数f (x ) =11在区间[0, 1]上可积。 ,
2005年9月 襄樊学院学报 Sept.,2005 第26卷第5期 Journal of Xiangfan University Vol.26 No.5
二重极限存在的一个充分必要条件
王爱国
¶àÔªº¯ÊýµÄ¼«ÏÞÊǶà±äÁ¿·ÖÎöѧµÄ»ù´¡¸ÅÄî
¶þÖØ¼«ÏÞ²¢¸ø³öÁËÅжϸü«ÏÞ´æÔÚµÄÒ»¸öʵÓÃ
µÄ³äÒªÌõ¼þ.
关键词
中图分类号
一致性
1009-2854(2005)05-0010-02
0 引言
二重极限相对于一元函数极限二重极限存在性的研究造成了困难
因此给
这里通过对二重极限定义的分析
而在M0是否有定义无关紧要
(x,y)≠(a,b))时
表示两点M与M
0间的距离
就称常数A为函数f(M)在M0的二重极限
或f(M)→A(M→M)
|x−a|<δ,|y−b|<δ,且
注定义1中
该定义对本文的讨论不会产生影响
即f在以M0为聚点的某集合有定义[2]. 因为
如果∀ε>0.∃δ>0,当0<|x
|<δ时
都有|f(x
,kx)−A|<ε
第26卷第5期 襄樊学院学报 2005年第5期
所谓全面极限的问题转化成沿直线的简单的极限问题. 本文给出以下结论
必要性
0<|x
|<δ时
∴∀ε>0,∃δ>0,当|x|<δ,|y|<δ且(x,y)≠(0,0)时于是 当
必有|
αx|<αδ≤δ
由定义2可知函数f(x,y)在点(0,0)沿直线y=αx关于α∈[0,1]一致趋于A;
同理函数f(x,y)在点(0,0)沿直线x=βy关于β∈[0,1]也一致趋于A; 充分性f(x,y) 一致趋于
A
∀α∈[0,1],
|f(x,αx)−A|<ε 同理∀β∈[0,1], |f(βy,y)−A|<ε 令δ
=min{δ1,δ2}∀α∈[0,1],|f
(x,αx)−A|<ε
∀β∈[0,1],|f
(βy,y)−A|<ε 当|x|<δ,|y
|<δ×ÜÓÐα∈[0,1]或β∈[0,1]使y=αx或x=
β
y
1
式
只要动点M
M→(0
,0)
则必有
limf(M)=A
Ö±ÏßΪ
θ
=α
由定理2立即可得
∀θ∈[0,2π]|f(rcosθ,rsinθ)−A|<ε
推论
对于形如limf(x,y)的二重极限x→a
的情形.
参考文献
y→b
便可化为limf(u+a,v+b)=limg(u,v),即为定理2
u→0v→0
u→0v→0
下
Department of Mathematics, Xiangfan University, Xiangfan 441053,China
11
二重极限存在的一个充分必要条件
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):被引用次数:
王爱国, WANG Ai-guo
襄樊学院,数学系,湖北,襄樊,441053襄樊学院学报
JOURNAL OF XIANGFAN UNIVERSITY2005,26(5)0次
参考文献(2条)
1.陈传璋.金福临 数学分析 1983
2.г M 菲赫金哥尔茨.叶彦谦 微积分学教程 1959
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讨论了函数二重极限的存在性理论,在原有经典理论的基础上,对文献[1]提出的理论给予了详细的证明,为此给出了判断函数二重极限存在性的一个有用的方法,且把判断一元函数极限存在性的夹逼原理推广到判断函数二重极限的存在上,并给出了证明及应用;从而使得函数二重极限的存在性理论有了进一步的发展.
2.期刊论文 葛洵 二重极限lim(x,y)→(0,0)(x+y)sin1/xsin1/y的存在性 -宁德师专学报(自然科学版)2002,14(4)
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判定二元函数f(x,y)的未定式二重极限的存在性是一个比较困难的问题.用极坐标变换,就能确定一些未定式的二重极限的存在性.就代换的类型进行了研究,依据代换后φ(r)ψ(r,θ)的不同形式,得到了一些确定二重极限的有用方法,并探究出一些新的实例.
7.期刊论文 阎家灏.YAN Jia-hao 用代换法求解二重极限的类型和实例 -兰州工业高等专科学校学报2007,14(1)
对于二元函数的二重极限,重点是极限的存在性及其求解方法.由于二重极限较为复杂,判定极限的存在及求解,往往因题而异.依据变量(x,y)的不同变化趋势和函数f(x,y)的不同类型,探索得出了一些新的变量代换及应用.采用恰当的变量代换的求解方法后,对复杂的二重极限计算,就能简便、快捷地获得结果.
8.期刊论文 罗俊芝 能否用极坐标方法求二重极限 -高等数学研究2007,10(2)
对在二重极限存在性的讨论中能否使用极坐标的方法给予澄清.即,只要在替换过程中充分注意到变量趋于既定点的方式是任意的,也就是替换后在极径趋于0的同时极角是任意的,使用极坐标的方法是可以的,否则容易导致错误.
9.期刊论文 叶志勇.韩茂安.YE Zhiyong.HAN Maoan 一类奇摄动系统奇异极限环的不变环面分支 -数学年刊A辑2006,27(4)
对一类奇异摄动系统中由奇异极限环产生的不变环面分支进行了研究并利用不变环面的分支理论,讨论了由快系统的二重极限环和三重环分支出的不变环面的存在性.
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第29卷第3期黄冈师范学院学报V01.29No.32009年6月JournalofHuanggangNormalUniversityJun.2009
二重积分的一个可积条件及性质
江芹,马晟
(黄冈师范学院数学与信息科学学院,湖北黄州438000)
摘要本文主要研究了矩形区域上二重积分的一个可积条件及性质.
关键词二重积分;可积;分割;矩形区域
中图分类号0172.2文献标识码A文章编号1003.8078(2009)03-0008422
Theintegrabilityconditionandintegralpropertyofdoubleintegral
JIANGQin,MASheng
(CollegeofMathematicsandInformationScience,HuanggangNormalUniversity,Huangzhou438000,Hubei,China)AbstractInthepaper,theintegrabilityconditionandintegralpropertyaleobtainedfordoubleintegralin—rectangularregion.
Keywordsdoubleintegral;integrable;cut;rectangularregion
1引言及主要结果
在文献[1]中,定理10.5和定理10.9分别讲述了函数f在[a,b]上的可积条件及其性质,即。在[a,b]上只有有限个间断点的有界函数,在[a,b]上是可积的.文献[2]中,定理20.3和定理20.2分别讲述了矩形区域上二重积分的可积条件。受到文献[1—4]的启示,我们考虑:矩形区域上二重积分是否也有类似于文献[1]的定理lO.5和定理10.9的结论呢?在本文中,我们主要讨论了矩形区域上二重积分的一个可积条件及性质.其主要结果是:
定理l设厂为定义在矩形区域D=[口。,b。]“口:,b:]上只有有限个间断点的有界函数,.贝lJf在D上可积.
注1定理1推广了文献[1]中的定理lO.5,得到二重积分的一个可积条件.
定理2若^g在矩形区域D=[口。,b。]×[a:,b:]上可积,则詹在D上也可积.
注2定理2推广了文献[1]中的定理10.9,得到了二重积分的的性质.
定理3若厂,占在矩形区域D=[a。,b,]“口:,b:]上可积,则
s(石,y)2km加ax.DIf(戈,y),g(菇,),)},s(菇,y)2(嚣酬“戈,y),g(x,y)I‘#.rJE工,l,.T】E”
在D上也可积.
收稿日期:2009-02-17.
作者简介:江芹,女,湖北武汉人,讲师,主要从事非线性分析的研究.基金项目:黄冈师范学院课程改革项目(姗8ck35)资助.
万方数据
第3期江芹.等:二重积分的一个可积条件及性质・9・2定理的证明
2.1定理1的证明
证明设厂在区域D=[口。,b。]×[口:,b:]上有k个间断点,它们依次为(茗,,扎),(菇:,托),…(‰,儿),不妨设a】<菇l<勉<…<孔<b】,a2<Yl<鲍<…<儿<b2.给正数占,令0<艿<厂———=——一√磊历产j万,其中M,m分别为厂在区域D=[口t,b1]×[口z,bz]上的上确界与下确界,并记盯;=Ixt一8,x‘+6]×[乃一艿,乃+艿],ij=1,2,…,k.取6足够小,使得口1≤茗1一艿,茗I+6≤bl;口2≤Yl一艿,儿+艿≤b2且盯;n艿二=中,驴≠a11.
类:一类是含有间断点的小区间O'q7,其总面积不超过玎南;另一类是不含间断点的小区间盯;,在这些矿;上连续。由文献[2]的定理20.3和定理20.2(必要性),对任意的8>o,存在关于所有盯;上的现在在D上取分割r,使得上述盯:是它所属的一部分小区间.于是r所属的全部小区间有如下两一个分割1,-={矿。,0"2,…,17"。},使得∑∞;△以<等,其中∞;为厂在以上的振幅
记T=,+,,它是D上的又一个分割.对于r,有
∑∞;Ao"i=∑∞i△盯;+∑o叽Ao-‘≤(肘一m)∑Ao";+孚
。矿事r叮;_
<(肼一m’币南万+号=B
根据文献[2]的定理20.2(充分性),在D上可积.
2.2定理2的证明
证明由f,g在D=[嘞,b,]×[a:,b:]上可积,从而有界,故可设
’A2(舄足。l以石,y)I,B2(划su)p。。lg(石,,,)l
.且A>p,B>0,否则f,g至少有一个恒为零值函数,则磨亦恒取零值,显然可积.
任给占>o,令占’=鑫,占。=刍对占’>o,由厂可积,必存在分割,,使得;出矶<占’;同理对占>o,也存在分割z,,使得其中∑∞犯砚<口。,其中4,∞;分别为^g在矾,乃上的振幅。
令T=,+,,则对于D=[a。,b。]×[%,b:]上分割r所属的小区间以,有。
钟=,
≤,、掣p、、s,up、1人菇1,),1)g(菇l,Y1)-f(戈2,y2)g(x2,Y2)I[Ig(石l,,,1)I|以茗l,y1)一灭%,鲍)j+I尺屯,扎)I|g(茗1,,,1)一g(xz,儿)I]
≤曰4+A,4.
从而有
;吆I/to-I≤∑8竹I△仃I+∑‰4盯I≤B∑以盯i+A∑衅△听<如’+As。=8.
这样就证明了唐在D上也可积.
2.3定理3的证明
证明由f,g在D=[口。,b。]“a:,6:]上可积,根据文献[2]中二重积分的性质1和性质2可知∥±g在D上也可积,由此If+gl在D上也可积(根据性质5).又
s(Ⅵ):地幽土出五叫墨型L4业址s(戈,),):厶羔辽L±五鱼_吐J去厶曼丛L二显咄万方数据(下转第12页)
・12・黄冈师范学院学报第29卷列周期r的特点如下:一
当J|}为偶数时,T=4(k+1);
当k为奇数时,T=2(k+1).
证明当P=q(p,q∈Z)时,如表1:
表1,I取不同值时G及p只的值
由表l可以看出G。=pF川,{pF.}中的第n+l项为{G。}中的第11,项,且{pF。}中的奇数项的数为{G。}中的偶数项数,偶数项数为奇数项数,所以
广义Fibonacci数列{q},当p=q时,关于模C。(k>2)的模数列周期的特点如下:
当k为偶数时,T=4(k+1);
当k为奇数时,T=2(k+1).
推论2得证.
参考文献:
[1]袁明豪.Fibonacci数列的模数列的周期性[J].数学的实践与认识,2007,37(3):119—122.
[2]吴振奎.斐波那契数列[M].沈阳:辽宁教育出版社,1987,6.
[3]XiGaowen,uuMaixue.The8aI粥sumformulaforGeneralizedFibonacciNuml弛rs[J].ChineseQuarterlyJournalOfMath-
ematlcs,2007,22(2):258—265.
[4]孙淑玲.组合数列引论[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2004.
责任编辑张所滨
(上接第9页)
根据文献[2]中二重积分的性质1、性质2得,S(髫,Y),s(石,,,)在D上可积.证毕.
参考文献:
[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,1991.
[2]华东师范大学数学系.数学分析(下册)[M].北京:高等教育出版社,1991.
[3]菲赫金哥尔茨.微积分学教程[M].北京:人民教育出版社,1998.
[4]林源渠,方企勤.数学分析解题指南[M].北京:北京大学出版社,2002.责任编辑张所滨
万方数据
二重积分的一个可积条件及性质
作者:
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英文刊名:
年,卷(期):
被引用次数:江芹, 马晟, JIANG Qin, MA Sheng黄冈师范学院,数学与信息科学学院,湖北,黄州,438000黄冈师范学院学报JOURNAL OF HUANGGANG NORMAL UNIVERSITY2009,29(3)0次
参考文献(4条)
1. 华东师范大学数学系 数学分析 1991
2. 华东师范大学数学系 数学分析 1991
3. 菲赫金哥尔茨 微积分学教程 1998
4. 林源渠. 方企勤 数学分析解题指南 2002
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7.学位论文 宋燕 一类平面可积三次非Hamilton系统的Abel积分的零点个数估计 2000
确定Abel积分的零点个数的上界是当今分岔理论研究的热门课题之一,这一问题和确定某些系统在多项式扰动下的极限环个数密切相关.由于这是Hilbert第十六问题的一种特殊情况,所以把它叫做弱化的Hilbert第十六问题.以往关于弱Hilbert第十六问题所得的结果大部分集中在对Hamilton系统扰动的研究上,见文献[3][4][5][6]等,而对可积的但非Hamilton 系统的研究不多.本文主要讨论平面可积三次非Hamilton系统在n次多项式扰动下的系统的Abel积分的零点个数估计问题.我们将利用格林公式,通过计算二重积分来计算Abel积分,最后得到的结论是:系统(A)的Abel积分的零点个数的上确界为n;系统(B)的Abel积分的零点个数的上界为2[n+1/2]
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第14卷 第3期 邯郸师专学报 2004年9月 V ol. 14 No.3 Journal of Handan Teachers College Sept. 2004
积分因子的存在条件及求法
阎淑芳
(邢台学院 数学系,河北 邢台 054001)
摘 要:找积分因子是解一阶常微分方程的一种重要方法,这里主要分析说明了积分因子的存在条件及积分因子的求解方法.
关键词:积分因子;全微分方程;常微分方程
中图分类号:O175 文献标识码:A 文章编号:1008-3332(2004)03-0003-04
一阶微分方程的对称形式为:M(x,y)dx+N(x,y)dy=0……(1)其求解方法是根据类型确定求解方法,其中一类是全微分方程.所谓全微分方程就是方程(1)的左端恰为某个函
∂M ∂N =,当此条件不满足时方程(1) ∂x ∂y
就不是全微分方程,因此如果有一个恰当的函数μ(x,y) ≠0,使方程(1)的两端乘以μ(x,y) 数的全微分.我们知道(1)为全微分方程的充要条件是后所得的方程μ(x,y)M(x,y)dx+μ(x,y)N(x,y)dy=0(2)为全微分方程,则函数μ(x, y ) 为方程(1)的积分因子.
1 积分因子存在的条件
微分方程μ(x,y)M(x,y)dx+μ(x,y)N(x,y)dy=0为全微分方程的充要条件是
∂[µ(x , y ) M (x , y )]∂[µ(x , y ) N (x , y )]= ∂x ∂y
既 µ(x , y ) ∂M (x , y ) +M (x , y ) ∂µ(x , y ) =µ(x , y ) ∂N (x , y ) +N (x , y ) ∂µ(x , y ) ∂y ∂x ∂x ∂x 另记μ(x,y)=μ,M(x,y)=M,N(x,y)=N.上式整理即为: 1∂µ∂µ∂M ∂N (N −M ) =− (3) µ∂x ∂y ∂y ∂x
∴μ(x,y) 为方程(1)的积分因子的充要条件是μ(x,y) 为方程(3)的解.
2 积分因子的求法
由“1”可知寻找积分因子相当于求解一个偏微分方程,一般情况下比较困难,但它给我们提供了寻求积分因子的一种途径.
————————————
收稿日期:2004-03-17
作者简介:阎淑芳(1964—) ,女,河北威县人,邢台学院数学系副教授.
3
2004年 邯郸师专学报 第3期 ———————————————————————————————————————
定理1 方程(1)存在只与x 有关的积分因子充要条件是
1∂M ∂N (−) =Φ(X ) N ∂y ∂x
证明
① 必要性
若方程(1)存在只与x 有关的积分因子μ(x),则
∂µ=0 ∂y 代入(3)得
1∂µ1∂M ∂N =(−) (4) µ∂χN ∂y ∂x
左端只依赖于x 而与y 无关,所以右端也只依赖于x 而与y 无关,既
1∂M ∂N (−) =Φ(x ) N ∂y ∂x
② 充分性
若 1∂M ∂N (−) =Φ(x ) N ∂y ∂x
则由(4)知分离变量得
1∂µ=Φ(x ), µ(x ) =e ∫Φ(x ) dx µ∂x
定理2 方程(1)存在只与y 有关的积分因子充要条件是
1∂M ∂N () =Ψ(y ), 且µ(y ) =e ∫ψ(y ) dy −M ∂y ∂x
证明 与定理1类似,略.
定理3 μ(x,y)=μ[ω(x,y)]为方程(1)的积分因子的充要条件是分式 (∂M ∂N ∂ω∂ω−) /(N −M ) =Φ[ω(x , y )] ∂y ∂x ∂x ∂y
且μ(x,y)=e ∫Φ(ω) d ω≡f (ω) =f [ω(x , y )](这里Φ[ω(x , y )]为ω(x,y) 的复合函数) .
证明 若μ(x,y)=μ(ω(x,y)) 为方程(1)的积分因子,代入(3)整理得 N
4 ∂M ∂N d µ∂ωd µ∂ω−M =(−) µ[ω(x , y )] d ω∂x d ω∂y ∂y ∂x
2004年 阎淑芳:积分因子的存在条件及求法 第3期 ———————————————————————————————————————
5
2004年 邯郸师专学报 第3期 ———————————————————————————————————————
其中Φ(x,y)=∫Φ(U 0) dU 0, U 0=U 0(x , y )
利用这定理可得另一更普遍的求积分因子的方法,将方程(1)写成
(M 1dx +N 1dy )+(M 2dx +N 2dy )=0 (或更多项)
已知各括号内已求得积分因子
µ1(x , y )(M 1dx +N 1dy ) =dU 1(x , y )
µ2(x , y )(M 2dx +N 2dy ) =dU 2(x , y )
由定理4的结论,两个括号还各有更一般的积分因子µ(x , y ) =µ1Φ(U 1) 及ρ(x , y ) =µ2Φ(U 2) ,其中Φ1及Φ2是任意可微单元函数,可以设法寻求适当的Φ1及Φ2,使成立等式µ1Φ(=µ(x , y )=ρ(x,y)=µ2Φ(U 2) 即为原始方程的积分因子. 1U 1)
例 求解微分方程(x y −2y ) dx +x dy =0 324
(x 3ydx +x 4dy ) −2y 2dx =0 11前一组有积分因子3和通积分xy=C;后一组有积分因子2和通积分x=C.我们要x y
11寻找可微函数Φ1与Φ2使3Φ1(xy ) =2Φ2(x ) x y
11这只要取Φ1(xy ) =, Φ(x ) = 225(xy ) x
1所以原方程的积分因子为µ=52 x y
12用它乘原方程得d (xy ) −dx =0 (xy ) 2x 5解
2x 2
不难求出方程的通解为y= 42Cx +1
其中C 为任意常数;另有特解x=0,和y=0.
6